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1.在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.
(1)图①是某年1月份的月历，我们用如图②所示的“N”字形框任意框住月历中的5个数(阴影部分)，先将位置B,D上的数相乘，再将位置A,E上的数相乘，再相减，例如，$10×12 - 17×5$，$20×22 - 27×15$，不难发现，这两个代数式的计算结果都等于
(2)设“N”字形框中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明；
(3)在某月历中，用正方形框框住如图③所示阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为y，求y的值.
(1)图①是某年1月份的月历，我们用如图②所示的“N”字形框任意框住月历中的5个数(阴影部分)，先将位置B,D上的数相乘，再将位置A,E上的数相乘，再相减，例如，$10×12 - 17×5$，$20×22 - 27×15$，不难发现，这两个代数式的计算结果都等于
35
；(2)设“N”字形框中位置C上的数为x，请利用整式的运算对(1)中的规律加以证明；
(3)在某月历中，用正方形框框住如图③所示阴影部分9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为225，设中间位置上的数为y，求y的值.
答案
1. (1) 35
(2)
∵C上的数为x，
∴B上的数为x-1，D上的数为x+1，A上的数为x+6，E上的数为x-6.
∴(x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)=x²-1-(x²-36)=x²-1-x²+36=35.
(3)
∵中间位置上的数为y，则9个位置上的数中，最大的数为y+8，最小的数为y-8，
∴(y+8)(y-8)=225.
∴y²-64=225.
∴y²=289.
∴y=±17.
∵y＞0，
∴y=17.
(2)
∵C上的数为x，
∴B上的数为x-1，D上的数为x+1，A上的数为x+6，E上的数为x-6.
∴(x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)=x²-1-(x²-36)=x²-1-x²+36=35.
(3)
∵中间位置上的数为y，则9个位置上的数中，最大的数为y+8，最小的数为y-8，
∴(y+8)(y-8)=225.
∴y²-64=225.
∴y²=289.
∴y=±17.
∵y＞0，
∴y=17.
解析
【分析】
(1) 第一小问直接按照题目给出的两个代数式分别计算，求出结果即可找到共同的得数。
(2) 第二小问先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，上下相邻数相差7。设C处数字为x，用含x的代数式表示出B、D、A、E四个位置的数字，再按照题目的运算要求列式，利用整式运算化简，即可证明结果恒为定值。
(3) 第三小问先明确3×3正方形框的数字规律：中间数为y时，最小数是左上角的数，比y小8，最大数是右下角的数，比y大8。根据两数乘积为225列方程求解，再结合月历数字为正的实际意义舍去负根，得到y的值。
【解析】
(1) 计算第一个代数式：$10×12 - 17×5 = 120 - 85 = 35$
计算第二个代数式：$20×22 - 27×15 = 440 - 405 = 35$
因此两个代数式的计算结果都等于35。
(2) 证明：设位置C上的数为x，
根据月历数字规律可得：B上的数为$x-1$，D上的数为$x+1$，A上的数为$(x-1)+7=x+6$，E上的数为$(x+1)-7=x-6$。
$\begin{aligned}&\mathrm{则} \quad (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)\\&=x^2-1-(x^2-36)\\&=x^2-1-x^2+36\\&=35\end{aligned}$
因此该规律成立，运算结果恒为35。
(3) 解：设中间位置上的数为y，
根据3×3方框的数字规律，可得最小的数为$y-8$，最大的数为$y+8$。
由题意列方程：$(y+8)(y-8)=225$
展开得：$y^2-64=225$
整理得：$y^2=289$
解得：$y=17$或$y=-17$
∵月历中的数均为正整数，
∴$y=-17$不符合实际意义，舍去。
因此$y=17$。
【答案】
