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12.(8分)(甘肃中考)先化简,再求值:$[(2a + b)^2 - (2a + b) · (2a - b)] ÷ 2b$,其中$a=2$, $b=-1$.
答案
12. 解:原式$=[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-b^2)]÷2b=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷2b=(4ab+2b^2)÷2b=2a+b$. 当$a=2,b=-1$时,原式$=2×2+(-1)=3$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题时不要直接代入数值计算，先按整式运算顺序化简可降低计算难度。首先处理中括号内的运算：括号内包含乘方、乘法、减法，优先计算乘方和乘法，其中$(2a+b)^2$可利用完全平方和公式展开，$(2a+b)(2a-b)$可利用平方差公式展开；随后去括号、合并同类项，再计算多项式除以单项式得到最简结果；最后将a、b的取值代入最简式计算即可得到答案。
【解析】
解：先利用乘法公式展开括号内的项：
原式$=[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-b^2)]÷2b$
去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号：
$=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷2b$
合并同类项：
$=(4ab+2b^2)÷2b$
按多项式除以单项式法则，每一项分别除以2b：
$=4ab÷2b + 2b^2÷2b = 2a + b$
将$a=2$，$b=-1$代入化简后的式子：
原式$=2×2+(-1)=4-1=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的运用与整式混合运算的法则，解题时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题时不要直接代入数值计算，先按整式运算顺序化简可降低计算难度。首先处理中括号内的运算：括号内包含乘方、乘法、减法，优先计算乘方和乘法，其中$(2a+b)^2$可利用完全平方和公式展开，$(2a+b)(2a-b)$可利用平方差公式展开；随后去括号、合并同类项，再计算多项式除以单项式得到最简结果；最后将a、b的取值代入最简式计算即可得到答案。
【解析】
解：先利用乘法公式展开括号内的项：
原式$=[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-b^2)]÷2b$
去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号：
$=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷2b$
合并同类项：
$=(4ab+2b^2)÷2b$
按多项式除以单项式法则，每一项分别除以2b：
$=4ab÷2b + 2b^2÷2b = 2a + b$
将$a=2$，$b=-1$代入化简后的式子：
原式$=2×2+(-1)=4-1=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的常规题型，核心考查乘法公式的运用与整式混合运算的法则，解题时需注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
13. (8分)已知 $5^m = 2, 5^n = 4, 5^k = 800.$
(1)求 $5^{3m + 2n - k}$ 的值；
(2)求 $k - 3m - n$ 的值。
(1)求 $5^{3m + 2n - k}$ 的值；
(2)求 $k - 3m - n$ 的值。
答案
13. 解:(1)$\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800,\therefore 5^{3m+2n-k}=5^{3m} ·5^{2n} ÷ 5^k = (5^m)^3 · (5^n)^2 ÷ 5^k = 2^3 × 4^2 ÷ 800 = \frac{4}{25}$.
(2)$\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800,\therefore 5^{k-3m-n}=5^k ÷ 5^{3m} ÷ 5^n =5^k ÷ (5^m)^3 ÷ 5^n =800÷2^3÷4=25=5^2.\therefore k-3m-n=2$.
(2)$\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800,\therefore 5^{k-3m-n}=5^k ÷ 5^{3m} ÷ 5^n =5^k ÷ (5^m)^3 ÷ 5^n =800÷2^3÷4=25=5^2.\therefore k-3m-n=2$.
