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【课本改编】
（1）如图①，$△ ABC$ 和 $△ CDE$ 都是等边三角形，且点 $B$，$C$，$E$ 在同一条直线上，连接 $BD$，$AE$，$BD$ 和 $AE$ 相交于点 $P$，线段 $BD$ 与 $AE$ 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【深入探究】
（2）如图②，将 $△ CDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同.
①线段 $BD$ 与 $AE$ 的数量关系是；
②$∠ DPE$ 的度数为.
【拓展应用】
（3）如图③，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，$∠ ADC = 30°$，$AD = 6$，$BD = 10$，求边 $CD$ 的长度.
解（1）$BD = AE$.
理由如下：因为 $△ ABC$ 和 $△ CDE$ 都是等边三角形，
所以 $AB = AC = BC$，$CD = CE$，$∠ ACB = ∠ DCE = 60°$.
所以 $∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即 $∠ ACE = ∠ BCD$.
在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AC = BC, \\∠ ACE = ∠ BCD, \\CE = CD,\end{cases}$
所以 $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS）.
可以看成 $△ ACE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60°$ 得到 $△ BCD$，所以 $BD = AE$.
（2）①$BD = AE$ ②$60°$
（3）如图，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，所以 $△ ABC$ 是等边三角形.把 $△ ACD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60°$ 得到 $△ BCE$，连接 $DE$，则 $BE = AD$，$△ CDE$ 是等边三角形.
所以 $DE = CD$，$∠ CED = 60°$.
因为 $∠ ADC = 30°$，所以 $∠ BEC = 30°$.
所以 $∠ BED = 30° + 60° = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中，
$DE = \sqrt{BD^2 - BE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
所以 $CD = DE = 8$.
（1）如图①，$△ ABC$ 和 $△ CDE$ 都是等边三角形，且点 $B$，$C$，$E$ 在同一条直线上，连接 $BD$，$AE$，$BD$ 和 $AE$ 相交于点 $P$，线段 $BD$ 与 $AE$ 有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？
【深入探究】
（2）如图②，将 $△ CDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同.
①线段 $BD$ 与 $AE$ 的数量关系是；
②$∠ DPE$ 的度数为.
【拓展应用】
（3）如图③，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，$∠ ADC = 30°$，$AD = 6$，$BD = 10$，求边 $CD$ 的长度.
解（1）$BD = AE$.
理由如下：因为 $△ ABC$ 和 $△ CDE$ 都是等边三角形，
所以 $AB = AC = BC$，$CD = CE$，$∠ ACB = ∠ DCE = 60°$.
所以 $∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即 $∠ ACE = ∠ BCD$.
在 $△ ACE$ 和 $△ BCD$ 中，
$\begin{cases}AC = BC, \\∠ ACE = ∠ BCD, \\CE = CD,\end{cases}$
所以 $△ ACE ≌ △ BCD$（SAS）.
可以看成 $△ ACE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60°$ 得到 $△ BCD$，所以 $BD = AE$.
（2）①$BD = AE$ ②$60°$
（3）如图，$AB = BC$，$∠ ABC = 60°$，所以 $△ ABC$ 是等边三角形.把 $△ ACD$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $60°$ 得到 $△ BCE$，连接 $DE$，则 $BE = AD$，$△ CDE$ 是等边三角形.
所以 $DE = CD$，$∠ CED = 60°$.
因为 $∠ ADC = 30°$，所以 $∠ BEC = 30°$.
所以 $∠ BED = 30° + 60° = 90°$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中，
$DE = \sqrt{BD^2 - BE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.
所以 $CD = DE = 8$.