(1) $\boxed{35}$；(2) 证明见解析，规律成立；(3) $\boxed{17}$
【知识点】
月历数字规律、平方差公式、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，考查规律探究能力、整式运算能力和方程的实际应用能力，解题的核心是准确把握月历中数字的排布规律，再结合代数运算完成规律验证和未知量求解，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问直接按照题目给出的两个代数式分别计算，求出结果即可找到共同的得数。
(2) 第二小问先明确月历的数字规律：同一行相邻数相差1，上下相邻数相差7。设C处数字为x，用含x的代数式表示出B、D、A、E四个位置的数字，再按照题目的运算要求列式，利用整式运算化简，即可证明结果恒为定值。
(3) 第三小问先明确3×3正方形框的数字规律：中间数为y时，最小数是左上角的数，比y小8，最大数是右下角的数，比y大8。根据两数乘积为225列方程求解，再结合月历数字为正的实际意义舍去负根，得到y的值。
【解析】
(1) 计算第一个代数式：$10×12 - 17×5 = 120 - 85 = 35$
计算第二个代数式：$20×22 - 27×15 = 440 - 405 = 35$
因此两个代数式的计算结果都等于35。
(2) 证明：设位置C上的数为x，
根据月历数字规律可得：B上的数为$x-1$，D上的数为$x+1$，A上的数为$(x-1)+7=x+6$，E上的数为$(x+1)-7=x-6$。
$\begin{aligned}&\mathrm{则} \quad (x-1)(x+1)-(x+6)(x-6)\\&=x^2-1-(x^2-36)\\&=x^2-1-x^2+36\\&=35\end{aligned}$
因此该规律成立，运算结果恒为35。
(3) 解：设中间位置上的数为y，
根据3×3方框的数字规律，可得最小的数为$y-8$，最大的数为$y+8$。
由题意列方程：$(y+8)(y-8)=225$
展开得：$y^2-64=225$
整理得：$y^2=289$
解得：$y=17$或$y=-17$
∵月历中的数均为正整数，
∴$y=-17$不符合实际意义，舍去。
因此$y=17$。
【答案】
(1) $\boxed{35}$；(2) 证明见解析，规律成立；(3) $\boxed{17}$
【知识点】
月历数字规律、平方差公式、列方程解应用题
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，考查规律探究能力、整式运算能力和方程的实际应用能力，解题的核心是准确把握月历中数字的排布规律，再结合代数运算完成规律验证和未知量求解，贴近生活，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
2.【问题情景】
数学活动课上，老师出了一道题目，阅读下列解题过程。
若$ x+y=5 $，试着用完全平方公式推导出$ xy $的最大值。
解：∵$ x+y=5 $，
∴$ xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{5^2-(x-y)^2}{4} $。
∵$ (x-y)^2≥0 $，
∴$ xy=\frac{5^2-(x-y)^2}{4}≤\frac{5^2}{4} $。
∴当$ x=y=2.5 $时，$ xy $取得最大值，最大值为$ \frac{25}{4} $。
【从特殊到一般】
若设两数分别为$ a,b $，和为定值$ S $，即$ a+b=S $，则当且仅当
【问题解决】
如图，某工厂计划用30 m长的围栏围成一个长方形仓库，其中两面靠墙（墙足够长），其余两面用围栏围成。设其中一边长为$ x $ m，仓库的面积为$ S $ $ m^2 $，直接利用上述发现的规律求仓库面积的最大值。
数学活动课上，老师出了一道题目，阅读下列解题过程。
若$ x+y=5 $，试着用完全平方公式推导出$ xy $的最大值。
解：∵$ x+y=5 $，
∴$ xy=\frac{(x+y)^2-(x-y)^2}{4}=\frac{5^2-(x-y)^2}{4} $。
∵$ (x-y)^2≥0 $，
∴$ xy=\frac{5^2-(x-y)^2}{4}≤\frac{5^2}{4} $。
∴当$ x=y=2.5 $时，$ xy $取得最大值，最大值为$ \frac{25}{4} $。
【从特殊到一般】
若设两数分别为$ a,b $，和为定值$ S $，即$ a+b=S $，则当且仅当
$a=b=\frac{S}{2}$
时，乘积$ ab $取得最大值，最大值为$\frac{S^2}{4}$
。【问题解决】
