例1 若把分式$\frac{xy}{x+2y}$中$x,y$的值同时扩大到原来的5倍，则分式的值 （）

A.扩大到原来的5倍
B.不变
C.扩大到原来的10倍
D.缩小为原来的$\frac{1}{5}$
反思归纳 解决此类题目关键是抓住分子、分母变化的倍数，先把字母变化后的值代入分式，再约分，然后与原式比较得结论。

例1. A

【分析】
要判断分式值的变化情况，我们按照题目规则分步推导即可：第一步，将扩大到原来5倍的x、y（即5x、5y）代入原分式，得到变化后的新分式；第二步，分别化简新分式的分子和分母，再通过约分简化新分式；第三步，将简化后的新分式和原分式作对比，就能得出分式值的变化倍数。
【解析】
原分式为$\frac{xy}{x+2y}$，将x、y同时扩大到原来的5倍，即把x替换为$5x$、y替换为$5y$，代入原分式可得：
变化后的新分式$=\frac{5x·5y}{5x+2×5y}$
计算分子：$5x·5y=25xy$
计算分母：$5x+10y=5(x+2y)$
因此新分式可改写为：$\frac{25xy}{5(x+2y)}$
对新分式约分，分子分母同时除以5可得：$\frac{5xy}{x+2y}=5×\frac{xy}{x+2y}$
可见新分式的值是原分式值的5倍，即分式的值扩大到原来的5倍。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式的约分
【点评】
本题属于分式的基础应用题型，解题核心是严格按照题意代入变化后的字母，化简后和原式对比即可得到结果，只要熟练掌握分式的基本运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

1. 下列各式：$\frac{a-b}{2}$，$\frac{x+3}{x}$，$\frac{5+y}{π}$，$\frac{a+b}{a-b}$，$\frac{1}{m}(x+y)$，其中是分式的共有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要判断哪些是分式，首先要牢记分式的定义：形如$\frac{A}{B}$的式子中，A、B都是整式，且B中含有字母时，这个式子就是分式。解题时需要注意：π是圆周率，属于固定的常数，不是字母。我们只需要逐个检查每个式子的分母是否含有字母，就能判断是否为分式。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母是2，为常数，不含字母，属于整式，不是分式；
2. $\frac{x+3}{x}$：分母是$x$，含有字母，符合分式定义，是分式；
3. $\frac{5+y}{π}$：分母是$π$，$π$是常数，不含字母，属于整式，不是分式；
4. $\frac{a+b}{a-b}$：分母是$a-b$，含有字母$a、b$，符合分式定义，是分式；
5. $\frac{1}{m}(x+y)$可变形为$\frac{x+y}{m}$，分母是$m$，含有字母，符合分式定义，是分式。
综上，分式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的定义；整式的判定
【点评】
本题是分式判定的基础题型，易错点是容易误将常数$π$当作字母，把分母含$π$的式子错判为分式，解题时只要紧扣分式“分母含字母”的核心特征，注意特殊常数的属性就能准确作答。
【难度系数】
0.7

2. 下列等式成立的是 （）

A.$\frac{b}{a} = \frac{b+c}{a+c}$
B.$\frac{a^2 + b^2}{a + b} = a + b$
C.$\frac{ab}{ab - b^2} = \frac{a}{a - b}$
D.$\frac{m}{m^2 + 1} = \frac{1}{m + 1}$

C

【分析】
本题考查分式等式的判断，核心解题依据是分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。解题时可逐个分析选项：要么通过因式分解、约分验证等式是否成立，要么代入合适的特殊值快速排除错误选项，注意要避免混淆分式的加减和乘除运算规则。
【解析】
结合分式基本性质逐个分析选项：
A. 分式的基本性质仅适用于分子分母同乘或同除不为0的整式，不支持同加同减同一个数/整式。举例验证：取a=1，b=2，c=1，左边$\frac{b}{a}=2$，右边$\frac{2+1}{1+1}=\frac{3}{2}$，两边不相等，A错误。
B. 分子$a^2+b^2$没有公因式$a+b$（$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2≠ a^2+b^2$），无法约分得到$a+b$。举例验证：取a=1，b=1，左边$\frac{1+1}{1+1}=1$，右边$1+1=2$，两边不相等，B错误。
C. 先对分母因式分解：$ab-b^2=b(a-b)$，原分式有意义时$ab≠0$，因此$b≠0$，根据分式基本性质，分子分母同时除以不为0的$b$，可得$\frac{ab}{b(a-b)}=\frac{a}{a-b}$，等式成立，C正确。
D. 分母$m^2+1$和分子$m$没有公因式，且$m(m+1)=m^2+m≠ m^2+1$，无法约分得到$\frac{1}{m+1}$。举例验证：取m=2，左边$\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}$，右边$\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，两边不相等，D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题时要注意两点：一是不能随意对分式的分子分母同加同减数字或整式；二是约分前要先确认分子分母的公因式，同时注意分母不为0的隐含条件，也可通过特殊值法快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.8

