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13. (★)多项式$2x^4 -3x^5 -5$是________次________项式，最高次项的系数是________，常数项是________。
答案
解：多项式$2x^4-3x^5-5$共有3个项，分别为$2x^4$、$-3x^5$、$-5$，其中次数最高的项是$-3x^5$，该项的次数为5，系数为$-3$，不含字母的常数项是$-5$。
因此该多项式是五次三项式，最高次项的系数是$-3$，常数项是$-5$。
答案依次为：五；三；$-3$；$-5$。
因此该多项式是五次三项式，最高次项的系数是$-3$，常数项是$-5$。
答案依次为：五；三；$-3$；$-5$。
解析
【分析】
解决这道题需要先掌握多项式的基础概念：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，包含几个单项式就是几项式；②多项式中次数最高的项的次数，就是该多项式的次数；③最高次项的系数是最高次项的数字因数，要保留项前面的符号；④常数项是多项式中不含字母的项。解题时先拆分出多项式的所有项，再逐一对应概念判断即可。
【解析】
首先拆分多项式$2x^4 -3x^5 -5$的所有项，分别为$2x^4$、$-3x^5$、$-5$，一共有3个项，因此是三项式。
再计算每个项的次数：$2x^4$的次数是4，$-3x^5$的次数是5，常数项$-5$的次数为0，其中最高次数为5，因此这个多项式是五次多项式。
最高次项为$-3x^5$，它的数字因数是$-3$，即最高次项的系数是$-3$；不含字母的项为$-5$，即常数项是$-5$。
【答案】
五；三；$-3$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对多项式相关定义的掌握程度，解题时要注意每个项都要包含前面的符号，避免遗漏负号导致错误。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要先掌握多项式的基础概念：①组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，包含几个单项式就是几项式；②多项式中次数最高的项的次数，就是该多项式的次数；③最高次项的系数是最高次项的数字因数，要保留项前面的符号；④常数项是多项式中不含字母的项。解题时先拆分出多项式的所有项，再逐一对应概念判断即可。
【解析】
首先拆分多项式$2x^4 -3x^5 -5$的所有项，分别为$2x^4$、$-3x^5$、$-5$，一共有3个项，因此是三项式。
再计算每个项的次数：$2x^4$的次数是4，$-3x^5$的次数是5，常数项$-5$的次数为0，其中最高次数为5，因此这个多项式是五次多项式。
最高次项为$-3x^5$，它的数字因数是$-3$，即最高次项的系数是$-3$；不含字母的项为$-5$，即常数项是$-5$。
【答案】
五；三；$-3$；$-5$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对多项式相关定义的掌握程度，解题时要注意每个项都要包含前面的符号，避免遗漏负号导致错误。
【难度系数】
0.9
14. (★★)小刚和小丽利用印有多项式的卡片玩游戏,并制定了如下游戏规则:(1)每人每次抽取4张卡片,如果抽到白色卡片,那么加上卡片上式子最高次项的系数;如果抽到灰色卡片,那么减去卡片上式子的常数项.(2)比较两人所抽取4张卡片的计算结果,结果大的为胜者.
小丽抽到了如图①的4张卡片,小刚抽到了如图②的4张卡片.问:他们两人谁获胜了?
小丽抽到了如图①的4张卡片,小刚抽到了如图②的4张卡片.问:他们两人谁获胜了?