如图，某工厂计划用30 m长的围栏围成一个长方形仓库，其中两面靠墙（墙足够长），其余两面用围栏围成。设其中一边长为$ x $ m，仓库的面积为$ S $ $ m^2 $，直接利用上述发现的规律求仓库面积的最大值。
答案
2. 【从特殊到一般】$a=b=\frac{S}{2}$，$\frac{S^2}{4}$
【问题解决】由题意，得仓库的另一边长为$(30-x)\mathrm{m}$，则$S=x(30-x). ∵x+(30-x)=30,∴当x=\frac{30}{2}=15$时，S有最大值，最大值为$\frac{30^2}{4}=225. ∴仓库面积的最大值为225\ \mathrm{m^2}.$
【问题解决】由题意，得仓库的另一边长为$(30-x)\mathrm{m}$，则$S=x(30-x). ∵x+(30-x)=30,∴当x=\frac{30}{2}=15$时，S有最大值，最大值为$\frac{30^2}{4}=225. ∴仓库面积的最大值为225\ \mathrm{m^2}.$
解析
【分析】
首先解决从特殊到一般的问题，类比题干中x+y=5时推导xy最大值的思路：利用完全平方公式变形ab的表达式，结合平方的非负性判断ab的最大值情况，即可得到结论。再解决实际问题：由题意可知长方形相邻两边的长度和为围栏总长30m，满足两数和为定值的条件，直接套用推导得到的规律即可求出面积的最大值。
【解析】
从特殊到一般
已知$a+b=S$，根据完全平方公式变形可得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\frac{S^2-(a-b)^2}{4}$
$\because (a-b)^2≥0$
$\therefore$当$(a-b)^2=0$即$a=b$时，$ab$取得最大值，此时$a=b=\frac{S}{2}$，最大值为$\frac{S^2}{4}$。
问题解决
由题意得：长方形仓库相邻两边的长度和等于围栏总长30m，一边长为$x$m，则另一边长为$(30-x)$m，
仓库面积$S=x(30-x)$。
$\because x+(30-x)=30$，和为定值，
根据上述规律，当$x=30-x$即$x=15$时，$S$取得最大值，
最大值为$\frac{30^2}{4}=225(\mathrm{m^2})$。
【答案】
【从特殊到一般】$a=b=\frac{S}{2}$；$\frac{S^2}{4}$
【问题解决】$225\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
完全平方公式应用、和定积最大规律、长方形面积计算
【点评】
本题从特例推导出发，引导学生总结和为定值的两数乘积的最值规律，再应用规律解决实际生活中的面积最值问题，有利于培养知识迁移能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.7
首先解决从特殊到一般的问题，类比题干中x+y=5时推导xy最大值的思路：利用完全平方公式变形ab的表达式，结合平方的非负性判断ab的最大值情况，即可得到结论。再解决实际问题：由题意可知长方形相邻两边的长度和为围栏总长30m，满足两数和为定值的条件，直接套用推导得到的规律即可求出面积的最大值。
【解析】
从特殊到一般
已知$a+b=S$，根据完全平方公式变形可得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\frac{S^2-(a-b)^2}{4}$
$\because (a-b)^2≥0$
$\therefore$当$(a-b)^2=0$即$a=b$时，$ab$取得最大值，此时$a=b=\frac{S}{2}$，最大值为$\frac{S^2}{4}$。
问题解决
由题意得：长方形仓库相邻两边的长度和等于围栏总长30m，一边长为$x$m，则另一边长为$(30-x)$m，
仓库面积$S=x(30-x)$。
$\because x+(30-x)=30$，和为定值，
根据上述规律，当$x=30-x$即$x=15$时，$S$取得最大值，
最大值为$\frac{30^2}{4}=225(\mathrm{m^2})$。
【答案】
【从特殊到一般】$a=b=\frac{S}{2}$；$\frac{S^2}{4}$
【问题解决】$225\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
完全平方公式应用、和定积最大规律、长方形面积计算
【点评】
本题从特例推导出发，引导学生总结和为定值的两数乘积的最值规律，再应用规律解决实际生活中的面积最值问题，有利于培养知识迁移能力和数学应用意识。
【难度系数】
0.7
