10. 当某种商品的单价为50元时,每月可销售此种商品300件,若将单价降低$x(x∈\mathbf{N}^{*})$元,则月销售量增加10x件,要使此种商品的月销售额不低于15950元,则$x$的取值可能为()
A. 9
B. 7
C. 13
D. 11

10.AD　设此种商品的月销售额为$f(x)$。由题意，知单价为$(50 - x)$元，销售量为$(300 + 10x)$件，所以销售额$f(x) = (50 - x)(300 + 10x) = - 10x^2 + 200x + 15000$。
令$f(x) \ge 15950$，即$- 10x^2 + 200x + 15000 \ge 15950$，解得$10 - \sqrt{5} \le x \le 10 + \sqrt{5}$。
故$x$的取值可能为$9$或$11$。

11. 已知函数$f(x)= x+\frac {k}{x},k∈\mathbf{R}$,则下列说法错误的是()
A. 函数$f(x)$为奇函数
B. 当$k＜0$时,函数$f(x)$在其定义域内单调递增
C. 当$k= 4$时,函数$f(x)的值域为(-∞,-4]\cup [4,+∞)$
D. 当$k＞0$时,函数$f(x)$有最小值

11.BD　由题意，得$f(x)$的定义域为$( - \infty ,0)\cup (0, + \infty )$，$f( - x) = - (x + \frac{k}{x}) = - f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，A选项正确。
当$k ＜ 0$时，$f(x)$在$( - \infty ,0)$和$(0, + \infty )$上单调递增，B选项错误。
当$k = 4$时，$f(x) = x + \frac{4}{x}$。
当$x ＞ 0$时，$x + \frac{4}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$，当且仅当$x = \frac{4}{x}$，即$x = 2$时，等号成立；
当$x ＜ 0$时，$x + \frac{4}{x} = - [( - x) + \frac{4}{( - x)}] \le - 2\sqrt{( - x) \cdot \frac{4}{( - x)}} = - 4$，当且仅当$- x = - \frac{4}{x}$，即$x = - 2$时，等号成立。
综上，函数$f(x)$的值域为$( - \infty , - 4]\cup [4, + \infty )$，C选项正确。
当$k ＞ 0$时，对于函数$f(x) = x + \frac{k}{x}$，当$x ＜ 0$时，$f(x) = - [( - x) + \frac{k}{( - x)}] \le - 2\sqrt{( - x) \cdot \frac{k}{( - x)}} = - 2\sqrt{k}$，当且仅当$- x = \frac{k}{ - x}$，即$x = - \sqrt{k}$时，等号成立，所以函数$f(x)$没有最小值，D选项错误。

12. 已知函数$f(x)= \frac {1+x^{2}}{1-x^{2}}$,下列说法正确的是()
A. 函数$f(x)$是奇函数
B. $f(\frac {1}{x})= -f(x)$
C. $f(\frac {1}{2})+f(2)+f(\frac {1}{3})+f(3)+... +f(\frac {1}{2023})+f(2023)= 0$
D. 函数$f(x)的值域为(-∞,-1)\cup [1,+∞)$

12.BCD　对于A，由$f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$，得$1 - x^2 \ne 0$，所以$x \ne \pm 1$，所以函数$f(x)$的定义域为$\{ x|x \ne \pm 1\}$。又$f( - x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} = f(x)$，所以函数$f(x)$是偶函数，故A错误。
对于B，$f(\frac{1}{x}) = \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = - \frac{1 + x^2}{1 - x^2} = - f(x)$，故B正确。
对于C，由B选项可得，$f(\frac{1}{x}) + f(x) = 0$，所以$f(\frac{1}{2}) + f(2) = f(\frac{1}{3}) + f(3)=\cdots = f(\frac{1}{2023}) + f(2023) = 0$，故C正确。
对于D，$f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} = \frac{ - (1 - x^2) + 2}{1 - x^2} = - 1 + \frac{2}{1 - x^2}$。因为$x^2 \ge 0$，且$x^2 \ne 1$，所以$1 - x^2 \le 1$，且$1 - x^2 \ne 0$，所以$\frac{2}{1 - x^2} \in ( - \infty ,0)\cup [2, + \infty )$，所以$- 1 + \frac{2}{1 - x^2} \in ( - \infty , - 1)\cup [1, + \infty )$，所以函数$f(x)$的值域为$( - \infty , - 1)\cup [1, + \infty )$，故D正确。

13. 要建造一个高为3m,容积为$48m^{3}$的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500元,池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价$y$(元)关于池底一边的长$x$(m)的函数解析式为______.

