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二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a＜0$）的图象如图所示，观察图象，当$y＞0$时，$x$的取值范围为（
A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$或$x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0$或$x＞2$
解析 因为抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x=1$，
结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。
所以当$y＞0$时，图象为两个交点中间的一段，即$-1＜x＜3$。
答案 A
A
）A.$-1＜x＜3$
B.$x＜-1$或$x＞3$
C.$0＜x＜2$
D.$x＜0$或$x＞2$
解析 因为抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x=1$，
结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。
所以当$y＞0$时，图象为两个交点中间的一段，即$-1＜x＜3$。
答案 A
答案
解析 因为抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x=1$，
结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。
所以当$y＞0$时，图象为两个交点中间的一段，即$-1＜x＜3$。
答案 A
结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。
所以当$y＞0$时，图象为两个交点中间的一段，即$-1＜x＜3$。
答案 A
解析
【分析】
要求$y＞0$时$x$的取值范围，本质是找二次函数图象位于x轴上方部分对应的x的区间，因此需要先确定抛物线与x轴的两个交点坐标。已知抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，我们可以利用二次函数的对称性求出另一个交点的坐标，再结合开口方向就能确定$y＞0$对应的x的范围。
【解析】
因为抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x=1$，结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。由于抛物线开口向下，当$y＞0$时，图象对应两个交点中间的部分，即$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象性质，二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题关键是利用二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，结合图象特征可直接得到不等式的解集，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
要求$y＞0$时$x$的取值范围，本质是找二次函数图象位于x轴上方部分对应的x的区间，因此需要先确定抛物线与x轴的两个交点坐标。已知抛物线与x轴的一个交点为$(-1,0)$，且对称轴为直线$x=1$，我们可以利用二次函数的对称性求出另一个交点的坐标，再结合开口方向就能确定$y＞0$对应的x的范围。
【解析】
因为抛物线与$x$轴的一个交点为$(-1, 0)$，对称轴为直线$x=1$，结合抛物线的对称性可知，抛物线与$x$轴的另一个交点为$(3, 0)$。由于抛物线开口向下，当$y＞0$时，图象对应两个交点中间的部分，即$x$的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象性质，二次函数与不等式
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数问题中的应用，解题关键是利用二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，结合图象特征可直接得到不等式的解集，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8
5. 关于二次函数 $ y = x^2 - 3x -1 $ 的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（）
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
A.没有交点
B.有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
答案
C
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号来判断：当$\Delta＞0$时，二次函数与x轴有两个交点；当$\Delta=0$时，有一个交点；当$\Delta＜0$时，没有交点。解题时先确定二次函数中$a、b、c$的取值，再代入公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号判断交点个数即可。
【解析】
对于二次函数$y = x^2 - 3x -1$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-1$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-1) =9 +4=13$
因为$\Delta=13＞0$，所以二次函数$y = x^2 - 3x -1$的图象与x轴有两个交点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，直接代入计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号来判断：当$\Delta＞0$时，二次函数与x轴有两个交点；当$\Delta=0$时，有一个交点；当$\Delta＜0$时，没有交点。解题时先确定二次函数中$a、b、c$的取值，再代入公式计算$\Delta$的值，最后根据$\Delta$的符号判断交点个数即可。
【解析】
对于二次函数$y = x^2 - 3x -1$，对应一般式$y=ax^2+bx+c$，可得$a=1$，$b=-3$，$c=-1$。
计算根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-3)^2 -4×1×(-1) =9 +4=13$
因为$\Delta=13＞0$，所以二次函数$y = x^2 - 3x -1$的图象与x轴有两个交点。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴交点个数和根的判别式的对应关系，直接代入计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + c $ 中部分 $ x $ 和 $ y $ 的值如表所示.
则方程 $ ax^2 - 2ax + c = 0 $ 的一个较大的根的范围是 （）
A.$ -0.5 ＜ x ＜ -0.4 $
B.$ -0.5 ＜ x ＜ -0.6 $
C.$ 2.4 ＜ x ＜ 2.5 $
D.$ 2.5 ＜ x ＜ 2.6 $
则方程 $ ax^2 - 2ax + c = 0 $ 的一个较大的根的范围是 （）
A.$ -0.5 ＜ x ＜ -0.4 $
B.$ -0.5 ＜ x ＜ -0.6 $
C.$ 2.4 ＜ x ＜ 2.5 $
D.$ 2.5 ＜ x ＜ 2.6 $
答案
C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2 - 2ax + c = 0$较大根的范围，首先明确方程的根对应二次函数$y=ax^2-2ax+c$与x轴交点的横坐标。第一步先利用二次函数对称轴公式求出对称轴，可知方程的两个根关于对称轴对称；第二步通过表格中y值的正负变化，找到函数值由正变负的x区间，确定较小根的范围；最后利用对称性即可推导得到较大根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该二次函数的对称轴为直线$x=1$，因此方程$ax^2-2ax+c=0$的两个根关于$x=1$对称。
2. 估算较小根的范围：观察表格数据，当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明当x在$-0.5＜x＜-0.4$区间时，函数图象与x轴相交，即方程的较小根$x_1$满足$-0.5＜x_1＜-0.4$。
3. 利用对称性求较大根$x_2$：由两根关于$x=1$对称，可得$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
若$x_1＞-0.5$，则$x_2＜2-(-0.5)=2.5$；
若$x_1＜-0.4$，则$x_2＞2-(-0.4)=2.4$。
因此较大根的范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数与一元二次方程的联系；估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是利用二次函数的对称性简化计算，同时要注意审题，明确题目要求的是较大根的范围，避免误选较小根对应的区间，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
要确定方程$ax^2 - 2ax + c = 0$较大根的范围，首先明确方程的根对应二次函数$y=ax^2-2ax+c$与x轴交点的横坐标。第一步先利用二次函数对称轴公式求出对称轴，可知方程的两个根关于对称轴对称；第二步通过表格中y值的正负变化，找到函数值由正变负的x区间，确定较小根的范围；最后利用对称性即可推导得到较大根的取值范围。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。本题中$b=-2a$，代入得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$，即该二次函数的对称轴为直线$x=1$，因此方程$ax^2-2ax+c=0$的两个根关于$x=1$对称。
2. 估算较小根的范围：观察表格数据，当$x=-0.5$时，$y=0.25＞0$；当$x=-0.4$时，$y=-0.04＜0$，说明当x在$-0.5＜x＜-0.4$区间时，函数图象与x轴相交，即方程的较小根$x_1$满足$-0.5＜x_1＜-0.4$。
3. 利用对称性求较大根$x_2$：由两根关于$x=1$对称，可得$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_2=2-x_1$。
将$x_1$的范围代入计算：
若$x_1＞-0.5$，则$x_2＜2-(-0.5)=2.5$；
若$x_1＜-0.4$，则$x_2＞2-(-0.4)=2.4$。
因此较大根的范围是$2.4＜x＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数与一元二次方程的联系；估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题的核心是利用二次函数的对称性简化计算，同时要注意审题，明确题目要求的是较大根的范围，避免误选较小根对应的区间，是二次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
已知二次函数 $y=x^2-2x-3$ 的图象为抛物线 C.
