1. 计算$(2x^2)^3$的结果正确的是 （）

A.$8x^5$
B.$6x^5$
C.$6x^6$
D.$8x^6$

1. D

【分析】
本题考查幂的相关运算法则，解题思路如下：首先回忆积的乘方与幂的乘方的运算规则，第一步先运用积的乘方法则，将括号内的每个因式分别乘方，第二步再运用幂的乘方法则计算含字母的幂的结果，最后合并结果和选项对比即可。运算时要注意区分系数的运算和指数的运算，避免出现系数直接乘次数、指数相加的错误。
【解析】
根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n· b^n$（$n$为正整数），可得：
$(2x^2)^3=2^3× (x^2)^3$
再根据幂的乘方运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$、$n$为正整数），计算$(x^2)^3$：
$(x^2)^3=x^{2×3}=x^6$
同时计算$2^3=8$，因此原式结果为$8x^6$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查对幂的运算法则的掌握程度，解题时要注意区分系数的乘方运算和指数的乘法运算，避开系数与指数直接相乘、指数相加这类常见的易错点。
【难度系数】
0.8

2.（宿迁中考）下列运算正确的是（）

A.$a^2 + a^3 = 2a^5$
B.$a^4 · a^2 = a^6$
C.$a^3 ÷ a = a^3$
D.$(ab^2)^3 = a^3b^5$

2. B

【分析】
本题考查整式的相关运算法则，解题时需逐一回忆合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方等运算规则，逐个验证4个选项的运算是否正确，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^2$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不属于同类项，不能直接合并，因此该运算错误；
选项B：根据同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加，可得$a^4 · a^2 = a^{4+2}=a^6$，该运算正确；
选项C：根据同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减，可得$a^3 ÷ a = a^{3-1}=a^2$，而非$a^3$，因此该运算错误；
选项D：根据积的乘方法则：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(ab^2)^3 = a^3·(b^2)^3 = a^3b^{2×3}=a^3b^6$，而非$a^3b^5$，因此该运算错误。
综上，运算正确的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项，同底数幂的乘除，积的乘方
【点评】
本题属于整式运算的基础常考题，核心考查对幂的运算法则、合并同类项规则的掌握熟练度，熟记相关运算规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 墨迹污染了等式$12x^3■3x=4x^2(x≠0)$中的运算符号,则被污染的运算符号是 ()

A.+
B.-
C.×
D.÷

3. D

【分析】
解题可采用两种思路：一是代入验证法，将四个选项的运算符号分别代入等式左边计算，对比结果是否与右边的$4x^2$相等，符合的即为正确答案；二是逆推法，已知左边的$12x^3$经过运算后得到$4x^2$，结合$3x$的项，通过逆运算推导对应的运算符号即可，注意题干$x≠0$是保证除法有意义的前提。
【解析】
我们逐一验证各选项：
1. 若符号为“$+$”：左边$=12x^3+3x$，无法化简为$4x^2$，与右边不相等，排除A；
2. 若符号为“$-$”：左边$=12x^3-3x$，无法化简为$4x^2$，与右边不相等，排除B；
3. 若符号为“$×$”：左边$=12x^3×3x=36x^4≠4x^2$，与右边不相等，排除C；
4. 若符号为“$÷$”：因$x≠0$，左边$=12x^3÷3x=(12÷3)·(x^3÷x)=4x^2$，与右边相等，符合要求。
综上，被污染的运算符号是“$÷$”。
【答案】
D
【知识点】
整式的除法运算，同底数幂的除法法则，代入排除法
【点评】
本题属于基础运算类题型，既可以正向代入选项逐一排除错误答案，也可以通过逆运算快速推导结果，核心考查整式乘除运算法则的掌握程度，解题时需注意$x≠0$是除法运算成立的前提。
【难度系数】
0.85

4.利用图形面积的等量关系可以得到某些数学公式,例如,根据图①,我们可以得到完全平方公式:$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.根据图②能得到的数学公式是（）

A.$a^2 - b^2=(a - b)^2$
B.$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$
C.$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$
D.$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$