答案
解：
计算小丽的结果：
抽到灰色卡片$a+4$，减去常数项4；抽到白色卡片$a^3+2b$，加上最高次项系数1；抽到灰色卡片$a^2+2a$，减去常数项0；抽到白色卡片$a^2b+2a^4$，加上最高次项系数2。
列式得：
$-4 + 1 - 0 + 2 = -1$
计算小刚的结果：
抽到灰色卡片$3a^2+a$，减去常数项0；抽到白色卡片$3b+2$，加上最高次项系数3；抽到灰色卡片$x-5$，减去常数项$-5$；抽到白色卡片$-a^4+2^5$，加上最高次项系数$-1$。
列式得：
$-0 + 3 - (-5) + (-1) = 7$
因为$7 ＞ -1$，
答：小刚获胜了。
计算小丽的结果：
抽到灰色卡片$a+4$，减去常数项4；抽到白色卡片$a^3+2b$，加上最高次项系数1；抽到灰色卡片$a^2+2a$，减去常数项0；抽到白色卡片$a^2b+2a^4$，加上最高次项系数2。
列式得：
$-4 + 1 - 0 + 2 = -1$
计算小刚的结果：
抽到灰色卡片$3a^2+a$，减去常数项0；抽到白色卡片$3b+2$，加上最高次项系数3；抽到灰色卡片$x-5$，减去常数项$-5$；抽到白色卡片$-a^4+2^5$，加上最高次项系数$-1$。
列式得：
$-0 + 3 - (-5) + (-1) = 7$
因为$7 ＞ -1$，
答：小刚获胜了。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确两个核心概念和游戏规则：核心概念一是多项式的常数项，即多项式中不含字母的项；核心概念二是多项式的最高次项系数，即多项式里次数最高的项的系数。游戏规则为灰色卡片减去对应多项式的常数项，白色卡片加上对应多项式最高次项的系数。解题思路如下：第一步分别处理小丽、小刚抽到的4张卡片，逐个判断卡片颜色，提取对应数值；第二步按规则列式计算两人的最终得分；第三步比较两人得分大小，得分高的人获胜。
【解析】
计算小丽的得分：
1. 灰色卡片$a+4$：常数项为4，按规则记为$-4$；
2. 白色卡片$a^3+2b$：最高次项为$a^3$，系数为1，按规则记为$+1$；
3. 灰色卡片$a^2+2a$：常数项为0，按规则记为$-0$；
4. 白色卡片$a^2b+2a^4$：最高次项为$2a^4$，系数为2，按规则记为$+2$；
列式计算：$\displaystyle -4 +1 -0 +2 = -1$。
计算小刚的得分：
1. 灰色卡片$3a^2+a$：常数项为0，按规则记为$-0$；
2. 白色卡片$3b+2$：最高次项为$3b$，系数为3，按规则记为$+3$；
3. 灰色卡片$x-5$：常数项为$-5$，按规则记为$-(-5)$；
4. 白色卡片$-a^4+2^5$：最高次项为$-a^4$，系数为$-1$，按规则记为$+(-1)$；
列式计算：$\displaystyle -0 +3 - (-5) + (-1) = 3+5-1=7$。
比较两人得分：$7 ＞ -1$，小刚得分更高。
【答案】
小刚获胜了
【知识点】
1. 多项式的相关概念
2. 有理数加减运算
3. 有理数大小比较
【点评】
本题以游戏为载体考查整式基础概念和有理数运算，解题核心是准确理解规则，正确识别多项式的常数项和最高次项系数，计算时注意符号的处理，整体难度不高，细心审题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确两个核心概念和游戏规则：核心概念一是多项式的常数项，即多项式中不含字母的项；核心概念二是多项式的最高次项系数，即多项式里次数最高的项的系数。游戏规则为灰色卡片减去对应多项式的常数项，白色卡片加上对应多项式最高次项的系数。解题思路如下：第一步分别处理小丽、小刚抽到的4张卡片，逐个判断卡片颜色，提取对应数值；第二步按规则列式计算两人的最终得分；第三步比较两人得分大小，得分高的人获胜。
【解析】
计算小丽的得分：
1. 灰色卡片$a+4$：常数项为4，按规则记为$-4$；
2. 白色卡片$a^3+2b$：最高次项为$a^3$，系数为1，按规则记为$+1$；
3. 灰色卡片$a^2+2a$：常数项为0，按规则记为$-0$；
4. 白色卡片$a^2b+2a^4$：最高次项为$2a^4$，系数为2，按规则记为$+2$；
列式计算：$\displaystyle -4 +1 -0 +2 = -1$。
计算小刚的得分：
1. 灰色卡片$3a^2+a$：常数项为0，按规则记为$-0$；
2. 白色卡片$3b+2$：最高次项为$3b$，系数为3，按规则记为$+3$；
3. 灰色卡片$x-5$：常数项为$-5$，按规则记为$-(-5)$；
4. 白色卡片$-a^4+2^5$：最高次项为$-a^4$，系数为$-1$，按规则记为$+(-1)$；
列式计算：$\displaystyle -0 +3 - (-5) + (-1) = 3+5-1=7$。
比较两人得分：$7 ＞ -1$，小刚得分更高。
【答案】
小刚获胜了
【知识点】
1. 多项式的相关概念
2. 有理数加减运算
3. 有理数大小比较
【点评】
本题以游戏为载体考查整式基础概念和有理数运算，解题核心是准确理解规则，正确识别多项式的常数项和最高次项系数，计算时注意符号的处理，整体难度不高，细心审题即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
15. (★★)已知关于$x,y$的多项式$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2 + xy -4x^3 +1$($m$是自然数).