（1）写出抛物线 C 的对称轴和顶点坐标；
（2）当 $0≤ x≤ 4$ 时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围；
（3）将抛物线 C 先向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 $C_1$，再将抛物线 $C_1$ 向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 $C_2$，请直接写出抛物线 $C_1$，$C_2$ 对应的函数解析式.
解（1）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$.
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$.
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，
$C_2$：$y=x^2-6x+4$.
（1）写出抛物线 C 的对称轴和顶点坐标；
（2）当 $0≤ x≤ 4$ 时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围；
（3）将抛物线 C 先向右平移 2 个单位长度，得到抛物线 $C_1$，再将抛物线 $C_1$ 向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 $C_2$，请直接写出抛物线 $C_1$，$C_2$ 对应的函数解析式.
解（1）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$.
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$.
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，
$C_2$：$y=x^2-6x+4$.
答案
解（1）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$.
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$.
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，
$C_2$：$y=x^2-6x+4$.
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$.
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$.
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$.
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$.
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，
$C_2$：$y=x^2-6x+4$.
解析
【分析】
本题围绕二次函数基础性质展开，各小问解题思路如下：
（1）求抛物线对称轴和顶点坐标，可先将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，该形式下对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，可直接读取结果，也可代入对称轴、顶点坐标公式计算。
（2）求指定区间内函数值的取值范围，首先根据二次函数开口方向和对称轴判断区间内的增减性：开口向上时，对称轴处取得最小值，再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小后得到最大值，即可确定y的取值范围。
（3）抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，按平移规则写出解析式后化简为一般式即可。
【解析】
（1）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$。
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$。
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$。
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$。
（3）将抛物线$C$向右平移2个单位长度，即自变量$x$减去2，得$y=(x-1-2)^2-4=(x-3)^2-4=x^2-6x+5$，即$C_1$的解析式；再将$C_1$向下平移1个单位长度，即常数项减1，得$y=x^2-6x+5-1=x^2-6x+4$，即$C_2$的解析式。
【答案】
（1）对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$；
（2）$y$的取值范围为$-4≤ y≤5$；
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，$C_2$：$y=x^2-6x+4$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，综合考查了二次函数顶点式转化、增减性应用、区间最值求解、图象平移规律等核心内容，难度不大，掌握二次函数基础性质即可顺利解答，是巩固相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数基础性质展开，各小问解题思路如下：
（1）求抛物线对称轴和顶点坐标，可先将二次函数一般式通过配方法转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，该形式下对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，可直接读取结果，也可代入对称轴、顶点坐标公式计算。
（2）求指定区间内函数值的取值范围，首先根据二次函数开口方向和对称轴判断区间内的增减性：开口向上时，对称轴处取得最小值，再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小后得到最大值，即可确定y的取值范围。
（3）抛物线平移遵循“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”的规律，按平移规则写出解析式后化简为一般式即可。
【解析】
（1）因为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$，
所以抛物线 C 的对称轴为 $x=1$，顶点坐标为 $(1,-4)$。
（2）因为 $y=(x-1)^2-4$，
所以当 $x＞1$ 时，
y 随 x 的增大而增大；
当 $x＜1$ 时，
y 随 x 的增大而减小；
当 $x=1$ 时，
y 有最小值 $-4$。
当 $x=0$ 时，$y=-3$；
当 $x=4$ 时，$y=5$。
所以当 $0≤ x≤ 4$ 时，
二次函数的函数值 y 的取值范围为 $-4≤ y≤5$。
（3）将抛物线$C$向右平移2个单位长度，即自变量$x$减去2，得$y=(x-1-2)^2-4=(x-3)^2-4=x^2-6x+5$，即$C_1$的解析式；再将$C_1$向下平移1个单位长度，即常数项减1，得$y=x^2-6x+5-1=x^2-6x+4$，即$C_2$的解析式。
【答案】
（1）对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$；
（2）$y$的取值范围为$-4≤ y≤5$；
（3）$C_1$：$y=x^2-6x+5$，$C_2$：$y=x^2-6x+4$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数的常规基础题，综合考查了二次函数顶点式转化、增减性应用、区间最值求解、图象平移规律等核心内容，难度不大，掌握二次函数基础性质即可顺利解答，是巩固相关知识点的典型习题。
【难度系数】
0.8