C

【分析】
这是一道用几何图形面积推导代数公式的题目，解题核心是用两种不同方式表示同一个图形的面积，再令二者相等即可得到对应公式。首先观察图②：大正方形的边长为a，我们要研究的是位于左上方、边长为(a-b)的正方形。第一种计算面积的方法：直接根据正方形面积公式，得该正方形面积为$(a-b)^2$；第二种计算面积的方法：用大正方形的总面积减去其余部分的面积，大正方形面积为$a^2$，其余部分包含两个长为a、宽为b的长方形，但两个长方形有重叠的边长为b的小正方形，因此其余部分总面积为$2ab - b^2$，所以边长为$(a-b)$的正方形面积也可表示为$a^2 - (2ab - b^2)$。最后令两个表达式相等，化简即可得到对应公式。
【解析】
步骤1：计算边长为$(a-b)$的正方形的直接面积：
根据正方形面积公式，面积$S=(a-b)^2$。
步骤2：用割补法计算该正方形的面积：
大正方形边长为$a$，面积为$a^2$；
大正方形内其余部分为2个长为$a$、宽为$b$的长方形，二者重叠部分是边长为$b$的小正方形，因此其余部分总面积为$2× a× b - b^2=2ab - b^2$；
因此边长为$(a-b)$的正方形面积也为$S=a^2 - (2ab - b^2)=a^2 - 2ab + b^2$。
步骤3：联立两个面积表达式可得：
$(a-b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方差公式；面积法推导公式；整式运算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系直观推导代数公式，能加深对完全平方公式内涵的理解，解题关键是熟练掌握用两种方式表示同一图形面积的方法。
【难度系数】
0.7

5.已知$a=2^{40}$，$b=3^{32}$，$c=4^{24}$，则$a,b,c$的大小关系为（）

A.$a＜b＜c$
B.$a＜c＜b$
C.$b＜a＜c$
D.$c＜b＜a$

5. B

【分析】
要比较底数和指数均不相同的幂的大小，直接计算数值复杂度太高，因此考虑利用幂的乘方的逆运算，将三个幂转化为指数相同的形式，当指数为正整数且相同时，只需比较底数的大小即可判断幂的大小。先找三个指数40、32、24的最大公因数是8，因此将三个幂的指数都转化为8，再分别计算对应底数，最后比较底数大小即可得出a、b、c的大小关系。
【解析】
根据幂的乘方公式：$(a^m)^n=a^{mn}$，逆用该公式将各数转化为指数为8的幂：
1. 处理$a$：$a=2^{40}=2^{5×8}=(2^5)^8=32^8$；
2. 处理$b$：$b=3^{32}=3^{4×8}=(3^4)^8=81^8$；
3. 处理$c$：$c=4^{24}=4^{3×8}=(4^3)^8=64^8$。
因为指数都是8，且当指数相同时，底数越大，幂的值越大，又因为$32＜64＜81$，所以$32^8＜64^8＜81^8$，即$a＜c＜b$。
【答案】
B
【知识点】
1.幂的乘方运算 2.幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算的典型题型，核心是灵活运用幂的乘方的逆运算，将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小得到结果，避免了直接计算大数的繁琐，解题关键是找到几个指数的最大公因数作为统一的指数。
【难度系数】
0.7

6.如图①,将一张长方形纸板的四角各切去一个同样的正方形(阴影部分),制成如图②所示的无盖纸盒.若该纸盒的容积为$4a^2b$,则无盖纸盒底部长方形的周长为 （）


A.$4ab$
B.$8ab$
C.$4a+b$
D.$8a+2b$

6. D

【分析】
解题时首先明确无盖纸盒的高就是四角切去的小正方形的边长a，长方体容积公式为“容积=底面积×高”，我们可以先利用已知的容积和高算出纸盒底部长方形的面积；再结合底部长方形的长为b，通过长方形面积公式算出底部的宽；最后代入长方形周长公式就能得到结果。
【解析】
1. 确定纸盒的高：无盖纸盒的高等于切去的小正方形的边长，即高$h=a$。
2. 计算纸盒底部面积：根据长方体容积公式可得，底部面积$S=\frac{\mathrm{容积}}{\mathrm{高}}=\frac{4a^2b}{a}=4ab$。
3. 求底部长方形的宽：由图可知底部长方形的长为$b$，设宽为$x$，根据长方形面积公式$S=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，得$b· x=4ab$，解得$x=4a$。
4. 计算底部周长：根据长方形周长公式，周长$=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})=2×(b+4a)=8a+2b$。
【答案】
D
【知识点】
长方体容积计算，整式的除法，长方形周长计算
【点评】
本题结合了平面展开图与整式运算的相关知识，核心是找准纸盒的高与切去正方形边长的对应关系，再结合常见图形的面积、体积公式逐步推导即可，侧重考查对基础公式的应用能力。
【难度系数】
0.7

