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例4 下列因式分解正确的是 （）
A.$3ax^2 - 6ax + 3ax = 3ax(x - 2)$
B.$x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 + 2ab - 4b^2 = (a + 2b)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
反思归纳 把一个多项式分解因式，通常是先提公因式，再运用公式。提公因式时应注意符号的处理。此外，每个因式必须分解到不能分解为止。
A.$3ax^2 - 6ax + 3ax = 3ax(x - 2)$
B.$x^2 + y^2 = (-x + y)(-x - y)$
C.$a^2 + 2ab - 4b^2 = (a + 2b)^2$
D.$-ax^2 + 2ax - a = -a(x - 1)^2$
反思归纳 把一个多项式分解因式，通常是先提公因式，再运用公式。提公因式时应注意符号的处理。此外，每个因式必须分解到不能分解为止。
答案
D
解析
【分析】
本题考查因式分解的正误判断，解题思路是逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求：一是分解前后的式子必须恒等，二是要分解到不能再分解为止，可先检查公因式提取是否正确，再验证公式运用是否合理，也可以将分解后的结果展开，和原式对比判断是否相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简左边式子，$3ax^2 - 6ax + 3ax = 3ax^2 - 3ax$，提取公因式得$3ax(x-1)$，和选项给出的$3ax(x-2)$不相等，故A错误；
B选项：将右边展开计算：$(-x+y)(-x-y) = (-x)^2 - y^2 = x^2 - y^2$，和左边$x^2+y^2$不相等，且$x^2+y^2$不符合平方差公式的特征，无法分解为该形式，故B错误；
C选项：将右边展开计算：$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，和左边$a^2 + 2ab - 4b^2$明显不符，故C错误；
D选项：先提取公因式$-a$，得$-ax^2 + 2ax - a = -a(x^2 - 2x + 1)$，再根据完全平方公式，$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此原式$=-a(x-1)^2$，分解正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解判断，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考题，解题时可通过“展开逆推”的方式验证分解结果是否正确，要注意提取公因式时的符号处理，以及完全平方公式、平方差公式的适用特征。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解的正误判断，解题思路是逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求：一是分解前后的式子必须恒等，二是要分解到不能再分解为止，可先检查公因式提取是否正确，再验证公式运用是否合理，也可以将分解后的结果展开，和原式对比判断是否相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：先化简左边式子，$3ax^2 - 6ax + 3ax = 3ax^2 - 3ax$，提取公因式得$3ax(x-1)$，和选项给出的$3ax(x-2)$不相等，故A错误；
B选项：将右边展开计算：$(-x+y)(-x-y) = (-x)^2 - y^2 = x^2 - y^2$，和左边$x^2+y^2$不相等，且$x^2+y^2$不符合平方差公式的特征，无法分解为该形式，故B错误；
C选项：将右边展开计算：$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$，和左边$a^2 + 2ab - 4b^2$明显不符，故C错误；
D选项：先提取公因式$-a$，得$-ax^2 + 2ax - a = -a(x^2 - 2x + 1)$，再根据完全平方公式，$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$，因此原式$=-a(x-1)^2$，分解正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
因式分解判断，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础考题，解题时可通过“展开逆推”的方式验证分解结果是否正确，要注意提取公因式时的符号处理，以及完全平方公式、平方差公式的适用特征。
【难度系数】
0.8
7. 因式分解：
(1)$a^3 - 4a = \_\_\_\_\_\_$;
(2)$m^3n - mn^3 = \_\_\_\_\_\_$.
(1)$a^3 - 4a = \_\_\_\_\_\_$;
(2)$m^3n - mn^3 = \_\_\_\_\_\_$.
