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3. 已知二次函数 $y=-2x^2+bx+c$ 的图象经过点 $(1, 0)$，$(2, -7)$。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出此二次函数的顶点坐标和对称轴。
（1）求此二次函数的解析式；
（2）写出此二次函数的顶点坐标和对称轴。
答案
解：
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入二次函数$y=-2x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-2×1^2 + b + c = 0 \\-2×2^2 + 2b + c = -7\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = 2 \\2b + c = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases} b=-1 \\ c=3 \end{cases}$
因此该二次函数的解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）将解析式配方得：
$y=-2(x+\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{25}{8}$
所以该二次函数的顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入二次函数$y=-2x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-2×1^2 + b + c = 0 \\-2×2^2 + 2b + c = -7\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = 2 \\2b + c = 1\end{cases}$
解得：$\begin{cases} b=-1 \\ c=3 \end{cases}$
因此该二次函数的解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）将解析式配方得：
$y=-2(x+\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{25}{8}$
所以该二次函数的顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
解析
【分析】
（1）已知二次函数的二次项系数，仅含b、c两个未知参数，且函数图象过两个已知点，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两点坐标分别代入解析式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可确定函数解析式。
（2）求二次函数的顶点坐标和对称轴，可将求得的一般式通过配方法转化为顶点式，直接从顶点式中读取顶点坐标和对称轴；也可利用顶点坐标公式直接计算，两种方法均符合该学段知识要求。
【解析】
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入二次函数$y=-2x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-2×1^2 + b + c = 0 \\-2×2^2 + 2b + c = -7\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = 2 \\2b + c = 1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$b=-1$，将$b=-1$代入$b+c=2$，得$c=3$，即$\begin{cases} b=-1 \\ c=3 \end{cases}$
因此该二次函数的解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）将解析式配方：
$y=-2x^2 -x +3=-2(x^2+\frac{1}{2}x)+3=-2(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16})+3=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{1}{8}+3=-2(x+\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{25}{8}$
所以该二次函数的顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-2x^2 -x +3}$；
（2）顶点坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{4}}$。
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数的配方
3.二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，主要考查待定系数法的应用以及二次函数基本性质的掌握，熟练掌握二元一次方程组的解法、配方法或顶点坐标公式即可顺利解题，属于二次函数部分需要牢固掌握的基础内容。
【难度系数】
0.85
（1）已知二次函数的二次项系数，仅含b、c两个未知参数，且函数图象过两个已知点，根据函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将两点坐标分别代入解析式，可得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出b、c的值，即可确定函数解析式。
（2）求二次函数的顶点坐标和对称轴，可将求得的一般式通过配方法转化为顶点式，直接从顶点式中读取顶点坐标和对称轴；也可利用顶点坐标公式直接计算，两种方法均符合该学段知识要求。
【解析】
（1）将点$(1,0)$、$(2,-7)$代入二次函数$y=-2x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-2×1^2 + b + c = 0 \\-2×2^2 + 2b + c = -7\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}b + c = 2 \\2b + c = 1\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$b=-1$，将$b=-1$代入$b+c=2$，得$c=3$，即$\begin{cases} b=-1 \\ c=3 \end{cases}$
因此该二次函数的解析式为$y=-2x^2 -x +3$。
（2）将解析式配方：
$y=-2x^2 -x +3=-2(x^2+\frac{1}{2}x)+3=-2(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}-\frac{1}{16})+3=-2(x+\frac{1}{4})^2+\frac{1}{8}+3=-2(x+\dfrac{1}{4})^2 + \dfrac{25}{8}$
所以该二次函数的顶点坐标为$(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})$，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=-2x^2 -x +3}$；
（2）顶点坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{4},\dfrac{25}{8})}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-\dfrac{1}{4}}$。