7. 计算$-1^2 + (-\dfrac{1}{5})^0$的结果是。

7. 0

【分析】
这道题考查有理数的乘方运算和零指数幂的计算，解题思路是先分别计算两个运算项，再求和。首先要注意区分$-1^2$与$(-1)^2$：$-1^2$表示1的平方的相反数，底数是1；其次要牢记零指数幂的规则：任何不等于0的数的0次幂都等于1，$-\frac{1}{5}≠0$，所以它的0次幂是1，最后将两个结果相加即可得到最终答案。
【解析】
第一步：计算乘方项$-1^2$
$-1^2$是1的平方的相反数，即$-1^2 = -(1×1) = -1$
第二步：计算零指数幂$(-\dfrac{1}{5})^0$
根据零指数幂的性质，非零数的0次幂为1，因为$-\dfrac{1}{5}≠0$，所以$(-\dfrac{1}{5})^0=1$
第三步：计算两个项的和
$-1^2 + (-\dfrac{1}{5})^0 = -1 + 1 = 0$
【答案】
0
【知识点】
乘方运算，零指数幂，有理数加法
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是容易误将$-1^2$算成1，忽略负号不在平方的括号内，同时要注意零指数幂的底数不能为0的前提，熟练掌握基础运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8

8.已知$2x+y=1$($x,y$都是正整数),则$4^x × 2^y$的值为.

8. 2

【分析】
首先观察待求式子的底数分别为4和2，可先将底数统一为2，先利用幂的乘方法则把4^x变形为底数是2的幂，再用同底数幂的乘法法则合并两个乘法项，得到指数为2x+y的幂，最后把已知条件2x+y=1整体代入即可求出结果，不需要单独求解x和y的值，用整体代入更简便。
【解析】
解：先将4^x转化为同底数幂：
∵ 4 = 2²，根据幂的乘方法则，得4^x = (2²)^x = 2^(2x)
∴ 4^x × 2^y = 2^(2x) × 2^y
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
2^(2x) × 2^y = 2^(2x + y)
已知2x + y = 1，将其整体代入上式：
原式$ = 2^1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，结合整体代入思想简化计算，避免了拆分已知条件分别求x、y的繁琐步骤，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

9.若$a+3b=10$，$ab=6$，则$(a-3b)^2$的值是。

9. 28

【分析】
本题要求$(a-3b)^2$的值，已知$a+3b$和$ab$的取值，解题思路是利用完全平方公式的变形建立已知条件和待求式的联系：首先回忆完全平方公式，$(a+3b)^2$展开后包含$a^2$、$9b^2$和$ab$项，$(a-3b)^2$展开后也包含$a^2$、$9b^2$和$ab$项，通过两式的变形可以将待求式用已知的$a+3b$和$ab$表示，再代入数值计算即可。
【解析】
根据完全平方公式：
$(a+3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$
$(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$
将两式对比可得变形公式：
$(a-3b)^2 = (a+3b)^2 - 12ab$
把$a+3b=10$，$ab=6$代入上式：
$\begin{aligned}(a-3b)^2 &= 10^2 - 12×6 \\&= 100 - 72 \\&= 28\end{aligned}$
【答案】
28
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活变形，解题时无需直接求出$a$、$b$的具体值，通过公式变形直接代入已知条件计算即可，熟练掌握完全平方公式的常见变形能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

10. 定义一种新运算：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，若$\begin{vmatrix} x-3 & x+2 \\ x & x+3 \end{vmatrix}=-1$，则$x$的值为 ______ 。

