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16. (10分)先化简，再求值：
(1)$(x+2y)^2 - 2(x+2y)(x-y) + (x-y)^2$，其中$x=2024$，$y=-6$；
(2)$[(-2x+y)(-2x-y)-(2x-y)^2]÷2y$，其中$x-\frac{1}{2}y=1$。
(1)$(x+2y)^2 - 2(x+2y)(x-y) + (x-y)^2$，其中$x=2024$，$y=-6$；
(2)$[(-2x+y)(-2x-y)-(2x-y)^2]÷2y$，其中$x-\frac{1}{2}y=1$。
答案
(1) 解:原式=$[(x+2y)-(x-y)]^2=(x+2y-x+y)^2=(3y)^2=9y^2$. 当$x=2 024,y=-6$时,原式$9y^2=324$； (2) 解:原式=$[4x^2-y^2-4x^2+4xy-y^2]÷2y=(-2y^2+4xy)÷2y=-y+2x$. $\because x-\dfrac{1}{2}y=1,\therefore 2x-y=2$. 当$2x-y=2$时,原式=$2x-y=2$
解析
【分析】
(1) 观察第一问的式子结构，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x+2y$，$b=x-y$，直接套用公式化简可避免逐项展开的繁琐，化简后x项会被消去，仅代入y的值计算即可。
(2) 第二问先处理中括号内的运算：前半部分$(-2x+y)(-2x-y)$符合平方差公式特征，后半部分$(2x-y)^2$可套用完全平方公式展开，合并同类项后再做整式除法，化简结果与已知条件$x-\frac{1}{2}y=1$高度相关，采用整体代入法计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+2y)-(x-y)]^2\\&=(x+2y-x+y)^2\\&=(3y)^2\\&=9y^2\end{aligned}$
当$x=2024$，$y=-6$时，代入得：
$\mathrm{原式}=9×(-6)^2=9×36=324$
(2) 先利用乘法公式展开括号内的项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(4x^2-y^2)-(4x^2-4xy+y^2)]÷2y\\&=(4x^2-y^2-4x^2+4xy-y^2)÷2y\\&=(4xy-2y^2)÷2y\\&=2x-y\end{aligned}$
已知$x-\frac{1}{2}y=1$，等式两边同时乘2得$2x-y=2$，代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=2$
【答案】
(1) $\boxed{324}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的化简求值运算，熟练掌握乘法公式的结构特征可大幅简化计算过程；第二问用到的整体代入思想是代数式求值中的常用技巧，能避免不必要的计算，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一问的式子结构，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的特征，其中$a=x+2y$，$b=x-y$，直接套用公式化简可避免逐项展开的繁琐，化简后x项会被消去，仅代入y的值计算即可。
(2) 第二问先处理中括号内的运算：前半部分$(-2x+y)(-2x-y)$符合平方差公式特征，后半部分$(2x-y)^2$可套用完全平方公式展开，合并同类项后再做整式除法，化简结果与已知条件$x-\frac{1}{2}y=1$高度相关，采用整体代入法计算即可，无需单独求解x、y的值。
【解析】
(1) 利用完全平方差公式化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+2y)-(x-y)]^2\\&=(x+2y-x+y)^2\\&=(3y)^2\\&=9y^2\end{aligned}$
当$x=2024$，$y=-6$时，代入得：
$\mathrm{原式}=9×(-6)^2=9×36=324$
(2) 先利用乘法公式展开括号内的项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(4x^2-y^2)-(4x^2-4xy+y^2)]÷2y\\&=(4x^2-y^2-4x^2+4xy-y^2)÷2y\\&=(4xy-2y^2)÷2y\\&=2x-y\end{aligned}$
已知$x-\frac{1}{2}y=1$，等式两边同时乘2得$2x-y=2$，代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=2$
【答案】
(1) $\boxed{324}$；(2) $\boxed{2}$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的化简求值运算，熟练掌握乘法公式的结构特征可大幅简化计算过程；第二问用到的整体代入思想是代数式求值中的常用技巧，能避免不必要的计算，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
17.(6分)已知$x+\frac{1}{x}=3$，求下列各式的值：
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。
(1)$(x-\frac{1}{x})^2$；(2)$x^4+\frac{1}{x^4}$。
答案
解:$\because x+\dfrac{1}{x}=3,\therefore (x+\dfrac{1}{x})^2=3^2$. $\therefore x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$. (1) $(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2=7-2=5$；(2)$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2-2=7^2-2=47$