解析
【分析】
本题考查幂的运算性质的逆应用，解题思路如下：
(1) 求$5^{3m + 2n - k}$的值时，先逆用同底数幂的乘、除法法则，将原式拆分为$5^{3m}·5^{2n}÷5^k$，再逆用幂的乘方法则，把$5^{3m}$转化为$(5^m)^3$、$5^{2n}$转化为$(5^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
(2) 求$k - 3m - n$的值时，先构造同底数幂$5^{k-3m-n}$，逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则将其转化为已知条件的形式计算结果，再根据“同底数幂相等则指数相等”，即可得到所求式子的值。
【解析】
解：(1) $\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800$
$\therefore 5^{3m+2n-k}=5^{3m} ·5^{2n} ÷ 5^k$
$= (5^m)^3 · (5^n)^2 ÷ 5^k$
$= 2^3 × 4^2 ÷ 800$
$=8×16÷800$
$=\frac{4}{25}$
(2) $\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800$
$\therefore 5^{k-3m-n}=5^k ÷ 5^{3m} ÷ 5^n$
$=5^k ÷ (5^m)^3 ÷ 5^n$
$=800÷2^3÷4$
$=800÷8÷4$
$=25=5^2$
$\therefore k-3m-n=2$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{4}{25}}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的典型应用题型，核心考查幂的运算公式的逆用，要求学生熟练掌握幂的运算法则，能灵活对所求式子变形，结合已知条件完成计算。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的运算性质的逆应用，解题思路如下：
(1) 求$5^{3m + 2n - k}$的值时，先逆用同底数幂的乘、除法法则，将原式拆分为$5^{3m}·5^{2n}÷5^k$，再逆用幂的乘方法则，把$5^{3m}$转化为$(5^m)^3$、$5^{2n}$转化为$(5^n)^2$，最后代入已知数值计算即可。
(2) 求$k - 3m - n$的值时，先构造同底数幂$5^{k-3m-n}$，逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则将其转化为已知条件的形式计算结果，再根据“同底数幂相等则指数相等”，即可得到所求式子的值。
【解析】
解：(1) $\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800$
$\therefore 5^{3m+2n-k}=5^{3m} ·5^{2n} ÷ 5^k$
$= (5^m)^3 · (5^n)^2 ÷ 5^k$
$= 2^3 × 4^2 ÷ 800$
$=8×16÷800$
$=\frac{4}{25}$
(2) $\because 5^m=2,5^n=4,5^k=800$
$\therefore 5^{k-3m-n}=5^k ÷ 5^{3m} ÷ 5^n$
$=5^k ÷ (5^m)^3 ÷ 5^n$
$=800÷2^3÷4$
$=800÷8÷4$
$=25=5^2$
$\therefore k-3m-n=2$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{4}{25}}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方
【点评】
本题是幂运算章节的典型应用题型，核心考查幂的运算公式的逆用，要求学生熟练掌握幂的运算法则，能灵活对所求式子变形，结合已知条件完成计算。
【难度系数】
0.7
14. (12分)已知式子$(ax-3)(2x+4)-x^2 - b$化简后不含$x^2$项和常数项.
(1)求$a,b$的值；
(2)求$(b-a)(-a-b)+(-a-b)^2 -a(2a + b)$的值.
(1)求$a,b$的值；
(2)求$(b-a)(-a-b)+(-a-b)^2 -a(2a + b)$的值.
答案
14. 解:(1)$(ax-3)(2x+4)-x^2-b=2ax^2+4ax-6x-12-x^2-b=(2a-1)x^2+(4a-6)x+(-12-b)$.
$\because$式子$(ax-3)(2x+4)-x^2-b$化简后不含$x^2$项和常数项,$\therefore 2a-1=0,-12-b=0$,解得$a=\frac{1}{2},b=-12$.
(2)原式$=a^2-b^2+a^2+2ab+b^2-2a^2-ab=ab$. 当$a=\frac{1}{2},b=-12$时,原式$=\frac{1}{2}×(-12)=-6$.
$\because$式子$(ax-3)(2x+4)-x^2-b$化简后不含$x^2$项和常数项,$\therefore 2a-1=0,-12-b=0$,解得$a=\frac{1}{2},b=-12$.
(2)原式$=a^2-b^2+a^2+2ab+b^2-2a^2-ab=ab$. 当$a=\frac{1}{2},b=-12$时,原式$=\frac{1}{2}×(-12)=-6$.