10. -4

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则：二阶行列式的结果等于左上角元素乘右下角元素，减去右上角元素乘左下角元素。首先确定待求行列式中对应a、b、c、d的代数式，再代入新运算规则列出关于x的方程，最后通过整式乘法运算、合并同类项、解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
根据新运算规则$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix} x-3 & x+2 \\ x & x+3 \end{vmatrix}=(x-3)(x+3)-x(x+2)=-1$
展开计算：
1. 计算$(x-3)(x+3)$，由平方差公式得$x^2-9$；
2. 计算$x(x+2)$，由单项式乘多项式法则得$x^2+2x$；
代入等式得：
$x^2-9 - (x^2+2x) = -1$
去括号、合并同类项：
$x^2-9 -x^2 -2x = -1$
$-9-2x=-1$
移项、系数化为1：
$-2x=8$
$x=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查新定义运算的理解应用，结合整式乘法运算求解一元一次方程，运算时注意去括号的符号变化，掌握基础运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

三、解答题(共56分)
11.(16分)计算：
(1)$-m^2 · (-m)^4 · (-m)^3$；
(2)$(-2a^2)^3 - (-3a^3)^2 · a^2 ÷ a^8$；
(3)$(-0.125)^9 × (-8)^{10}$；
(4)$(x^2 - 2)(x + 3) - x(x^2 + 2x - 1)$。

11. 解:(1)原式$=-m^2 · m^4 · (-m^3 )=m^2 · m^4 · m^3 =m^9$.
(2)原式$=- 8a^6 - 9a^6 · a^2 ÷ a^8 = - 8a^6 -9a^{6+2-8}=-8a^6-9$.
(3)原式$=(-0.125)^9×(-8)^9×(-8)=[(-0.125)×(-8)]^9×(-8)=1^9×(-8)=-8$.
(4)原式$=x^3+3x^2-2x-6-x^3-2x^2+x=x^2-x-6$.

【分析】
本题是整式运算类题目，需结合幂的运算法则、整式乘法法则和运算顺序逐一求解：
(1) 属于同底数幂的乘法运算，先根据负数的偶次幂为正、奇次幂为负化简各幂的符号，再按照“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算，注意符号运算规则；
(2) 属于整式的混合运算，遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序：先利用积的乘方法则计算两个乘方项，再按同底数幂乘除法则计算乘除部分，最后合并同类项；
(3) 观察到-0.125和-8相乘得1，可逆用积的乘方公式$a^n·b^n=(ab)^n$，把$(-8)^{10}$拆成$(-8)^9×(-8)$，将指数相同的部分合并计算简化运算；
(4) 先分别按照多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则展开两个乘积项，再去括号，合并同类项得到最终结果，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 先化简幂的符号：$(-m)^4=m^4$，$(-m)^3=-m^3$，
原式$=-m^2 · m^4 · (-m^3 )=m^2 · m^4 · m^3 =m^{2+4+3}=m^9$。
(2) 先计算乘方：$(-2a^2)^3=(-2)^3·(a^2)^3=-8a^6$，$(-3a^3)^2=(-3)^2·(a^3)^2=9a^6$，
再计算乘除：$9a^6 · a^2 ÷ a^8 =9a^{6+2-8}=9$，
最后计算加减：原式$=-8a^6 -9$。
(3) 拆分高次项：$(-8)^{10}=(-8)^9×(-8)$，
逆用积的乘方法则：原式$=(-0.125)^9×(-8)^9×(-8)=[(-0.125)×(-8)]^9×(-8)=1^9×(-8)=-8$。
(4) 分别展开乘积项：
$(x^2 - 2)(x + 3)=x^3+3x^2-2x-6$，
$x(x^2 + 2x - 1)=x^3+2x^2 -x$，
去括号合并同类项：
原式$=x^3+3x^2-2x-6 -x^3-2x^2 +x=x^2 -x -6$。
【答案】
(1) $m^9$；(2) $-8a^6 -9$；(3) $-8$；(4) $x^2 -x -6$
【知识点】
同底数幂的运算、积的乘方的应用、整式的混合运算
【点评】
本题侧重考查整式运算的基础能力，需要熟练掌握幂的各类运算法则，牢记运算顺序，尤其要注意符号的判断，部分题目合理逆用运算律可大幅简化计算步骤，合并同类项时需准确识别同类项再合并。
【难度系数】
0.7