解析
【分析】
观察已知条件和所求式子的结构，均符合完全平方公式的特征，且$x$与$\frac{1}{x}$的乘积为1（常数），因此可按以下思路解题：第一步，先将已知等式$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；第二步，求解(1)时，将$(x-\frac{1}{x})^2$用完全平方公式展开，代入已得的$x^2+\frac{1}{x^2}$的值计算；第三步，求解(2)时，把$x^4+\frac{1}{x^4}$变形为$(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2$的形式，整体代入计算即可。
【解析】
已知$x+\dfrac{1}{x}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=3^2$
展开完全平方，得：
$x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=9$
化简得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} +2=9$，因此$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$。
(1) 对$(x-\dfrac{1}{x})^2$展开完全平方：
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入，得：$7-2=5$。
(2) 将$x^4+\dfrac{1}{x^4}$变形为完全平方的形式：
$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2)^2 + (\dfrac{1}{x^2})^2=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2 - 2· x^2· \dfrac{1}{x^2}$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入，得：$7^2 -2=49-2=47$。
【答案】
(1)$\boxed{5}$；(2)$\boxed{47}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是利用$x$与$\frac{1}{x}$的乘积为常数的特点，通过平方已知等式得到中间代数式的值，再整体代入求解，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
观察已知条件和所求式子的结构，均符合完全平方公式的特征，且$x$与$\frac{1}{x}$的乘积为1（常数），因此可按以下思路解题：第一步，先将已知等式$x+\frac{1}{x}=3$两边同时平方，求出$x^2+\frac{1}{x^2}$的值；第二步，求解(1)时，将$(x-\frac{1}{x})^2$用完全平方公式展开，代入已得的$x^2+\frac{1}{x^2}$的值计算；第三步，求解(2)时，把$x^4+\frac{1}{x^4}$变形为$(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2$的形式，整体代入计算即可。
【解析】
已知$x+\dfrac{1}{x}=3$，将等式两边同时平方，得：
$(x+\dfrac{1}{x})^2=3^2$
展开完全平方，得：
$x^2 + 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=9$
化简得：$x^2 + \dfrac{1}{x^2} +2=9$，因此$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$。
(1) 对$(x-\dfrac{1}{x})^2$展开完全平方：
$(x-\dfrac{1}{x})^2=x^2 - 2· x· \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入，得：$7-2=5$。
(2) 将$x^4+\dfrac{1}{x^4}$变形为完全平方的形式：
$x^4+\dfrac{1}{x^4}=(x^2)^2 + (\dfrac{1}{x^2})^2=(x^2+\dfrac{1}{x^2})^2 - 2· x^2· \dfrac{1}{x^2}$
将$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$代入，得：$7^2 -2=49-2=47$。
【答案】
(1)$\boxed{5}$；(2)$\boxed{47}$
【知识点】
完全平方公式；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是利用$x$与$\frac{1}{x}$的乘积为常数的特点，通过平方已知等式得到中间代数式的值，再整体代入求解，熟练掌握完全平方公式的两种展开形式是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7
18.(8分)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为$a\ \mathrm{cm}$的大正方形，2块是边长为$b\ \mathrm{cm}$的小正方形，5块是长为$a\ \mathrm{cm}$，宽为$b\ \mathrm{cm}$的相同的小长方形，且$a＞b$.
(1)观察图形，可以发现式子$2a^2 +5ab +2b^2$可以因式分解为
(2)若图中阴影部分的面积为$242\ \mathrm{cm}^2$，大长方形纸板的周长为78 cm，求图中空白部分的面积.
(1)观察图形，可以发现式子$2a^2 +5ab +2b^2$可以因式分解为
$(2a+b)(2b+a)$
.(2)若图中阴影部分的面积为$242\ \mathrm{cm}^2$，大长方形纸板的周长为78 cm，求图中空白部分的面积.