(1)该多项式的次数最小是次；
(2)若该多项式是八次多项式，且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，求$(-m)^3 + 2n$的值.
(1)该多项式的次数最小是次；
(2)若该多项式是八次多项式，且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，求$(-m)^3 + 2n$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-119}$。
解析
【分析】
解题思路围绕整式次数的定义展开：
1. 解决第一问：首先明确多项式的次数由最高次项的次数决定，先计算已知各项的次数，再分析含参数$m$的项的次数，$m$是自然数最小取0，此时计算得到的最高次项次数就是多项式的最小次数。
2. 解决第二问：八次多项式说明最高次项的次数为8，据此列方程求出$m$的值；再根据单项式次数与多项式次数相同，单项式次数为所有字母指数的和，列方程求出$n$的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
(1) 先计算多项式各项的次数：
常数项$1$的次数为$0$；$xy$的次数为$1+1=2$；$-4x^3$的次数为$3$；$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$(m+1)+2=m+3$。
已知$m$是自然数，最小取$0$，此时第一项的次数为$0+3=3$，和$-4x^3$的次数相同，为最高次项，因此该多项式的次数最小是$3$次。
(2) 已知该多项式是八次多项式，说明最高次项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$8$，可列方程：
$m+3=8$，解得$m=5$。
又因为单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，即单项式次数也为$8$，根据单项式次数的定义可列方程：
$2n+(m-3)=8$
将$m=5$代入上式得：$2n+(5-3)=8$，即$2n+2=8$，解得$n=3$。
将$m=5$、$n=3$代入$(-m)^3 + 2n$计算：
$(-5)^3 + 2×3=-125+6=-119$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-119}$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题核心考查整式次数的基础概念，解题关键是准确区分多项式和单项式次数的判定规则，结合题干条件列方程求解参数，做题时注意自然数的取值范围即可避免失误。
【难度系数】
0.7
解题思路围绕整式次数的定义展开：
1. 解决第一问：首先明确多项式的次数由最高次项的次数决定，先计算已知各项的次数，再分析含参数$m$的项的次数，$m$是自然数最小取0，此时计算得到的最高次项次数就是多项式的最小次数。
2. 解决第二问：八次多项式说明最高次项的次数为8，据此列方程求出$m$的值；再根据单项式次数与多项式次数相同，单项式次数为所有字母指数的和，列方程求出$n$的值，最后代入代数式计算结果即可。
【解析】
(1) 先计算多项式各项的次数：
常数项$1$的次数为$0$；$xy$的次数为$1+1=2$；$-4x^3$的次数为$3$；$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$(m+1)+2=m+3$。
已知$m$是自然数，最小取$0$，此时第一项的次数为$0+3=3$，和$-4x^3$的次数相同，为最高次项，因此该多项式的次数最小是$3$次。
(2) 已知该多项式是八次多项式，说明最高次项$\frac{1}{5}x^{m+1}y^2$的次数为$8$，可列方程：
$m+3=8$，解得$m=5$。
又因为单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m-3}$与该多项式的次数相同，即单项式次数也为$8$，根据单项式次数的定义可列方程：
$2n+(m-3)=8$
将$m=5$代入上式得：$2n+(5-3)=8$，即$2n+2=8$，解得$n=3$。
将$m=5$、$n=3$代入$(-m)^3 + 2n$计算：
$(-5)^3 + 2×3=-125+6=-119$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{-119}$
【知识点】
多项式的次数；单项式的次数；代数式求值
【点评】
本题核心考查整式次数的基础概念，解题关键是准确区分多项式和单项式次数的判定规则，结合题干条件列方程求解参数，做题时注意自然数的取值范围即可避免失误。
【难度系数】
0.7
16. (★)已知代数式:①$-3$,②$-5ab$,③$\frac{a+2}{2}$,④$\frac{1}{x}$,⑤$\frac{1}{2}x^2 -3x +1$,⑥$-\frac{5}{7}xy$.其中:
(1)属于单项式的有 ;
(2)属于多项式的有 ;
(3)属于整式的有 .