答案
(1) $a(a+2)(a-2)$ (2) $mn(m+n)(m-n)$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，对应套用公式继续分解，第三步检查最终结果的每个因式是否都无法再分解，保证分解彻底。
针对第(1)题：先观察多项式$a^3-4a$，两项都含有公因式$a$，先提取公因式，剩余部分为$a^2-4$，符合平方差公式的结构，可继续用平方差公式分解；
针对第(2)题：多项式$m^3n-mn^3$的两项都含有公因式$mn$，先提取公因式，剩余部分为$m^2-n^2$，符合平方差公式的结构，继续套用公式分解即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式$a$，得：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
第二步：$a^2 - 4$符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x=a,y=2$，代入得：
$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$
因此原式分解结果为$a(a+2)(a-2)$。
(2) 第一步：提取公因式$mn$，得：
$m^3n - mn^3 = mn(m^2 - n^2)$
第二步：$m^2 - n^2$符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x=m,y=n$，代入得：
$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
因此原式分解结果为$mn(m+n)(m-n)$。
【答案】
(1) $a(a+2)(a-2)$；(2) $mn(m+n)(m-n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考察因式分解的基本操作步骤，解题时要注意提取公因式后需验证剩余因式是否可继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的解题思路：第一步先提取多项式各项的公因式，第二步观察提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构特征，对应套用公式继续分解，第三步检查最终结果的每个因式是否都无法再分解，保证分解彻底。
针对第(1)题：先观察多项式$a^3-4a$，两项都含有公因式$a$，先提取公因式，剩余部分为$a^2-4$，符合平方差公式的结构，可继续用平方差公式分解；
针对第(2)题：多项式$m^3n-mn^3$的两项都含有公因式$mn$，先提取公因式，剩余部分为$m^2-n^2$，符合平方差公式的结构，继续套用公式分解即可。
【解析】
(1) 第一步：提取公因式$a$，得：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
第二步：$a^2 - 4$符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x=a,y=2$，代入得：
$a^2 - 4=(a+2)(a-2)$
因此原式分解结果为$a(a+2)(a-2)$。
(2) 第一步：提取公因式$mn$，得：
$m^3n - mn^3 = mn(m^2 - n^2)$
第二步：$m^2 - n^2$符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，其中$x=m,y=n$，代入得：
$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
因此原式分解结果为$mn(m+n)(m-n)$。
【答案】
(1) $a(a+2)(a-2)$；(2) $mn(m+n)(m-n)$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考察因式分解的基本操作步骤，解题时要注意提取公因式后需验证剩余因式是否可继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
8.已知$xy=1$，$3y-x=3$，则$3xy^2 - x^2y - xy$的值为
2
.答案
8. 2
解析
【分析】
本题要求代数式的值，首先观察待求式的结构，发现每一项都含有公因式$xy$，因此可先通过提取公因式法对待求式进行因式分解，再将已知的$xy=1$和$3y-x=3$作为整体代入化简后的式子计算，无需单独求解$x$、$y$的值，简化运算过程。
【解析】
先对$3xy^2 - x^2y - xy$提取公因式$xy$：
$\begin{aligned}3xy^2 - x^2y - xy&=xy· 3y - xy· x - xy· 1\\&=xy(3y - x - 1)\end{aligned}$
将已知条件$xy=1$，$3y-x=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1×(3 - 1)\\&=1×2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想可快速得到结果，避免了解方程的繁琐，是代数式求值类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式的值，首先观察待求式的结构，发现每一项都含有公因式$xy$，因此可先通过提取公因式法对待求式进行因式分解，再将已知的$xy=1$和$3y-x=3$作为整体代入化简后的式子计算，无需单独求解$x$、$y$的值，简化运算过程。
【解析】
先对$3xy^2 - x^2y - xy$提取公因式$xy$：
$\begin{aligned}3xy^2 - x^2y - xy&=xy· 3y - xy· x - xy· 1\\&=xy(3y - x - 1)\end{aligned}$
将已知条件$xy=1$，$3y-x=3$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=1×(3 - 1)\\&=1×2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，运用整体代入思想可快速得到结果，避免了解方程的繁琐，是代数式求值类题型的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
9. 因式分解：$(a^2 + 4b^2)^2 - 16a^2b^2$
答案
解:原式=$(a^2+4b^2+4ab)(a^2+4b^2-4ab)=(a+2b)^2(a-2b)^2$
解析
【分析】
观察待分解的式子，整体符合“两个数的平方差”的结构，可先套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行第一次分解；第一次分解后得到的两个多项式均符合完全平方公式的结构，再分别套用完全平方公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：原式$=(a^2 + 4b^2)^2 - (4ab)^2$
$=(a^2 + 4b^2 + 4ab)(a^2 + 4b^2 - 4ab)$