答案
18. (1) $(2a+b)(2b+a)$ (2) 解:$\because$阴影部分的面积为$242\ \mathrm{cm}^2$,大长方形的周长为78 cm,$\therefore 2a^2+2b^2=242$. $2(2a+b+2b+a)=78$,即$a^2+b^2=121,a+b=13$. $\because (a+b)^2-2ab=a^2+b^2$,$\therefore ab=24$. $\therefore$空白部分的面积为$5ab=120$. 答:图中空白部分的面积为$120\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
(1) 利用面积法求解：整个大长方形的面积等于所有裁剪小块的面积之和，先确定大长方形的长和宽，用“长×宽”表示大长方形的总面积，再和代数式$2a^2 +5ab +2b^2$对应，即可得到因式分解的结果。
(2) 先根据阴影部分的组成得到$a^2+b^2$的值，再结合大长方形的周长公式求出$a+b$的值，然后利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，最后根据空白部分是5个长为$a$、宽为$b$的小长方形，代入$ab$的值计算空白面积即可。
【解析】
(1) 观察图形可得，大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，大长方形面积等于各裁剪块的面积和，因此$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 解：
根据题意，阴影部分为2个边长为$a$的正方形和2个边长为$b$的正方形，因此：
$2a^2+2b^2=242$，化简得$a^2+b^2=121$；
大长方形的周长为$2[(2a+b)+(a+2b)]=78$，化简得$6(a+b)=78$，解得$a+b=13$。
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{13^2-121}{2}=\frac{48}{2}=24$。
空白部分是5个长为$a$、宽为$b$的小长方形，因此空白部分面积为$5ab=5×24=120(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
(2) $\boldsymbol{120\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
因式分解的几何意义；完全平方公式；长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，以图形裁剪为背景，将代数运算和几何性质结合考查，既要求学生能通过几何图形理解因式分解的直观含义，也要求熟练掌握完全平方公式的变形应用，解题的核心是准确找到几何量与代数式的对应关系。
【难度系数】
0.65
(1) 利用面积法求解：整个大长方形的面积等于所有裁剪小块的面积之和，先确定大长方形的长和宽，用“长×宽”表示大长方形的总面积，再和代数式$2a^2 +5ab +2b^2$对应，即可得到因式分解的结果。
(2) 先根据阴影部分的组成得到$a^2+b^2$的值，再结合大长方形的周长公式求出$a+b$的值，然后利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，最后根据空白部分是5个长为$a$、宽为$b$的小长方形，代入$ab$的值计算空白面积即可。
【解析】
(1) 观察图形可得，大长方形的长为$2a+b$，宽为$a+2b$，大长方形面积等于各裁剪块的面积和，因此$2a^2 +5ab +2b^2=(2a+b)(a+2b)$。
(2) 解：
根据题意，阴影部分为2个边长为$a$的正方形和2个边长为$b$的正方形，因此：
$2a^2+2b^2=242$，化简得$a^2+b^2=121$；
大长方形的周长为$2[(2a+b)+(a+2b)]=78$，化简得$6(a+b)=78$，解得$a+b=13$。
由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形得：
$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{13^2-121}{2}=\frac{48}{2}=24$。
空白部分是5个长为$a$、宽为$b$的小长方形，因此空白部分面积为$5ab=5×24=120(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2a+b)(a+2b)}$
(2) $\boldsymbol{120\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
因式分解的几何意义；完全平方公式；长方形的周长与面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，以图形裁剪为背景，将代数运算和几何性质结合考查，既要求学生能通过几何图形理解因式分解的直观含义，也要求熟练掌握完全平方公式的变形应用，解题的核心是准确找到几何量与代数式的对应关系。
【难度系数】
0.65
19.(10分)【新中考·解题方法型阅读理解题】
先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:若$m^2 + 2mn + 2n^2 -6n +9=0$,求m和n的值.
解:∵$m^2 +2mn +2n^2 -6n +9=0$,
∴$m^2 +2mn +n^2 +n^2 -6n +9=0$.
∴$(m+n)^2 + (n-3)^2=0$.
∴$m+n=0, n-3=0$.
∴$m=-3, n=3$.
问题:
(1)若$x^2 +2y^2 -2xy +4y +4=0$,求x和y的值；
(2)已知a,b,c是$△ ABC$的三边长,满足$a^2 +b^2=10a +8b -41$,且c是$△ ABC$中最长的边,求c的取值范围.
先阅读下面的内容,再解决问题,
例题:若$m^2 + 2mn + 2n^2 -6n +9=0$,求m和n的值.
解:∵$m^2 +2mn +2n^2 -6n +9=0$,
∴$m^2 +2mn +n^2 +n^2 -6n +9=0$.
∴$(m+n)^2 + (n-3)^2=0$.
∴$m+n=0, n-3=0$.
∴$m=-3, n=3$.
问题:
(1)若$x^2 +2y^2 -2xy +4y +4=0$,求x和y的值；
(2)已知a,b,c是$△ ABC$的三边长,满足$a^2 +b^2=10a +8b -41$,且c是$△ ABC$中最长的边,求c的取值范围.