3. 下列四个分式中，是最简分式的是 （）

A.$\frac{a^2 + b^2}{a + b}$
B.$\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}$
C.$\frac{2ax}{3ay}$
D.$\frac{a^2 - b^2}{a - b}$

A

【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时需逐个分析选项：先将每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断二者是否存在公因式，存在公因式的就不是最简分式，反之则符合要求。
【解析】
首先明确最简分式的判定规则：分子和分母没有非零次公因式的分式为最简分式，逐一判断选项：
选项A：分子$a^2+b^2$无法因式分解，分母为$a+b$，二者没有公因式，是最简分式；
选项B：分子$x^2+2x+1=(x+1)^2$，与分母$x+1$有公因式$x+1$，可约分为$x+1$，不是最简分式；
选项C：分子$2ax$和分母$3ay$有公因式$a$，可约分为$\frac{2x}{3y}$，不是最简分式；
选项D：分子$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，与分母$a-b$有公因式$a-b$，可约分为$a+b$，不是最简分式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
最简分式的判定；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式章节的基础题型，核心考查最简分式的判断方法，解题关键是熟练掌握提公因式法、公式法等常见因式分解方法，准确找出分子分母的公因式。
【难度系数】
0.8

4.如果分式$\frac{x^2 -9}{x-3}$的值为0，则x的值是。

$\boldsymbol{-3}$

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先回忆分式值为0的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（否则分式无意义）。解题时先求出使分子为0的x的所有可能取值，再代入分母验证，舍去使分母为0的x，就能得到正确结果。
【解析】
解：若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子为0：
$x^2 -9 = 0$
用平方差公式因式分解得：$(x+3)(x-3)=0$
解得：$x=3$或$x=-3$
2. 分母不为0（分式有意义的前提）：
$x-3 ≠ 0$，即$x ≠ 3$
综上，舍去不符合条件的$x=3$，最终得$x=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
分式值为0的条件、平方差公式因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式有意义和值为0的判定规则，易错点是容易忽略分母不为0的限制，直接根据分子为0得出$x=\pm3$的错误结论，解题时需牢记分母不为0是讨论分式相关问题的前提。
【难度系数】
0.6

例2 先化简，再求值：$(1-\frac{1}{m}) ÷ \frac{m^2 -1}{m^2 +2m +1}$，其中$m=2$。

原式=$\frac{m-1}{m} ÷ \frac{(m+1)(m-1)}{(m+1)^2} = \frac{m-1}{m} · \frac{m+1}{m-1} = \frac{m+1}{m}$。当$m=2$时，原式=$\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$。

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题时无需直接代入数值计算，先化简可大幅简化计算过程。第一步先计算括号内的分式减法，通过通分得到最简结果；第二步将分式除法转化为乘法运算，再对除式的分子、分母分别用因式分解公式拆分；第三步约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将m=2代入最简分式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：先对原式进行化简：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m-1}{m} ÷ \frac{(m+1)(m-1)}{(m+1)^2}\\&=\frac{m-1}{m} · \frac{(m+1)^2}{(m+1)(m-1)}\\&=\frac{m+1}{m}\end{aligned}$
当$m=2$时，将其代入化简后的式子：
$原式=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规基础题型，解题核心是熟练掌握分式的运算法则，能正确运用平方差公式、完全平方公式完成因式分解，计算过程中要注意准确识别公因式进行约分，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.8

5.化简$\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}$的结果是。

解：
原式$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{a+1}$
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}$
$=\frac{1}{a-1}$
最终结果是$\frac{1}{a-1}$。