$=(a^2 + 2· a· 2b + (2b)^2)(a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2)$
$=(a+2b)^2(a-2b)^2$
【答案】
$(a+2b)^2(a-2b)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，需要熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，分解因式时要注意分解彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，整体符合“两个数的平方差”的结构，可先套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行第一次分解；第一次分解后得到的两个多项式均符合完全平方公式的结构，再分别套用完全平方公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
解：原式$=(a^2 + 4b^2)^2 - (4ab)^2$
$=(a^2 + 4b^2 + 4ab)(a^2 + 4b^2 - 4ab)$
$=(a^2 + 2· a· 2b + (2b)^2)(a^2 - 2· a· 2b + (2b)^2)$
$=(a+2b)^2(a-2b)^2$
【答案】
$(a+2b)^2(a-2b)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规题型，需要熟练掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，分解因式时要注意分解彻底，直到所有因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
一、选择题(每小题4分,共28分)
1. 下列运算正确的是 （
A.$a + 2a = 3a^2$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(ab)^3 = ab^3$
D.$(-a^3)^2 = -a^6$
1. 下列运算正确的是 （
B
）A.$a + 2a = 3a^2$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(ab)^3 = ab^3$
D.$(-a^3)^2 = -a^6$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查整式的基本运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应运算法则：先回忆合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，再分别代入各选项计算判断，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，原运算结果为$3a^2$，错误。
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确。
选项C：积的乘方需要把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^3=a^3b^3$，原运算结果为$ab^3$，错误。
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，且偶次幂的结果为正，因此$(-a^3)^2=(-1)^2· (a^3)^2=a^6$，原运算结果为$-a^6$，错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础常规题，主要考查整式运算的核心基础法则，解题时要注意区分不同运算法则的要求，尤其要注意运算过程中的符号变化、指数变化的易错点，熟练掌握法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的基本运算，解题思路是逐一验证每个选项的运算是否符合对应运算法则：先回忆合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，再分别代入各选项计算判断，最终选出运算正确的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：合并同类项时，字母和字母的指数不变，仅系数相加，因此$a+2a=(1+2)a=3a$，原运算结果为$3a^2$，错误。
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，运算正确。
选项C：积的乘方需要把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，因此$(ab)^3=a^3b^3$，原运算结果为$ab^3$，错误。
选项D：幂的乘方，底数不变，指数相乘，且偶次幂的结果为正，因此$(-a^3)^2=(-1)^2· (a^3)^2=a^6$，原运算结果为$-a^6$，错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题属于基础常规题，主要考查整式运算的核心基础法则，解题时要注意区分不同运算法则的要求，尤其要注意运算过程中的符号变化、指数变化的易错点，熟练掌握法则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. $(-2a)· a - (-2a)^2$ 的计算结果是 （
A.$0$
B.$2a^2$
C.$-4a^2$
D.$-6a^2$
D
）A.$0$
B.$2a^2$
C.$-4a^2$
D.$-6a^2$
答案
2. D
解析
【分析】
本题属于整式混合运算题，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序即可：第一步先计算乘方项$(-2a)^2$，第二步计算单项式乘单项式项$(-2a)·a$，最后合并同类项得到结果，计算时要重点注意符号的处理。
【解析】
按照整式混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘方项：根据积的乘方法则，$(-2a)^2=(-2)^2·a^2=4a^2$；
2. 计算单项式乘法项：根据同底数幂的乘法法则，$(-2a)·a=-2×(a·a)=-2a^2$；
3. 合并同类项：原式$=-2a^2 - 4a^2 = -6a^2$。
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；积的乘方；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握程度，易错点是计算乘方、运算时符号处理错误，熟练掌握各运算规则、注意运算顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于整式混合运算题，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序即可：第一步先计算乘方项$(-2a)^2$，第二步计算单项式乘单项式项$(-2a)·a$，最后合并同类项得到结果，计算时要重点注意符号的处理。
【解析】
按照整式混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘方项：根据积的乘方法则，$(-2a)^2=(-2)^2·a^2=4a^2$；