答案
解：
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$。
理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
$\because$ 点$B,C,E$在同一直线上，
$\therefore ∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ ACE = ∠ BCD$。
将$△ ACE$绕点$C$逆时针旋转$60°$，可与$△ BCD$完全重合，由旋转的性质，对应边相等，因此$BD=AE$，且两条对应边的夹角等于旋转角$60°$。
（2）①$BD=AE$；②$60°$
（3）$\because AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
把$△ ACD$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ BCE$，连接$DE$，
由旋转的性质得：$BE=AD=6$，$CE=CD$，$∠ DCE=60°$，$∠ BEC=∠ ADC=30°$，
$\therefore △ CDE$是等边三角形，
$\therefore DE=CD$，$∠ CED=60°$，
$\therefore ∠ BED = ∠ BEC + ∠ CED = 30° + 60° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
$\therefore CD=DE=8$。
答：边$CD$的长度为$8$。
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$。
理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
$\because$ 点$B,C,E$在同一直线上，
$\therefore ∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ ACE = ∠ BCD$。
将$△ ACE$绕点$C$逆时针旋转$60°$，可与$△ BCD$完全重合，由旋转的性质，对应边相等，因此$BD=AE$，且两条对应边的夹角等于旋转角$60°$。
（2）①$BD=AE$；②$60°$
（3）$\because AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
把$△ ACD$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ BCE$，连接$DE$，
由旋转的性质得：$BE=AD=6$，$CE=CD$，$∠ DCE=60°$，$∠ BEC=∠ ADC=30°$，
$\therefore △ CDE$是等边三角形，
$\therefore DE=CD$，$∠ CED=60°$，
$\therefore ∠ BED = ∠ BEC + ∠ CED = 30° + 60° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
$\therefore CD=DE=8$。
答：边$CD$的长度为$8$。
解析
【分析】
（1）本题属于“手拉手”全等模型的基础应用，两个等边三角形共顶点C，可结合旋转性质分析：要判断BD与AE的关系，只需验证△ACE绕点C逆时针旋转60°后能否与△BCD重合，根据旋转性质即可得到对应边的数量关系和夹角大小。
（2）将△CDE旋转后，∠ACB与∠DCE仍为60°，通过角的和差仍可推出∠ACE=∠BCD，因此△ACE与△BCD的全等关系不变，对应边的数量关系、夹角均和（1）保持一致。
（3）已知AB=BC且∠ABC=60°，可先判定△ABC为等边三角形，满足共顶点等线段的旋转构造条件，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，可把分散的AD、BD、CD集中到同一个三角形中，结合已知角度得到直角三角形后，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$。
理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
$\because$ 点$B,C,E$在同一直线上，
$\therefore ∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ ACE = ∠ BCD$。
将$△ ACE$绕点$C$逆时针旋转$60°$，可与$△ BCD$完全重合，由旋转的性质，对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，因此$BD=AE$，且两条线段的夹角为$60°$。
（2）① 旋转后△ACE和△BCD的全等关系仍成立，故$BD=AE$；
② 对应边的夹角等于旋转角，故$∠ DPE=60°$。
（3）$\because AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
把$△ ACD$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ BCE$，连接$DE$，
由旋转的性质得：$BE=AD=6$，$CE=CD$，$∠ DCE=60°$，$∠ BEC=∠ ADC=30°$，
$\therefore △ CDE$是等边三角形，
$\therefore DE=CD$，$∠ CED=60°$，
$\therefore ∠ BED = ∠ BEC + ∠ CED = 30° + 60° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
$\therefore CD=DE=8$。
【答案】
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$；
（2）①$\boldsymbol{BD=AE}$；②$\boldsymbol{60°}$；
（3）边$CD$的长度为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转类几何题的典型考法，从基础的全等性质探究，到旋转后不变量的验证，再到主动构造旋转解决线段求解问题，层层递进，核心考查对几何变换中不变量的分析能力，掌握共顶点等线段的旋转构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.6
（1）本题属于“手拉手”全等模型的基础应用，两个等边三角形共顶点C，可结合旋转性质分析：要判断BD与AE的关系，只需验证△ACE绕点C逆时针旋转60°后能否与△BCD重合，根据旋转性质即可得到对应边的数量关系和夹角大小。
（2）将△CDE旋转后，∠ACB与∠DCE仍为60°，通过角的和差仍可推出∠ACE=∠BCD，因此△ACE与△BCD的全等关系不变，对应边的数量关系、夹角均和（1）保持一致。
（3）已知AB=BC且∠ABC=60°，可先判定△ABC为等边三角形，满足共顶点等线段的旋转构造条件，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，可把分散的AD、BD、CD集中到同一个三角形中，结合已知角度得到直角三角形后，用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$。
理由如下：
$\because △ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$∠ ACB=∠ DCE=60°$。
$\because$ 点$B,C,E$在同一直线上，
$\therefore ∠ ACB + ∠ ACD = ∠ DCE + ∠ ACD$，即$∠ ACE = ∠ BCD$。
将$△ ACE$绕点$C$逆时针旋转$60°$，可与$△ BCD$完全重合，由旋转的性质，对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，因此$BD=AE$，且两条线段的夹角为$60°$。
（2）① 旋转后△ACE和△BCD的全等关系仍成立，故$BD=AE$；
② 对应边的夹角等于旋转角，故$∠ DPE=60°$。
（3）$\because AB=BC$，$∠ ABC=60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形。
把$△ ACD$绕点$C$逆时针旋转$60°$得到$△ BCE$，连接$DE$，
由旋转的性质得：$BE=AD=6$，$CE=CD$，$∠ DCE=60°$，$∠ BEC=∠ ADC=30°$，
$\therefore △ CDE$是等边三角形，
$\therefore DE=CD$，$∠ CED=60°$，
$\therefore ∠ BED = ∠ BEC + ∠ CED = 30° + 60° = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BD^2 - BE^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
$\therefore CD=DE=8$。
【答案】
（1）$BD=AE$，且$BD$与$AE$的夹角为$60°$；
（2）①$\boldsymbol{BD=AE}$；②$\boldsymbol{60°}$；
（3）边$CD$的长度为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是旋转类几何题的典型考法，从基础的全等性质探究，到旋转后不变量的验证，再到主动构造旋转解决线段求解问题，层层递进，核心考查对几何变换中不变量的分析能力，掌握共顶点等线段的旋转构造方法是解题关键。
【难度系数】
0.6