【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：首先利用平方差公式对第一个分式的分母$a^2-1$因式分解，确定两个分式的最简公分母为$(a+1)(a-1)$；再将第二个分式通分，转化为同分母分式；接着按照同分母分式加法法则，分母不变、分子相加；最后对分子合并同类项后，约去分子分母的公因式得到最简结果即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：
原式$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{a+1}$
将第二个分式通分，分子分母同乘$(a-1)$：
$=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
按照同分母分式加法法则计算：
$=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}$
合并分子的同类项：
$=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}$
约去分子分母的公因式$a+1$（$a≠\pm1$）：
$=\frac{1}{a-1}$
【答案】
$\frac{1}{a-1}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母完成通分，分子运算后要注意约分化为最简分式，运算时需注意分子的符号，避免加减法计算错误。
【难度系数】
0.8

6. 先化简,再求值:$(a + 1 - \dfrac{4a -5}{a -1}) ÷ (\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{a^2 -a})$,其中$a$从$-2,0,1,2$中选出一个你喜欢的数代入求值.

解：
先对原式括号内的部分分别化简：
$\begin{aligned}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{4a-5}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
$\begin{aligned}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{1}{a}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
由分式有意义的条件可得：$a≠0$，$a≠1$，$a≠2$，因此只能选取$a=-2$代入。
当$a=-2$时，
$\mathrm{原式}=(-2)^2-2×(-2)=4+4=8$

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：第一步分别化简两个括号内的式子，整式与分式相减时，将整式看作分母为1的分式，和括号内分式通分后计算；两个分式相减时，先对分母因式分解，找到最简公分母后通分计算。第二步将分式除法转化为乘法，约分后得到最简整式。第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不可取的a值，选择符合要求的数代入最简式计算结果。
【解析】
先对原式括号内的部分分别化简：
1. 化简第一个括号：
$\begin{aligned}a+1-\frac{4a-5}{a-1}&=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{4a-5}{a-1}\\&=\frac{a^2-1-4a+5}{a-1}\\&=\frac{a^2-4a+4}{a-1}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}\end{aligned}$
2. 化简第二个括号：
$\begin{aligned}\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2-a}&=\frac{1}{a}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1}{a(a-1)}-\frac{1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1-1}{a(a-1)}\\&=\frac{a-2}{a(a-1)}\end{aligned}$
3. 除法转乘法并约分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a-2)^2}{a-1}÷\frac{a-2}{a(a-1)}\\&=\frac{(a-2)^2}{a-1}·\frac{a(a-1)}{a-2}\\&=a(a-2)\\&=a^2-2a\end{aligned}$
4. 确定a的取值：由分式有意义的条件可得$a≠0$，$a≠1$，$a≠2$，因此只能选取$a=-2$代入。
5. 代入求值：当$a=-2$时，$\mathrm{原式}=(-2)^2-2×(-2)=4+4=8$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查分式运算中通分、约分的基本规则，也需要注意代入求值前必须先排除使原式分母、除数为0的取值，避免运算无意义。
【难度系数】
0.7

例3 分式方程$\frac{2x-5}{x-2}=\frac{3}{2-x}$的解是 （）

A.$x=-2$
B.$x=2$
C.$x=1$
D.$x=1$或$x=2$
反思归纳 解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程并求解。此外，要注意验根。

例3. C

【分析】
解这道题需遵循分式方程的常规求解思路：首先观察方程的分母，发现x-2和2-x互为相反数，可先统一分母形式，再通过乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，最后一定要验根，排除使分母为0的增根，避免错选。
【解析】
首先对原方程的分母变形：$\because 2-x=-(x-2)$，
$\therefore$ 原方程可化为 $\frac{2x-5}{x-2}=-\frac{3}{x-2}$。
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（隐含条件$x≠2$，否则分母为0，分式无意义），去分母得：
$2x-5=-3$，
移项合并同类项得：$2x=2$，
解得$x=1$。
接下来验根：将$x=1$代入最简公分母$x-2$，得$1-2=-1≠0$，因此$x=1$是原分式方程的解；若代入$x=2$，分母为0，属于增根，应舍去。
综上原方程的解为$x=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，易错点有两处：一是将$2-x$转化为$-(x-2)$时漏写负号，二是解完整式方程后忘记验根，误将增根$x=2$当作原方程的解。
【难度系数】
0.7