2. 计算单项式乘法项：根据同底数幂的乘法法则，$(-2a)·a=-2×(a·a)=-2a^2$；
3. 合并同类项：原式$=-2a^2 - 4a^2 = -6a^2$。
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
同底数幂的乘法；积的乘方；整式混合运算
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查运算法则的掌握程度，易错点是计算乘方、运算时符号处理错误，熟练掌握各运算规则、注意运算顺序即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.若将$(3x+a)(3x+b)$展开的结果中不含有$x$项，则$a,b$满足的关系式是（
A.$ab=1$
B.$ab=0$
C.$a-b=0$
D.$a+b=0$
D
）A.$ab=1$
B.$ab=0$
C.$a-b=0$
D.$a+b=0$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先要明确“展开结果不含x项”的含义：即展开合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题步骤可分为三步：第一步利用多项式乘多项式法则展开原式，第二步合并同类项找到x一次项的系数，第三步令该系数等于0，化简即可得到a、b的关系式。
【解析】
先根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(3x+a)(3x+b)&=3x·3x + 3x· b + a·3x + a· b\\&=9x^2 + 3bx + 3ax + ab\\&=9x^2 + 3(a+b)x + ab\end{aligned}$
因为展开结果中不含x项，所以x的一次项的系数为0，即：
$3(a+b)=0$
两边同时除以3，得：
$a+b=0$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法部分的常考基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于“该项合并同类项后的系数为0”，掌握该规律即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“展开结果不含x项”的含义：即展开合并同类项后，x的一次项的系数为0。解题步骤可分为三步：第一步利用多项式乘多项式法则展开原式，第二步合并同类项找到x一次项的系数，第三步令该系数等于0，化简即可得到a、b的关系式。
【解析】
先根据多项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}(3x+a)(3x+b)&=3x·3x + 3x· b + a·3x + a· b\\&=9x^2 + 3bx + 3ax + ab\\&=9x^2 + 3(a+b)x + ab\end{aligned}$
因为展开结果中不含x项，所以x的一次项的系数为0，即：
$3(a+b)=0$
两边同时除以3，得：
$a+b=0$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法部分的常考基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项”等价于“该项合并同类项后的系数为0”，掌握该规律即可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
4.已知$(a+b)^2=49,a^2+b^2=25$，则$ab=$（
A.24
B.48
C.12
D.6
C
）A.24
B.48
C.12
D.6
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先回忆完全平方和公式的展开形式，完全平方和公式展开后包含$a^2+b^2$和$ab$两类项，题目已经给出$(a+b)^2$和$a^2+b^2$的数值，将已知条件代入展开后的公式，通过简单的移项计算即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
把已知$(a+b)^2=49$，$a^2+b^2=25$代入上式：
$49=25+2ab$
移项计算：$2ab=49-25=24$
两边同时除以2，得$ab=12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，熟记公式的结构特征，理清已知量和待求量的关联即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆完全平方和公式的展开形式，完全平方和公式展开后包含$a^2+b^2$和$ab$两类项，题目已经给出$(a+b)^2$和$a^2+b^2$的数值，将已知条件代入展开后的公式，通过简单的移项计算即可求出$ab$的值。
【解析】
根据完全平方和公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
把已知$(a+b)^2=49$，$a^2+b^2=25$代入上式：
$49=25+2ab$
移项计算：$2ab=49-25=24$
两边同时除以2，得$ab=12$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的变形应用，熟记公式的结构特征，理清已知量和待求量的关联即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 下列各式计算正确的是 （
A.$(x+2)(x-5)=x^2 -2x -3$
B.$(x+3)(x-\dfrac{1}{3})=x^2 +x -1$
C.$(x-\dfrac{2}{3})(x+\dfrac{1}{2})=x^2 -\dfrac{1}{6}x -\dfrac{1}{3}$
D.$(x-2)(-x-2)=x^2 -4$
C
）A.$(x+2)(x-5)=x^2 -2x -3$
B.$(x+3)(x-\dfrac{1}{3})=x^2 +x -1$
C.$(x-\dfrac{2}{3})(x+\dfrac{1}{2})=x^2 -\dfrac{1}{6}x -\dfrac{1}{3}$
D.$(x-2)(-x-2)=x^2 -4$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查整式乘法的计算正误判断，解题思路是对每个选项分别运用多项式乘多项式的运算法则展开计算，再与选项给出的结果对比，即可选出正确选项；对于符合平方差公式特征的式子，也可直接用平方差公式快速计算。计算时要注意各项的符号，不要漏乘项。
【解析】
我们根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，逐个计算选项：
选项A：$(x+2)(x-5)=x^2 -5x +2x -10 = x^2 -3x -10$，与选项给出的$x^2 -2x -3$不一致，A错误。
选项B：$(x+3)(x-\dfrac{1}{3})=x^2 -\dfrac{1}{3}x +3x -1 = x^2 +\dfrac{8}{3}x -1$，与选项给出的$x^2 +x -1$不一致，B错误。