解析
【分析】
(1) 第一问解题思路：首先按照多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，整理为按x的降幂排列的标准形式。题目中“化简后不含$x^2$项和常数项”的含义是$x^2$项的系数为0，常数项的取值为0，据此列关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的值。
(2) 第二问解题思路：先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的法则将待求代数式展开，再合并同类项化简，最后将第(1)问求出的a、b的值代入化简后的式子计算，可简化运算过程，提高计算准确率。
【解析】
(1) 展开并合并原式：
$\begin{aligned}(ax-3)(2x+4)-x^2 - b&=2ax^2 +4ax -6x -12 -x^2 -b\\&=(2a-1)x^2 + (4a-6)x + (-12 -b)\end{aligned}$
∵化简后不含$x^2$项和常数项
∴$x^2$项系数、常数项均为0，即：
$\begin{cases}2a - 1 = 0\\-12 - b = 0\end{cases}$
解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$。
(2) 化简待求式：
$\begin{aligned}&(b-a)(-a-b)+(-a-b)^2 -a(2a + b)\\=&a^2 - b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 -ab\\=&ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$代入上式，得：
原式$=\frac{1}{2}×(-12)=-6$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$b=-12$；(2) $-6$
【知识点】
整式的乘法运算，无关项的应用，整式化简求值
【点评】
本题是整式章节的常规题型，重点考察整式乘法运算法则、乘法公式的灵活运用，理解“不含某一项则该项系数为0”是解决第一问的核心，第二问先化简后代入的运算策略能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问解题思路：首先按照多项式乘多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项，整理为按x的降幂排列的标准形式。题目中“化简后不含$x^2$项和常数项”的含义是$x^2$项的系数为0，常数项的取值为0，据此列关于a、b的一元一次方程，解方程即可求出a、b的值。
(2) 第二问解题思路：先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式的法则将待求代数式展开，再合并同类项化简，最后将第(1)问求出的a、b的值代入化简后的式子计算，可简化运算过程，提高计算准确率。
【解析】
(1) 展开并合并原式：
$\begin{aligned}(ax-3)(2x+4)-x^2 - b&=2ax^2 +4ax -6x -12 -x^2 -b\\&=(2a-1)x^2 + (4a-6)x + (-12 -b)\end{aligned}$
∵化简后不含$x^2$项和常数项
∴$x^2$项系数、常数项均为0，即：
$\begin{cases}2a - 1 = 0\\-12 - b = 0\end{cases}$
解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$。
(2) 化简待求式：
$\begin{aligned}&(b-a)(-a-b)+(-a-b)^2 -a(2a + b)\\=&a^2 - b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 -ab\\=&ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}$，$b=-12$代入上式，得：
原式$=\frac{1}{2}×(-12)=-6$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{2}$，$b=-12$；(2) $-6$
【知识点】
整式的乘法运算，无关项的应用，整式化简求值
【点评】
本题是整式章节的常规题型，重点考察整式乘法运算法则、乘法公式的灵活运用，理解“不含某一项则该项系数为0”是解决第一问的核心，第二问先化简后代入的运算策略能有效降低计算出错率。
【难度系数】
0.7
15.(12分)如图,某校准备在一块长为$(3a+2b)\mathrm{m}$、宽为$(2a+b)\mathrm{m}$的长方形空地上修建一块长为$(a+2b)\mathrm{m}$、宽为$(3a-b)\mathrm{m}$的长方形草坪,四周铺设地砖(阴影部分).
(1)求铺设地砖的面积;(用含$a,b$的式子表示)
(2)若$a=3,b=4$,铺设地砖的成本为50元/$\mathrm{m}^2$,则铺设地砖需要多少元?
(1)求铺设地砖的面积;(用含$a,b$的式子表示)
(2)若$a=3,b=4$,铺设地砖的成本为50元/$\mathrm{m}^2$,则铺设地砖需要多少元?
答案
15. 解:(1)铺设地砖的面积为$(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(3a-b)=6a^2+3ab+4ab+2b^2-(3a^2-ab+6ab-2b^2)=6a^2+3ab+4ab+2b^2-3a^2+ab-6ab+2b^2=3a^2+2ab+4b^2(\mathrm{m}^2)$.