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式
2.二次函数的配方
3.二次函数的顶点与对称轴
【点评】
本题是二次函数的基础常考题型，主要考查待定系数法的应用以及二次函数基本性质的掌握，熟练掌握二元一次方程组的解法、配方法或顶点坐标公式即可顺利解题，属于二次函数部分需要牢固掌握的基础内容。
【难度系数】
0.85
4. 已知二次函数图象的对称轴为$x=-2$，与$y$轴交点的纵坐标为2，且经过点$(-3,-1)$。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后的抛物线经过点$P(-2,1)$，求$m$的值。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将该抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，平移后的抛物线经过点$P(-2,1)$，求$m$的值。
答案
解：
（1）由二次函数图象的对称轴为$x=-2$，设该二次函数的解析式为$y=a(x+2)^2+k$。
将$(0,2)$和$(-3,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases} 4a + k = 2 \\ a + k = -1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1 \\ k=-2 \end{cases}$
因此这个二次函数的解析式为$y=(x+2)^2 - 2$，即$y=x^2+4x+2$。
（2）将抛物线$y=(x+2)^2 - 2$先向左平移3个单位长度，所得抛物线解析式为$y=(x+5)^2 - 2$，
再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得平移后的抛物线解析式为$y=(x+5)^2 - 2 - m$。
将点$P(-2,1)$代入该解析式得：
$1=(-2+5)^2 - 2 - m$
化简得$1=7-m$，
解得$m=6$。
（1）由二次函数图象的对称轴为$x=-2$，设该二次函数的解析式为$y=a(x+2)^2+k$。
将$(0,2)$和$(-3,-1)$代入解析式得：
$\begin{cases} 4a + k = 2 \\ a + k = -1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1 \\ k=-2 \end{cases}$
因此这个二次函数的解析式为$y=(x+2)^2 - 2$，即$y=x^2+4x+2$。
（2）将抛物线$y=(x+2)^2 - 2$先向左平移3个单位长度，所得抛物线解析式为$y=(x+5)^2 - 2$，
再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得平移后的抛物线解析式为$y=(x+5)^2 - 2 - m$。
将点$P(-2,1)$代入该解析式得：
$1=(-2+5)^2 - 2 - m$
化简得$1=7-m$，
解得$m=6$。
解析
【分析】
（1）已知二次函数的对称轴，优先选用顶点式设解析式可简化计算，设解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a≠0$）；再结合题中给出的两个已知点：与y轴交点$(0,2)$和点$(-3,-1)$，将两点代入解析式得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解出参数即可得到二次函数解析式。
（2）根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，依次写出两次平移后的抛物线解析式；再将平移后经过的点$P(-2,1)$代入解析式，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数图象的对称轴为$x=-2$，
$\therefore$ 设该二次函数的解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a≠0$）。
$\because$ 函数与y轴交点的纵坐标为2，即过点$(0,2)$，且经过点$(-3,-1)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} 4a + k = 2 \\ a + k = -1 \end{cases}$
两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+k=-1$得$k=-2$，
因此二次函数的解析式为$y=(x+2)^2 - 2$，整理为一般式为$y=x^2+4x+2$。
（2）根据抛物线平移规则：
将$y=(x+2)^2 - 2$向左平移3个单位长度，所得解析式为$y=(x+2+3)^2 - 2=(x+5)^2 - 2$；
再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得解析式为$y=(x+5)^2 - 2 - m$。
$\because$ 平移后的抛物线过点$P(-2,1)$，代入得：
$1=(-2+5)^2 - 2 - m$
化简得$1=7-m$，解得$m=6$。
【答案】
（1）$y=x^2+4x+2$（或$y=(x+2)^2 - 2$）；
（2）$m=6$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是掌握顶点式求解析式的适用场景和二次函数平移的规律，代入已知点坐标解方程即可求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
（1）已知二次函数的对称轴，优先选用顶点式设解析式可简化计算，设解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a≠0$）；再结合题中给出的两个已知点：与y轴交点$(0,2)$和点$(-3,-1)$，将两点代入解析式得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解出参数即可得到二次函数解析式。
（2）根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，依次写出两次平移后的抛物线解析式；再将平移后经过的点$P(-2,1)$代入解析式，解方程即可求出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数图象的对称轴为$x=-2$，
$\therefore$ 设该二次函数的解析式为$y=a(x+2)^2+k$（$a≠0$）。
$\because$ 函数与y轴交点的纵坐标为2，即过点$(0,2)$，且经过点$(-3,-1)$，
将两点代入解析式得：
$\begin{cases} 4a + k = 2 \\ a + k = -1 \end{cases}$
两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+k=-1$得$k=-2$，
因此二次函数的解析式为$y=(x+2)^2 - 2$，整理为一般式为$y=x^2+4x+2$。
（2）根据抛物线平移规则：
将$y=(x+2)^2 - 2$向左平移3个单位长度，所得解析式为$y=(x+2+3)^2 - 2=(x+5)^2 - 2$；
再向下平移$m(m＞0)$个单位长度，所得解析式为$y=(x+5)^2 - 2 - m$。
$\because$ 平移后的抛物线过点$P(-2,1)$，代入得：
$1=(-2+5)^2 - 2 - m$
化简得$1=7-m$，解得$m=6$。
【答案】
（1）$y=x^2+4x+2$（或$y=(x+2)^2 - 2$）；
（2）$m=6$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是掌握顶点式求解析式的适用场景和二次函数平移的规律，代入已知点坐标解方程即可求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.75
