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1. 一次函数$y=ax+b$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2 - b$的图象可能为（）
答案
解：
由一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限，可得：
$a＜0$，$b＞0$。
对于二次函数$y=ax^2 - b$：
1. 因为$a＜0$，所以抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、B；
2. 该二次函数的对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-b)$，由$b＞0$得$-b＜0$，即顶点在$y$轴负半轴，二次函数的最大值为$-b＜0$，抛物线与$x$轴无交点，排除顶点在$y$轴正半轴、与$x$轴有两个交点的选项C。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
由一次函数$y=ax+b$的图象经过第一、二、四象限，可得：
$a＜0$，$b＞0$。
对于二次函数$y=ax^2 - b$：
1. 因为$a＜0$，所以抛物线开口向下，排除开口向上的选项A、B；
2. 该二次函数的对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-b)$，由$b＞0$得$-b＜0$，即顶点在$y$轴负半轴，二次函数的最大值为$-b＜0$，抛物线与$x$轴无交点，排除顶点在$y$轴正半轴、与$x$轴有两个交点的选项C。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
本题为一次函数与二次函数图象结合的判断类题目，解题思路可分为两步：第一步先根据一次函数经过的象限，判断出参数a、b的正负性；第二步将a、b的符号代入二次函数解析式，推导二次函数的开口方向、对称轴、顶点位置等图象性质，再结合选项用排除法选出正确答案。
【解析】
首先观察一次函数$y=ax+b$的图象，其经过第一、二、四象限，根据一次函数图象性质可得：$a＜0$，$b＞0$。
接下来分析二次函数$y=ax^2 - b$的性质：
1. 二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，可排除开口向上的选项A、B；
2. 该二次函数解析式中没有一次项，因此对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-b)$，结合$b＞0$可得$-b＜0$，即顶点在$y$轴负半轴，二次函数的最大值为$-b＜0$，说明抛物线整体在$x$轴下方，与$x$轴无交点，可排除顶点在$y$轴正半轴、与$x$轴有交点的选项C。
综上，只有选项D符合所有性质。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、参数与函数图象的关系
【点评】
本题是函数模块的基础常考题型，重点考查对一次函数、二次函数图象与对应参数关系的掌握，使用排除法可以快速缩小正确选项范围，解题时需注意顶点纵坐标的符号判断，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与二次函数图象结合的判断类题目，解题思路可分为两步：第一步先根据一次函数经过的象限，判断出参数a、b的正负性；第二步将a、b的符号代入二次函数解析式，推导二次函数的开口方向、对称轴、顶点位置等图象性质，再结合选项用排除法选出正确答案。
【解析】
首先观察一次函数$y=ax+b$的图象，其经过第一、二、四象限，根据一次函数图象性质可得：$a＜0$，$b＞0$。
接下来分析二次函数$y=ax^2 - b$的性质：
1. 二次项系数$a＜0$，因此抛物线开口向下，可排除开口向上的选项A、B；
2. 该二次函数解析式中没有一次项，因此对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,-b)$，结合$b＞0$可得$-b＜0$，即顶点在$y$轴负半轴，二次函数的最大值为$-b＜0$，说明抛物线整体在$x$轴下方，与$x$轴无交点，可排除顶点在$y$轴正半轴、与$x$轴有交点的选项C。
综上，只有选项D符合所有性质。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、参数与函数图象的关系
【点评】
本题是函数模块的基础常考题型，重点考查对一次函数、二次函数图象与对应参数关系的掌握，使用排除法可以快速缩小正确选项范围，解题时需注意顶点纵坐标的符号判断，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
2. 关于抛物线 $ y = -x^2 + 6x -7 $，下列说法正确的是（）
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = -3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0, 7) $
D.顶点坐标是 $ (3, 2) $
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = -3 $
C.与 $ y $ 轴的交点坐标是 $ (0, 7) $
D.顶点坐标是 $ (3, 2) $
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数的基本性质，解题时可根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质，逐个判断每个选项的正误：首先由$a$的正负判断开口方向，再用对称轴公式计算对称轴，代入$x=0$求与$y$轴的交点坐标，最后代入对称轴对应的$x$值求顶点纵坐标，或用配方法得到顶点式确定顶点坐标，最终选出正确选项。
【解析】
已知抛物线解析式为$y = -x^2 + 6x -7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=-7$。
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是直线$x=3$，B错误；
3. 判断选项C：求与$y$轴交点时令$x=0$，代入解析式得$y=-7$，$\therefore$与$y$轴交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
4. 判断选项D：将$x=3$代入解析式，得$y=-3^2+6×3-7=-9+18-7=2$，即顶点坐标为$(3,2)$，也可通过配方法变形解析式：$y=-(x^2-6x)-7=-(x-3)^2+2$，直接得到顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的基本性质；二次函数顶点与对称轴求解；二次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于二次函数基础考点，主要考查对二次函数各项基本性质的掌握，解题时只需结合公式逐一验证选项即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的基本性质，解题时可根据二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的相关性质，逐个判断每个选项的正误：首先由$a$的正负判断开口方向，再用对称轴公式计算对称轴，代入$x=0$求与$y$轴的交点坐标，最后代入对称轴对应的$x$值求顶点纵坐标，或用配方法得到顶点式确定顶点坐标，最终选出正确选项。