选项C：$(x-\dfrac{2}{3})(x+\dfrac{1}{2})=x^2 +\dfrac{1}{2}x -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2} = x^2 - \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{3}$，与选项结果完全一致，C正确。
选项D：$(x-2)(-x-2)=(-2+x)(-2-x)=(-2)^2 -x^2 =4 -x^2$，与选项给出的$x^2 -4$不一致，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式运算；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘法的运算规则，计算时要格外注意系数运算和符号的正确性，避免因粗心漏乘、错算符号失分。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法的计算正误判断，解题思路是对每个选项分别运用多项式乘多项式的运算法则展开计算，再与选项给出的结果对比，即可选出正确选项；对于符合平方差公式特征的式子，也可直接用平方差公式快速计算。计算时要注意各项的符号，不要漏乘项。
【解析】
我们根据多项式乘多项式法则：$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，逐个计算选项：
选项A：$(x+2)(x-5)=x^2 -5x +2x -10 = x^2 -3x -10$，与选项给出的$x^2 -2x -3$不一致，A错误。
选项B：$(x+3)(x-\dfrac{1}{3})=x^2 -\dfrac{1}{3}x +3x -1 = x^2 +\dfrac{8}{3}x -1$，与选项给出的$x^2 +x -1$不一致，B错误。
选项C：$(x-\dfrac{2}{3})(x+\dfrac{1}{2})=x^2 +\dfrac{1}{2}x -\dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2} = x^2 - \dfrac{1}{6}x - \dfrac{1}{3}$，与选项结果完全一致，C正确。
选项D：$(x-2)(-x-2)=(-2+x)(-2-x)=(-2)^2 -x^2 =4 -x^2$，与选项给出的$x^2 -4$不一致，D错误。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式运算；平方差公式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心是掌握多项式乘法的运算规则，计算时要格外注意系数运算和符号的正确性，避免因粗心漏乘、错算符号失分。
【难度系数】
0.8
6.对于算式$2020^3 - 2020$，下列说法错误的是（
A.能被2018整除
B.能被2019整除
C.能被2020整除
D.能被2021整除
A
）A.能被2018整除
B.能被2019整除
C.能被2020整除
D.能被2021整除
答案
6. A
解析
【分析】
要判断算式能被哪个数整除，核心是将算式因式分解为多个整数相乘的形式，观察乘积中的因数是否包含选项中的数即可。首先观察算式有公因式2020，先提取公因式，再对剩余部分用平方差公式继续分解，最后对比选项判断即可。
【解析】
对$2020^3 - 2020$因式分解：
第一步，提取公因式$2020$：
$2020^3 - 2020 = 2020×(2020^2 - 1)$
第二步，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$2020^2 -1$：
$2020^2 -1=(2020-1)×(2020+1)=2019×2021$
因此原式可化为：
$2020^3 - 2020 = 2020×2019×2021$
可见原式的因数包含2019、2020、2021，因此能被这三个数整除，不包含2018，故不能被2018整除，本题要求选说法错误的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；整除的判定
【点评】
本题将因式分解与整除问题结合，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，将原式转化为多个整数乘积的形式，即可快速判断整除性，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断算式能被哪个数整除，核心是将算式因式分解为多个整数相乘的形式，观察乘积中的因数是否包含选项中的数即可。首先观察算式有公因式2020，先提取公因式，再对剩余部分用平方差公式继续分解，最后对比选项判断即可。
【解析】
对$2020^3 - 2020$因式分解：
第一步，提取公因式$2020$：
$2020^3 - 2020 = 2020×(2020^2 - 1)$
第二步，利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$2020^2 -1$：
$2020^2 -1=(2020-1)×(2020+1)=2019×2021$
因此原式可化为：
$2020^3 - 2020 = 2020×2019×2021$
可见原式的因数包含2019、2020、2021，因此能被这三个数整除，不包含2018，故不能被2018整除，本题要求选说法错误的，故选A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式；整除的判定
【点评】
本题将因式分解与整除问题结合，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，将原式转化为多个整数乘积的形式，即可快速判断整除性，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
7.【新中考·新定义型阅读理解题】如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中，为“幸福数”的是 （
A.205
B.250
C.502
D.520
D
）A.205
B.250
C.502
D.520
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道新定义类题目，解题时首先要将“幸福数”的定义转化为数学代数式：先设出两个连续奇数，再利用平方差公式对两个奇数的平方差进行化简，推导出“幸福数”的共同特征，最后用该特征逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
设较小的连续奇数为$k$（$k$为奇数），则较大的连续奇数为$k+2$，根据“幸福数”的定义可得：
$\begin{aligned}\mathrm{幸福数}&=(k+2)^2 - k^2\\&=(k+2 - k)(k+2 + k)\\&=2×(2k+2)\\&=4(k+1)\end{aligned}$
由此可知“幸福数”一定是4的整数倍，逐一验证选项：
A选项：$205÷4=51.25$，不是整数，不符合；
B选项：$250÷4=62.5$，不是整数，不符合；
C选项：$502÷4=125.5$，不是整数，不符合；
