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2. 如图①，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8，∠B=90°，D，E分别为边AB，BC上的点，且BD=BE=6，将△DBE绕点B逆时针旋转α（0°＜α≤180°）.
（1）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：AD=CE；
（2）若α=60°，求AD的长；
（3）在△DBE旋转过程中，直接写出CD的最大值.
（1）如图②，当0°＜α＜90°时，求证：AD=CE；
（2）若α=60°，求AD的长；
（3）在△DBE旋转过程中，直接写出CD的最大值.
答案
2. （1）证明 由旋转知$∠ ABD=∠ CBE$.
在$△ ABD$ 和$△ CBE$ 中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠ABD=∠CBE, \\BD=BE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ CBE$（SAS）.
所以$AD=CE$.
（2）解 如图，过点$E$作$EH⊥ BC$于点$H$.
因为$∠ EBH=α=60°$，$EH⊥ BC$，
所以$∠ BEH=30°$. 所以$BH=\frac{1}{2}BE=3$.
所以$EH=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$.
所以$CH=BC-BH=5$，
所以$EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$.
所以$AD=EC=2\sqrt{13}$.
（3）14
解析
【分析】
（1）要证明AD=CE，可通过证明AD、CE所在的三角形全等推导。根据旋转性质可得对应角∠ABD=∠CBE，结合已知AB=BC、BD=BE，利用SAS判定△ABD≌△CBE，即可得到边相等的结论。
（2）由（1）的结论可知AD=CE，因此只需计算CE的长度即可得到AD的长。通过作EH垂直BC构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边长度，再结合勾股定理计算CE即可。
（3）旋转过程中点D的轨迹是以B为圆心、BD长为半径的圆，圆上点到圆外定点C的最大距离为圆心到C的距离加半径，即当D在CB延长线上时CD最大，可直接计算最大值。
【解析】
（1）证明：由旋转的性质可得∠ABD=∠CBE。
在△ABD和△CBE中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠ABD=∠CBE, \\BD=BE,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE。
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC于点H。
∵∠EBH=α=60°，EH⊥BC，
∴∠BEH=30°，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∵BC=8，
∴CH=BC-BH=8-3=5，
在Rt△EHC中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{5^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$，
由（1）知AD=EC，
∴$AD=2\sqrt{13}$。
（3）解：点D的运动轨迹是以B为圆心，BD=6为半径的圆，当点D在CB的延长线上时CD取得最大值，此时CD=BC+BD=8+6=14。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$2\sqrt{13}$，辅助线图如下：
（3）14
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，融合了旋转、全等三角形、勾股定理、动点最值多个考点，前两问侧重基础方法的应用，第三问需要准确判断动点的运动轨迹，是典型的圆上动点到定点的距离最值题型，能有效锻炼几何分析与综合应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明AD=CE，可通过证明AD、CE所在的三角形全等推导。根据旋转性质可得对应角∠ABD=∠CBE，结合已知AB=BC、BD=BE，利用SAS判定△ABD≌△CBE，即可得到边相等的结论。
（2）由（1）的结论可知AD=CE，因此只需计算CE的长度即可得到AD的长。通过作EH垂直BC构造直角三角形，利用含30°角的直角三角形的性质求出直角边长度，再结合勾股定理计算CE即可。
（3）旋转过程中点D的轨迹是以B为圆心、BD长为半径的圆，圆上点到圆外定点C的最大距离为圆心到C的距离加半径，即当D在CB延长线上时CD最大，可直接计算最大值。
【解析】
（1）证明：由旋转的性质可得∠ABD=∠CBE。
在△ABD和△CBE中，
$\begin{cases}AB=CB, \\∠ABD=∠CBE, \\BD=BE,\end{cases}$
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE。
（2）解：如图，过点E作EH⊥BC于点H。
∵∠EBH=α=60°，EH⊥BC，
∴∠BEH=30°，
∴$BH=\frac{1}{2}BE=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△BEH中，由勾股定理得：
$EH=\sqrt{BE^2-BH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∵BC=8，
∴CH=BC-BH=8-3=5，
在Rt△EHC中，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{HC^2+EH^2}=\sqrt{5^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{25+27}=2\sqrt{13}$，
由（1）知AD=EC，
∴$AD=2\sqrt{13}$。