答案
解:(1)$x^2+2y^2-2xy+4y+4=0$,$x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$. $(x-y)^2+(y+2)^2=0$. $\therefore x-y=0,y+2=0$,解得$x=-2,y=-2$；(2)$\because a^2+b^2=10a+8b-41$,$\therefore a^2-10a+25+b^2-8b+16=0$,即$(a-5)^2+(b-4)^2=0$. $a-5=0,b-4=0$. 解得$a=5,b=4$. $\because c$是$△ ABC$中最长的边,$\therefore 5≤ c＜9$
解析
【分析】
本题考查配方法的应用、非负数的性质及三角形三边关系，解题思路如下：
(1) 观察所给等式，将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分别和含$x$、$y$的项组合，构造两个完全平方式，再利用“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的性质列方程，即可求解$x$、$y$的值。
(2) 先将等式右边的项移到左边，把式子拆分为含$a$的完全平方式和含$b$的完全平方式，根据非负数性质求出$a$、$b$的值；再结合$c$是$△ ABC$最长边的条件，利用三角形三边关系确定$c$的取值范围。
【解析】
(1) 对$x^2 +2y^2 -2xy +4y +4=0$拆分项可得：
$x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
整理为完全平方式：$(x-y)^2+(y+2)^2=0$，
∵平方数为非负数，两个非负数相加和为0，则两个非负数均为0，
∴$x-y=0$，$y+2=0$，
解得：$x=-2$，$y=-2$。
(2) 对$a^2 +b^2=10a +8b -41$移项可得：
$a^2-10a +b^2-8b +41=0$，
将常数项41拆分为25+16，构造完全平方式：
$a^2-10a+25 +b^2-8b+16=0$，即$(a-5)^2+(b-4)^2=0$，
根据非负数性质得：$a-5=0$，$b-4=0$，
解得：$a=5$，$b=4$。
∵$c$是$△ ABC$中最长的边，
∴$c≥ a=5$，
又根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$c ＜ a+b=5+4=9$，
综上，$c$的取值范围是$5≤ c ＜9$。
【答案】
(1) $x=-2,y=-2$；(2) $5≤ c＜9$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查拆分多项式构造完全平方式的技巧，易错点是第二问求解$c$的范围时，容易忽略“$c$是最长边”的条件，直接得出$1＜c＜9$的错误结论，解题时要注意审题，充分挖掘题干隐含条件。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法的应用、非负数的性质及三角形三边关系，解题思路如下：
(1) 观察所给等式，将$2y^2$拆分为$y^2+y^2$，分别和含$x$、$y$的项组合，构造两个完全平方式，再利用“若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0”的性质列方程，即可求解$x$、$y$的值。
(2) 先将等式右边的项移到左边，把式子拆分为含$a$的完全平方式和含$b$的完全平方式，根据非负数性质求出$a$、$b$的值；再结合$c$是$△ ABC$最长边的条件，利用三角形三边关系确定$c$的取值范围。
【解析】
(1) 对$x^2 +2y^2 -2xy +4y +4=0$拆分项可得：
$x^2-2xy+y^2+y^2+4y+4=0$，
整理为完全平方式：$(x-y)^2+(y+2)^2=0$，
∵平方数为非负数，两个非负数相加和为0，则两个非负数均为0，
∴$x-y=0$，$y+2=0$，
解得：$x=-2$，$y=-2$。
(2) 对$a^2 +b^2=10a +8b -41$移项可得：
$a^2-10a +b^2-8b +41=0$，
将常数项41拆分为25+16，构造完全平方式：
$a^2-10a+25 +b^2-8b+16=0$，即$(a-5)^2+(b-4)^2=0$，
根据非负数性质得：$a-5=0$，$b-4=0$，
解得：$a=5$，$b=4$。
∵$c$是$△ ABC$中最长的边，
∴$c≥ a=5$，
又根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，得$c ＜ a+b=5+4=9$，
综上，$c$的取值范围是$5≤ c ＜9$。
【答案】
(1) $x=-2,y=-2$；(2) $5≤ c＜9$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于阅读理解类题型，核心考查拆分多项式构造完全平方式的技巧，易错点是第二问求解$c$的范围时，容易忽略“$c$是最长边”的条件，直接得出$1＜c＜9$的错误结论，解题时要注意审题，充分挖掘题干隐含条件。
【难度系数】
0.7