D选项：$520÷4=130$，是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、新定义运算、整式化简
【点评】
本题属于新定义阅读理解题，核心是将陌生的新定义转化为已学的整式运算内容，通过平方差公式化简快速找到“幸福数”的整除特征，无需逐一计算即可快速筛选答案，考察学生的知识迁移能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义类题目，解题时首先要将“幸福数”的定义转化为数学代数式：先设出两个连续奇数，再利用平方差公式对两个奇数的平方差进行化简，推导出“幸福数”的共同特征，最后用该特征逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
设较小的连续奇数为$k$（$k$为奇数），则较大的连续奇数为$k+2$，根据“幸福数”的定义可得：
$\begin{aligned}\mathrm{幸福数}&=(k+2)^2 - k^2\\&=(k+2 - k)(k+2 + k)\\&=2×(2k+2)\\&=4(k+1)\end{aligned}$
由此可知“幸福数”一定是4的整数倍，逐一验证选项：
A选项：$205÷4=51.25$，不是整数，不符合；
B选项：$250÷4=62.5$，不是整数，不符合；
C选项：$502÷4=125.5$，不是整数，不符合；
D选项：$520÷4=130$，是整数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式、新定义运算、整式化简
【点评】
本题属于新定义阅读理解题，核心是将陌生的新定义转化为已学的整式运算内容，通过平方差公式化简快速找到“幸福数”的整除特征，无需逐一计算即可快速筛选答案，考察学生的知识迁移能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题4分,共24分)
8. 计算$\sqrt{9}+(π - 2025)^0 =$
8. 计算$\sqrt{9}+(π - 2025)^0 =$
4
.答案
8. 4
解析
【分析】
这道题是实数的基础混合运算题，解题时可拆分两个运算项分别计算后再求和：首先回忆算术平方根的定义，正数的算术平方根是正的，可算出第一项的结果；再回忆零指数幂的运算性质，先判断底数不为0，即可得到第二项的结果；最后将两项结果相加就能得到最终答案。
【解析】
解：分步计算两项运算：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}$是9的算术平方根，因此$\sqrt{9}=3$；
2. 计算零指数幂：根据零指数幂规则，$a^0=1\ (a≠0)$，由于$π\approx3.14$，可知$π-2025≠0$，因此$(π-2025)^0=1$；
3. 合并结果：将两项结果相加，$3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根，零指数幂，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对算术平方根定义、零指数幂运算性质的掌握，只要牢记相关运算规则，仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
这道题是实数的基础混合运算题，解题时可拆分两个运算项分别计算后再求和：首先回忆算术平方根的定义，正数的算术平方根是正的，可算出第一项的结果；再回忆零指数幂的运算性质，先判断底数不为0，即可得到第二项的结果；最后将两项结果相加就能得到最终答案。
【解析】
解：分步计算两项运算：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{9}$是9的算术平方根，因此$\sqrt{9}=3$；
2. 计算零指数幂：根据零指数幂规则，$a^0=1\ (a≠0)$，由于$π\approx3.14$，可知$π-2025≠0$，因此$(π-2025)^0=1$；
3. 合并结果：将两项结果相加，$3+1=4$。
【答案】
4
【知识点】
算术平方根，零指数幂，实数运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对算术平方根定义、零指数幂运算性质的掌握，只要牢记相关运算规则，仔细计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
9.若长方形的面积是$3a^2 + 3ab + 3a$，长为$3a$，则它的宽为
$a+b+1$
。答案
9. $a+b+1$
解析
【分析】
解决本题首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，由此可以推导得出宽=长方形面积÷长。接下来只需要将已知的面积和长代入该公式，再按照多项式除以单项式的运算法则计算即可：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意不要遗漏常数项对应的商。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
宽 = 面积 ÷ 长
将面积$3a^2 + 3ab + 3a$，长$3a$代入得：
$\begin{aligned}&(3a^2 + 3ab + 3a) ÷ 3a \\=&3a^2÷3a + 3ab÷3a + 3a÷3a \\=&a + b + 1\end{aligned}$
【答案】
$a+b+1$
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算应用题，结合几何图形的面积公式考查整式除法的计算，难度较低，解题时需注意多项式除以单项式时要对每一项都做除法运算，避免漏除最后一项导致结果少了常数项1。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，由此可以推导得出宽=长方形面积÷长。接下来只需要将已知的面积和长代入该公式，再按照多项式除以单项式的运算法则计算即可：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，计算时注意不要遗漏常数项对应的商。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
宽 = 面积 ÷ 长
将面积$3a^2 + 3ab + 3a$，长$3a$代入得：
$\begin{aligned}&(3a^2 + 3ab + 3a) ÷ 3a \\=&3a^2÷3a + 3ab÷3a + 3a÷3a \\=&a + b + 1\end{aligned}$
【答案】
$a+b+1$
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础运算应用题，结合几何图形的面积公式考查整式除法的计算，难度较低，解题时需注意多项式除以单项式时要对每一项都做除法运算，避免漏除最后一项导致结果少了常数项1。
【难度系数】
0.9
10.已知$x+y=3$，$xy=2$，则$x^2 y + xy^2$的值是
6
。答案
10. 6
解析
【分析】