【解析】
已知抛物线解析式为$y = -x^2 + 6x -7$，其中$a=-1$，$b=6$，$c=-7$。
1. 判断选项A：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算得$x=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，即对称轴是直线$x=3$，B错误；
3. 判断选项C：求与$y$轴交点时令$x=0$，代入解析式得$y=-7$，$\therefore$与$y$轴交点坐标为$(0,-7)$，C错误；
4. 判断选项D：将$x=3$代入解析式，得$y=-3^2+6×3-7=-9+18-7=2$，即顶点坐标为$(3,2)$，也可通过配方法变形解析式：$y=-(x^2-6x)-7=-(x-3)^2+2$，直接得到顶点坐标为$(3,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的基本性质；二次函数顶点与对称轴求解；二次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于二次函数基础考点，主要考查对二次函数各项基本性质的掌握，解题时只需结合公式逐一验证选项即可得出正确答案。
【难度系数】
0.8
如图，以点$P(3,1)$为顶点的抛物线交$y$轴于点$A(0,4)$。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移后恰好与$x$轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式。
解（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上。
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若将该抛物线向下平移后恰好与$x$轴只有一个交点，直接写出平移后的抛物线的解析式。
解（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上。
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
答案
解（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上。
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，
所以$4=a(0-3)^2+1$，
解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）由题意可得，平移后的抛物线的顶点在$x$轴上。
所以平移后的抛物线的顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标。代入顶点$P(3,1)$即可得到含参数$a$的解析式，再将点$A(0,4)$代入求解参数$a$，就能得到抛物线的解析式。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$不变，向下平移后抛物线与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，结合原抛物线的对称轴和$a$的值，即可写出平移后的解析式。
【解析】
（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，代入解析式得：
$4=a(0-3)^2+1$
整理得$9a+1=4$，解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$不变，平移后与$x$轴只有一个交点，说明平移后抛物线的顶点纵坐标为0，顶点横坐标不变仍为3，即新顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1}$；（2）$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}(x-3)^2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数平移性质；抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数顶点式的应用，以及平移过程中二次项系数不变的规律，能有效巩固二次函数解析式求解、平移相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
（1）已知抛物线的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标。代入顶点$P(3,1)$即可得到含参数$a$的解析式，再将点$A(0,4)$代入求解参数$a$，就能得到抛物线的解析式。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$不变，向下平移后抛物线与$x$轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在$x$轴上，即顶点纵坐标为0，结合原抛物线的对称轴和$a$的值，即可写出平移后的解析式。
【解析】
（1）设该抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+1\ (a≠0)$。
因为点$A(0,4)$在该抛物线上，代入解析式得：
$4=a(0-3)^2+1$
整理得$9a+1=4$，解得$a=\frac{1}{3}$。
所以该抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1$。
（2）抛物线平移时二次项系数$a$不变，平移后与$x$轴只有一个交点，说明平移后抛物线的顶点纵坐标为0，顶点横坐标不变仍为3，即新顶点坐标为$(3,0)$。
所以平移后的抛物线的解析式为$y=\frac{1}{3}(x-3)^2$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}(x-3)^2+1}$；（2）$\boldsymbol{y=\frac{1}{3}(x-3)^2}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数平移性质；抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考察二次函数顶点式的应用，以及平移过程中二次项系数不变的规律，能有效巩固二次函数解析式求解、平移相关的基础知识点。
【难度系数】
0.8