(只填序号)
(1)属于单项式的有 ;
(2)属于多项式的有 ;
(3)属于整式的有 .
(只填序号)
答案
解：
(1) 属于单项式的有①②⑥；
(2) 属于多项式的有③⑤；
(3) 属于整式的有①②③⑤⑥。
(1) 属于单项式的有①②⑥；
(2) 属于多项式的有③⑤；
(3) 属于整式的有①②③⑤⑥。
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的定义及三者的关系：①整式包含单项式和多项式，整式的分母不能含有字母；②单项式是数或字母的积的形式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；③多项式是几个单项式的和的形式。解题步骤如下：第一步先排查分母含字母的代数式，直接排除在整式范围外；第二步判断剩余代数式中属于“积的形式”的即为单项式；第三步判断剩余属于“几个单项式和的形式”的即为多项式；第四步将所有单项式和多项式的序号合并就是整式的结果。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，且分母不含字母；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
逐个分析所给代数式：
①$-3$：是单独的数字，属于单项式，也属于整式；
②$-5ab$：是数$-5$与字母$a、b$的乘积，属于单项式，也属于整式；
③$\frac{a+2}{2}=\frac{1}{2}a+1$：是两个单项式$\frac{1}{2}a$和$1$的和，属于多项式，也属于整式；
④$\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，不属于单项式、多项式，也不属于整式；
⑤$\frac{1}{2}x^2-3x+1$：是$\frac{1}{2}x^2$、$-3x$、$1$三个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
⑥$-\frac{5}{7}xy$：是数$-\frac{5}{7}$与字母$x、y$的乘积，属于单项式，也属于整式。
据此分类即可。
【答案】
(1) ①②⑥；(2) ③⑤；(3) ①②③⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的核心是准确区分三类代数式的特征，需特别注意分母含有字母的代数式不属于整式，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的定义及三者的关系：①整式包含单项式和多项式，整式的分母不能含有字母；②单项式是数或字母的积的形式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；③多项式是几个单项式的和的形式。解题步骤如下：第一步先排查分母含字母的代数式，直接排除在整式范围外；第二步判断剩余代数式中属于“积的形式”的即为单项式；第三步判断剩余属于“几个单项式和的形式”的即为多项式；第四步将所有单项式和多项式的序号合并就是整式的结果。
【解析】
首先明确相关定义：
1. 单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，且分母不含字母；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 整式：单项式和多项式统称为整式，整式的分母不含字母。
逐个分析所给代数式：
①$-3$：是单独的数字，属于单项式，也属于整式；
②$-5ab$：是数$-5$与字母$a、b$的乘积，属于单项式，也属于整式；
③$\frac{a+2}{2}=\frac{1}{2}a+1$：是两个单项式$\frac{1}{2}a$和$1$的和，属于多项式，也属于整式；
④$\frac{1}{x}$：分母含有字母$x$，不属于单项式、多项式，也不属于整式；
⑤$\frac{1}{2}x^2-3x+1$：是$\frac{1}{2}x^2$、$-3x$、$1$三个单项式的和，属于多项式，也属于整式；
⑥$-\frac{5}{7}xy$：是数$-\frac{5}{7}$与字母$x、y$的乘积，属于单项式，也属于整式。
据此分类即可。
【答案】
(1) ①②⑥；(2) ③⑤；(3) ①②③⑤⑥
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题考查整式相关概念的辨析，解题的核心是准确区分三类代数式的特征，需特别注意分母含有字母的代数式不属于整式，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.9
17. (★★)阅读理解:把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列叫作把这个多项式按字母升幂排列.如,$-1+3x-2x^2+4x^3$叫作按字母$x$的升幂排列,$2-3xy+xy^2-5x^2y^3$叫作按字母$y$的升幂排列.
已知多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$.
(1)该多项式是关于$x,y$的次项式,是关于字母$x$的次项式;
(2)把该多项式按字母$x$的升幂排列.
已知多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$.
(1)该多项式是关于$x,y$的次项式,是关于字母$x$的次项式;
(2)把该多项式按字母$x$的升幂排列.