(2)当$a=3,b=4$时,铺设地砖的面积为$3×3^2+2×3×4+4×4^2=115(\mathrm{m}^2)$,$115×50=5\ 750$(元).答:铺设地砖需要5 750元.
(2)当$a=3,b=4$时,铺设地砖的面积为$3×3^2+2×3×4+4×4^2=115(\mathrm{m}^2)$,$115×50=5\ 750$(元).答:铺设地砖需要5 750元.
解析
【分析】
(1) 要求铺设地砖的阴影部分面积，根据图形特征可知，阴影面积=大长方形空地的面积减去中间空白长方形草坪的面积。结合长方形面积=长×宽的公式，先分别计算两个长方形的面积，再作差，之后利用多项式乘多项式法则展开表达式，最后合并同类项化简即可得到结果。
(2) 第二问属于代数式求值问题，将a=3、b=4直接代入第一问得到的面积表达式中，算出土砖的实际铺设面积，再用面积乘以每平方米的铺设成本，就能得到总费用。
【解析】
(1) 铺设地砖的面积 = 大长方形面积 - 空白草坪面积：
$\begin{aligned}&(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(3a-b)\\=&6a^2+3ab+4ab+2b^2-(3a^2-ab+6ab-2b^2)\\=&6a^2+7ab+2b^2-3a^2+ab-6ab+2b^2\\=&3a^2+2ab+4b^2\end{aligned}$
即铺设地砖的面积为$(3a^2+2ab+4b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=3,b=4$时，代入面积表达式计算：
$\begin{aligned}3a^2+2ab+4b^2&=3×3^2+2×3×4+4×4^2\\&=27+24+64\\&=115(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
总费用为：$115×50=5750$（元）
【答案】
(1) 铺设地砖的面积为$\boldsymbol{(3a^2+2ab+4b^2)\mathrm{m}^2}$；
(2) 铺设地砖需要$\boldsymbol{5750}$元。
【知识点】
多项式乘多项式、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活中的面积计算场景考查整式运算，解题核心是明确阴影面积的推导逻辑，熟练掌握多项式乘法运算规则，合并同类项以及代入求值时注意运算顺序，避免出现符号、计算类错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要求铺设地砖的阴影部分面积，根据图形特征可知，阴影面积=大长方形空地的面积减去中间空白长方形草坪的面积。结合长方形面积=长×宽的公式，先分别计算两个长方形的面积，再作差，之后利用多项式乘多项式法则展开表达式，最后合并同类项化简即可得到结果。
(2) 第二问属于代数式求值问题，将a=3、b=4直接代入第一问得到的面积表达式中，算出土砖的实际铺设面积，再用面积乘以每平方米的铺设成本，就能得到总费用。
【解析】
(1) 铺设地砖的面积 = 大长方形面积 - 空白草坪面积：
$\begin{aligned}&(3a+2b)(2a+b)-(a+2b)(3a-b)\\=&6a^2+3ab+4ab+2b^2-(3a^2-ab+6ab-2b^2)\\=&6a^2+7ab+2b^2-3a^2+ab-6ab+2b^2\\=&3a^2+2ab+4b^2\end{aligned}$
即铺设地砖的面积为$(3a^2+2ab+4b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 当$a=3,b=4$时，代入面积表达式计算：
$\begin{aligned}3a^2+2ab+4b^2&=3×3^2+2×3×4+4×4^2\\&=27+24+64\\&=115(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
总费用为：$115×50=5750$（元）
【答案】
(1) 铺设地砖的面积为$\boldsymbol{(3a^2+2ab+4b^2)\mathrm{m}^2}$；
(2) 铺设地砖需要$\boldsymbol{5750}$元。
【知识点】
多项式乘多项式、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题结合实际生活中的面积计算场景考查整式运算，解题核心是明确阴影面积的推导逻辑，熟练掌握多项式乘法运算规则，合并同类项以及代入求值时注意运算顺序，避免出现符号、计算类错误。
【难度系数】
0.7