13.$y = 6000(x + \frac{16}{x}) + 1500 \times 16(x ＞ 0)$

14. 已知幂函数$f(x)过定点(2,8)$,且满足$f(a^{2}+1)+f(-5)＞0$,则实数$a$的取值范围为______.

14.$( - \infty , - 2)\cup (2, + \infty )$　设$f(x) = x^{\alpha}$，则$f(2) = 2^{\alpha} = 8$，解得$\alpha = 3$，所以$f(x) = x^3$，所以函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，且$f(x)$为增函数。因为$f( - x) = ( - x)^3 = - x^3 = - f(x)$，所以$f(x)$为奇函数。所以$f(a^2 + 1) + f( - 5) ＞ 0$可转化为$f(a^2 + 1) ＞ - f( - 5) = f(5)$，所以$a^2 + 1 ＞ 5$，解得$a ＞ 2$或$a ＜ - 2$。故实数$a$的取值范围为$( - \infty , - 2)\cup (2, + \infty )$。

15. 已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,且满足以下两个条件：①对任意$x,y∈\mathbf{R}$,都有$f(x+y)= f(x)+f(y)$；②当$x＞0$时,$f(x)＜0$,且$f(1)= -5$,则函数$f(x)在[-2,3]$上的最大值为______.

15.10　设$x_1,x_2 \in \mathbf{R}$，且$x_1 ＜ x_2$，所以$x_2 - x_1 ＞ 0$。由条件②，得$f(x_2 - x_1) ＜ 0$。由条件①，得$f(x_2) = f[(x_2 - x_1) + x_1] = f(x_2 - x_1) + f(x_1)$，所以$f(x_2) - f(x_1) = f(x_2 - x_1) ＜ 0$，即$f(x_2) ＜ f(x_1)$，所以$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上单调递减的奇函数。因为$f(1) = - 5$，所以$f(x)$在$[ - 2,3]$上的最大值为$f( - 2) = f( - 1) + f( - 1) = - f(1) - f(1) = 10$。

16. 已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,$a$为非正的常数,且当$x＞0$时,$f(x)= ax-x^{2}$.若存在实数$m\lt n$,使得$f(x)的定义域与值域都为[m,n]$,则实数$a$的取值范围是______.

16.$( - 1,0]$　$\because a \le 0$，$\therefore$当$x ＞ 0$时，$f(x) = ax - x^2$为减函数。$\because f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，$\therefore f(x)$的图象关于原点对称，$\therefore$当$x ＜ 0$时，$- x ＞ 0$，$f(x) = - f( - x) = ax + x^2$为减函数，$f(0) = 0$，$\therefore f(x) = \begin{cases}ax - x^2,x ＞ 0\\0,x = 0\\ax + x^2,x ＜ 0\end{cases}$。
函数$f(x)$的大致图象如图所示。

由图象易知，函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的减函数。
由题意，得$\begin{cases}f(m) = n\\f(n) = m\end{cases}$。
当$0 \le m ＜ n$时，$f(m) \le 0$，所以$f(m) = n$无解；当$m ＜ n \le 0$时，$f(n) \ge 0$，所以$f(n) = m$无解。综上，$m ＜ 0 ＜ n$。
$\because f(x)$的定义域与值域都为$[m,n]$，$\therefore \begin{cases}am + m^2 = n\\an - n^2 = m\end{cases}$，两式相加，得$a = n - m + 1 ＞ 0$（舍去）或$m + n = 0$，$\therefore n = - m$，$\therefore a = - m - 1 ＞ - 1$，$\therefore - 1 ＜ a \le 0$。故实数$a$的取值范围是$( - 1,0]$。

17. 已知幂函数$f(x)= (m^{2}+6m+9)x^{m+3}在(0,+∞)$上单调递减.
(1)求实数$m$的值；
(2)若$(3a-2)^{-m-1}＜(a+4)^{-m-1}$,求实数$a$的取值范围.

17.解：（1）因为$f(x) = (m^2 + 6m + 9)x^{m + 3}$是幂函数，所以$m^2 + 6m + 9 = 1$，解得$m = - 2$或$m = - 4$。
又因为幂函数$f(x)$在$(0, + \infty )$上单调递减，所以$m + 3 ＜ 0$，所以$m = - 4$。
（2）由（1），知$m = - 4$，所以$(3a - 2)^{ - m - 1} ＜ (a + 4)^{ - m - 1}$可转化为$(3a - 2)^3 ＜ (a + 4)^3$。
因为$y = x^3$在$( - \infty , + \infty )$上单调递增，所以$3a - 2 ＜ a + 4$，解得$a ＜ 3$，所以实数$a$的取值范围为$( - \infty ,3)$。