首先观察所求代数式$x^2 y + xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此可以先通过提公因式法对代数式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解x、y的取值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$x^2 y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=3$，$xy=2$，将两者整体代入上式得：
原式$= 2 × 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题解题核心是熟练运用提公因式法分解因式，通过整体代入的思想计算，无需单独求解未知数的值，可有效简化运算。
【难度系数】
0.9
首先观察所求代数式$x^2 y + xy^2$的结构，发现两项都含有公因式$xy$，因此可以先通过提公因式法对代数式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入已知数值计算即可，不需要单独求解x、y的取值，能简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$x^2 y + xy^2 = xy(x + y)$
已知$x+y=3$，$xy=2$，将两者整体代入上式得：
原式$= 2 × 3 = 6$
【答案】
6
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题解题核心是熟练运用提公因式法分解因式，通过整体代入的思想计算，无需单独求解未知数的值，可有效简化运算。
【难度系数】
0.9
11.已知$a + b = 1$，则代数式$a^2 - b^2 + 2b + 9$的值是
10
。答案
11. 10
解析
【分析】
首先观察所求代数式中含有平方差结构$a^2 - b^2$，结合已知条件$a + b = 1$，可先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，代入已知条件化简代数式后，再整体代入$a + b = 1$即可求出结果，无需单独计算a、b的具体数值。
【解析】
解：根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，
已知$a + b = 1$，将其代入原式：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + 2b + 9&=(a - b)(a + b) + 2b + 9\\&=(a - b)×1 + 2b + 9\\&=a - b + 2b + 9\\&=a + b + 9\end{aligned}$
再将$a + b = 1$代入化简后的式子，得$1 + 9 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了代数式化简求值中整体思想的应用。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式中含有平方差结构$a^2 - b^2$，结合已知条件$a + b = 1$，可先利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，代入已知条件化简代数式后，再整体代入$a + b = 1$即可求出结果，无需单独计算a、b的具体数值。
【解析】
解：根据平方差公式可得$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，
已知$a + b = 1$，将其代入原式：
$\begin{aligned}a^2 - b^2 + 2b + 9&=(a - b)(a + b) + 2b + 9\\&=(a - b)×1 + 2b + 9\\&=a - b + 2b + 9\\&=a + b + 9\end{aligned}$
再将$a + b = 1$代入化简后的式子，得$1 + 9 = 10$。
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式分解因式，通过整体代入已知条件简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，体现了代数式化简求值中整体思想的应用。
【难度系数】
0.8
12. 下列式子:①$x^2 + xy - y^2$;②$-x^2 + 2xy - y^2$;③$x^2 + xy + y^2$;④$1 - x + \frac{x^2}{4}$.其中能用完全平方公式分解因式的是
②④
.(填序号)答案
12. ②④
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需满足三个条件：1.是三项式；2.有两个同号的平方项（整体符号一致即可）；3.中间项是两个平方项底数乘积的2倍（正负均可）。接下来我们逐个验证四个式子是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐一分析各选项：
① 式子$x^2 + xy - y^2$中，两个平方项$x^2$（正）和$-y^2$（负）符号相反，不符合完全平方公式的要求，不能用完全平方公式分解；
② 式子$-x^2 + 2xy - y^2$，先提取负号得$-(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的$x^2$和$y^2$是同号平方项，中间项$-2xy$是x、y乘积的2倍的相反数，符合完全平方公式，可分解为$-(x-y)^2$，可以用完全平方公式分解；
③ 式子$x^2 + xy + y^2$中，中间项是$xy$，不是两个平方项底数x、y乘积的2倍（应为$2xy$），不符合要求，不能用完全平方公式分解；
④ 式子$1 - x + \frac{x^2}{4}$，可变形为$1^2 - 2×1×\frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2$，两个平方项$1^2$和$(\frac{x}{2})^2$同号，中间项$-x$是1和$\frac{x}{2}$乘积的2倍的相反数，符合完全平方公式，可分解为$(1-\frac{x}{2})^2$，可以用完全平方公式分解。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式、因式分解的公式法
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，判断时要注意先整理多项式的形式，兼顾平方项的符号和中间项的倍数关系，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.75
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需满足三个条件：1.是三项式；2.有两个同号的平方项（整体符号一致即可）；3.中间项是两个平方项底数乘积的2倍（正负均可）。接下来我们逐个验证四个式子是否符合上述特征即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐一分析各选项：
① 式子$x^2 + xy - y^2$中，两个平方项$x^2$（正）和$-y^2$（负）符号相反，不符合完全平方公式的要求，不能用完全平方公式分解；
② 式子$-x^2 + 2xy - y^2$，先提取负号得$-(x^2 - 2xy + y^2)$，括号内的$x^2$和$y^2$是同号平方项，中间项$-2xy$是x、y乘积的2倍的相反数，符合完全平方公式，可分解为$-(x-y)^2$，可以用完全平方公式分解；