答案
解：
(1) 多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$的各项次数分别为2、4、5、2、3，最高次数为5，共有5项；
各项中字母$x$的次数分别为2、1、4、0、3，$x$的最高次数为4，共有5项。
所以该多项式是关于$x,y$的五次五项式，是关于字母$x$的四次五项式。
(2) 按字母$x$的升幂排列为：
$-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$
(1) 多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$的各项次数分别为2、4、5、2、3，最高次数为5，共有5项；
各项中字母$x$的次数分别为2、1、4、0、3，$x$的最高次数为4，共有5项。
所以该多项式是关于$x,y$的五次五项式，是关于字母$x$的四次五项式。
(2) 按字母$x$的升幂排列为：
$-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$
解析
【分析】
解决本题首先要明确多项式的相关概念和升幂排列的规则：
1. 对于第(1)问：①判断关于x、y的多项式次数，需要先计算每个单项式中所有字母的指数之和，取最大值作为多项式的次数，数出所有单项式的个数就是项数；②判断关于x的多项式次数时，只看每个单项式中x的指数，取最大值即可，项数不变。
2. 对于第(2)问：按x的升幂排列，就是把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列，注意移动每一项时要连同它前面的符号一起移动，不含x的常数项x的指数为0，排在最前面。
【解析】
(1) 先计算多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$中各项的次数（所有字母指数和）：
$2x^2$的次数为2，$-8xy^3$的次数为$1+3=4$，$x^4y$的次数为$4+1=5$，$-\frac{1}{2}y^2$的次数为2，$9x^3$的次数为3；
可得最高次数为5，该多项式共有5个单项式，因此是关于x、y的五次五项式。
再看各项中x的次数：
$2x^2$中x的次数为2，$-8xy^3$中x的次数为1，$x^4y$中x的次数为4，$-\frac{1}{2}y^2$中x的次数为0，$9x^3$中x的次数为3；
可得x的最高次数为4，因此是关于字母x的四次五项式。
(2) 按照x的指数从小到大排列各项，同时保留每项前的符号：
x指数为0的项：$-\frac{1}{2}y^2$，x指数为1的项：$-8xy^3$，x指数为2的项：$2x^2$，x指数为3的项：$9x^3$，x指数为4的项：$x^4y$；
因此按x升幂排列为$-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$。
【答案】
(1) 五，五，四；
(2) $-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$
【知识点】
多项式的项与次数，升幂排列，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对多项式相关定义的理解和应用，解题时要注意区分多项式整体次数和针对单个字母的次数，排列多项式时不要遗漏项的符号，掌握基础定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确多项式的相关概念和升幂排列的规则：
1. 对于第(1)问：①判断关于x、y的多项式次数，需要先计算每个单项式中所有字母的指数之和，取最大值作为多项式的次数，数出所有单项式的个数就是项数；②判断关于x的多项式次数时，只看每个单项式中x的指数，取最大值即可，项数不变。
2. 对于第(2)问：按x的升幂排列，就是把多项式的各项按照x的指数从小到大的顺序排列，注意移动每一项时要连同它前面的符号一起移动，不含x的常数项x的指数为0，排在最前面。
【解析】
(1) 先计算多项式$2x^2-8xy^3+x^4y-\frac{1}{2}y^2+9x^3$中各项的次数（所有字母指数和）：
$2x^2$的次数为2，$-8xy^3$的次数为$1+3=4$，$x^4y$的次数为$4+1=5$，$-\frac{1}{2}y^2$的次数为2，$9x^3$的次数为3；
可得最高次数为5，该多项式共有5个单项式，因此是关于x、y的五次五项式。
再看各项中x的次数：
$2x^2$中x的次数为2，$-8xy^3$中x的次数为1，$x^4y$中x的次数为4，$-\frac{1}{2}y^2$中x的次数为0，$9x^3$中x的次数为3；
可得x的最高次数为4，因此是关于字母x的四次五项式。
(2) 按照x的指数从小到大排列各项，同时保留每项前的符号：
x指数为0的项：$-\frac{1}{2}y^2$，x指数为1的项：$-8xy^3$，x指数为2的项：$2x^2$，x指数为3的项：$9x^3$，x指数为4的项：$x^4y$；
因此按x升幂排列为$-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$。
【答案】
(1) 五，五，四；
(2) $-\frac{1}{2}y^2 - 8xy^3 + 2x^2 + 9x^3 + x^4y$
【知识点】
多项式的项与次数，升幂排列，单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对多项式相关定义的理解和应用，解题时要注意区分多项式整体次数和针对单个字母的次数，排列多项式时不要遗漏项的符号，掌握基础定义即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