（3）解：点D的运动轨迹是以B为圆心，BD=6为半径的圆，当点D在CB的延长线上时CD取得最大值，此时CD=BC+BD=8+6=14。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$2\sqrt{13}$，辅助线图如下：
（3）14
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题为几何综合题，融合了旋转、全等三角形、勾股定理、动点最值多个考点，前两问侧重基础方法的应用，第三问需要准确判断动点的运动轨迹，是典型的圆上动点到定点的距离最值题型，能有效锻炼几何分析与综合应用能力。
【难度系数】
0.65
一个装饰物连续旋转闪烁所成的四个图形如图所示，照此规律闪烁，第2025次闪烁呈现出来的图形是（）
解析 观察图形的变化可知，每旋转一次，旋转角为$90°$，即每4次作为一次循环。$2025÷4=506······1$，即第2025次闪烁呈现出来的图形与第1次的图形相同。
答案 A
解析 观察图形的变化可知，每旋转一次，旋转角为$90°$，即每4次作为一次循环。$2025÷4=506······1$，即第2025次闪烁呈现出来的图形与第1次的图形相同。
答案 A
答案
A
解析
【分析】
本题是图形旋转规律类题目，解题思路分两步：第一步先观察相邻图形的变化，确定旋转规律和循环周期；第二步用总次数除以周期得到余数，根据余数匹配对应次数的图形即可。首先观察前四次的图形，可发现每相邻两次图形中，阴影部分均按顺时针方向旋转90°，每4次旋转后会回到初始状态，即循环周期为4；再计算2025除以4的余数，余数为几就和第几次的图形一致，若整除则和第4次的图形一致。
【解析】
观察图形变化可知，该装饰物每次顺时针旋转90°，每4次旋转为一个完整的循环，周期为4。
计算2025除以周期4：$2025÷4=506······1$，即经过506个完整循环后，还剩余1次旋转，因此第2025次闪烁的图形与第1次的图形相同。
【答案】
A
【知识点】
图形的旋转；周期规律探究；整除的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形变化确定循环周期，再结合余数判断对应图形，能很好地锻炼学生的观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是图形旋转规律类题目，解题思路分两步：第一步先观察相邻图形的变化，确定旋转规律和循环周期；第二步用总次数除以周期得到余数，根据余数匹配对应次数的图形即可。首先观察前四次的图形，可发现每相邻两次图形中，阴影部分均按顺时针方向旋转90°，每4次旋转后会回到初始状态，即循环周期为4；再计算2025除以4的余数，余数为几就和第几次的图形一致，若整除则和第4次的图形一致。
【解析】
观察图形变化可知，该装饰物每次顺时针旋转90°，每4次旋转为一个完整的循环，周期为4。
计算2025除以周期4：$2025÷4=506······1$，即经过506个完整循环后，还剩余1次旋转，因此第2025次闪烁的图形与第1次的图形相同。
【答案】
A
【知识点】
图形的旋转；周期规律探究；整除的应用
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察图形变化确定循环周期，再结合余数判断对应图形，能很好地锻炼学生的观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在矩形ABCD中，AB长3 cm，BC长2 cm，一个边长为1 cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻滚，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（
A.↑
B.→
C.↓
D.←
C
）A.↑
B.→
C.↓
D.←
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先明确小正方形的翻滚规律：小正方形边长为1cm，每沿矩形边前进1cm就会顺时针旋转90°，且每旋转4次（即360°）箭头方向会回到初始状态，属于周期问题。接下来我们先计算小正方形回到起始位置时总共翻滚的次数，再用总次数除以周期4，根据余数判断最终箭头方向即可。
【解析】
1. 确定翻滚规律：小正方形每前进1cm，顺时针翻滚90°，每翻滚4次为一个周期，箭头方向循环一次。
2. 计算总翻滚次数：矩形ABCD的各边长为AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，小正方形沿四边翻滚一周回到起始位置，总前进路程为$3+2+3+2=10\mathrm{cm}$，因此总翻滚次数为10次。
3. 判断最终方向：$10÷4=2······2$，即经过2个完整周期后，还额外翻滚了2次。初始箭头向上，翻滚1次箭头向右，翻滚2次箭头向下。
因此最终箭头方向向下，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 图形的旋转 2. 周期规律
【点评】
本题将图形的翻滚运动和周期规律结合，需要学生掌握旋转的性质，具备一定的空间想象能力，能准确找到运动的周期特征即可快速解题。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：首先明确小正方形的翻滚规律：小正方形边长为1cm，每沿矩形边前进1cm就会顺时针旋转90°，且每旋转4次（即360°）箭头方向会回到初始状态，属于周期问题。接下来我们先计算小正方形回到起始位置时总共翻滚的次数，再用总次数除以周期4，根据余数判断最终箭头方向即可。
【解析】
1. 确定翻滚规律：小正方形每前进1cm，顺时针翻滚90°，每翻滚4次为一个周期，箭头方向循环一次。
2. 计算总翻滚次数：矩形ABCD的各边长为AB=3cm、BC=2cm、CD=3cm、DA=2cm，小正方形沿四边翻滚一周回到起始位置，总前进路程为$3+2+3+2=10\mathrm{cm}$，因此总翻滚次数为10次。
3. 判断最终方向：$10÷4=2······2$，即经过2个完整周期后，还额外翻滚了2次。初始箭头向上，翻滚1次箭头向右，翻滚2次箭头向下。
因此最终箭头方向向下，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 图形的旋转 2. 周期规律
【点评】
本题将图形的翻滚运动和周期规律结合，需要学生掌握旋转的性质，具备一定的空间想象能力，能准确找到运动的周期特征即可快速解题。
【难度系数】
0.6