③ 式子$x^2 + xy + y^2$中，中间项是$xy$，不是两个平方项底数x、y乘积的2倍（应为$2xy$），不符合要求，不能用完全平方公式分解；
④ 式子$1 - x + \frac{x^2}{4}$，可变形为$1^2 - 2×1×\frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2$，两个平方项$1^2$和$(\frac{x}{2})^2$同号，中间项$-x$是1和$\frac{x}{2}$乘积的2倍的相反数，符合完全平方公式，可分解为$(1-\frac{x}{2})^2$，可以用完全平方公式分解。
综上，能用完全平方公式分解因式的是②④。
【答案】
②④
【知识点】
完全平方公式、因式分解的公式法
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，判断时要注意先整理多项式的形式，兼顾平方项的符号和中间项的倍数关系，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.75
13.已知$3^m=4,3^n=2$,则$3^{2m-4n}$的值是
1
.答案
13. 1
解析
【分析】
本题可通过逆用幂的运算性质求解，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是差的形式，可先逆用同底数幂的除法法则，将$3^{2m-4n}$拆分为$3^{2m}$除以$3^{4n}$；再逆用幂的乘方法则，把$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，$3^{4n}$转化为$(3^n)^4$；最后将已知的$3^m=4$、$3^n=2$代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用对原式变形：
1. 逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$3^{2m-4n}=3^{2m}÷3^{4n}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$3^{2m}=(3^m)^2$，$3^{4n}=(3^n)^4$
3. 将$3^m=4$，$3^n=2$代入计算：
$(3^m)^2=4^2=16$
$(3^n)^4=2^4=16$
因此$3^{2m-4n}=16÷16=1$
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的运算公式的正用和逆用，能根据所求式子的指数特征灵活变形，代入已知条件准确计算即可。
【难度系数】
0.8
本题可通过逆用幂的运算性质求解，解题思路如下：首先观察所求式子的指数是差的形式，可先逆用同底数幂的除法法则，将$3^{2m-4n}$拆分为$3^{2m}$除以$3^{4n}$；再逆用幂的乘方法则，把$3^{2m}$转化为$(3^m)^2$，$3^{4n}$转化为$(3^n)^4$；最后将已知的$3^m=4$、$3^n=2$代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用对原式变形：
1. 逆用同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，可得：
$3^{2m-4n}=3^{2m}÷3^{4n}$
2. 逆用幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可得：
$3^{2m}=(3^m)^2$，$3^{4n}=(3^n)^4$
3. 将$3^m=4$，$3^n=2$代入计算：
$(3^m)^2=4^2=16$
$(3^n)^4=2^4=16$
因此$3^{2m-4n}=16÷16=1$
【答案】
1
【知识点】
同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题，核心是熟练掌握幂的运算公式的正用和逆用，能根据所求式子的指数特征灵活变形，代入已知条件准确计算即可。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共48分)
14.(8分)计算:
(1)$10\dfrac{1}{2} × 9\dfrac{1}{2}$;
(2)$3a^2 · a^4 - (2a^3)^2 + 2a^6$.
14.(8分)计算:
(1)$10\dfrac{1}{2} × 9\dfrac{1}{2}$;
(2)$3a^2 · a^4 - (2a^3)^2 + 2a^6$.
答案
14. (1) 解:原式=$(10+\dfrac{1}{2})(10-\dfrac{1}{2})=10^2-(\dfrac{1}{2})^2=99\dfrac{3}{4}$；(2) 解:原式=$3a^6-4a^6+2a^6=a^6$
解析
【分析】
(1) 观察两个乘数$10\dfrac{1}{2}$和$9\dfrac{1}{2}$，可分别转化为$10+\dfrac{1}{2}$和$10-\dfrac{1}{2}$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，利用平方差公式计算可简化运算，避免繁琐的带分数乘法。
(2) 本题是整式的混合运算，按照运算顺序：先算乘方、再算乘法，最后算加减。分别根据同底数幂的乘法法则计算$3a^2·a^4$，根据积的乘方法则计算$(2a^3)^2$，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 原式=$(10+\dfrac{1}{2})×(10-\dfrac{1}{2})$
根据平方差公式展开得：$10^2 - (\dfrac{1}{2})^2$
计算得：$100 - \dfrac{1}{4} = 99\dfrac{3}{4}$
(2) 先分别计算乘方和乘法运算：
根据同底数幂乘法法则：$3a^2·a^4 = 3a^{2+4}=3a^6$
根据积的乘方法则：$(2a^3)^2 = 2^2×(a^3)^2=4a^6$
代入原式得：$3a^6 - 4a^6 + 2a^6$
合并同类项得：$(3-4+2)a^6 = a^6$
【答案】
(1)$99\dfrac{3}{4}$；(2)$a^6$
【知识点】
平方差公式，幂的运算，整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，侧重考查对乘法公式和幂的运算法则的掌握情况，解题时注意观察算式特征选择简便方法，牢记运算顺序，注意符号处理即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
(1) 观察两个乘数$10\dfrac{1}{2}$和$9\dfrac{1}{2}$，可分别转化为$10+\dfrac{1}{2}$和$10-\dfrac{1}{2}$，符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，利用平方差公式计算可简化运算，避免繁琐的带分数乘法。
(2) 本题是整式的混合运算，按照运算顺序：先算乘方、再算乘法，最后算加减。分别根据同底数幂的乘法法则计算$3a^2·a^4$，根据积的乘方法则计算$(2a^3)^2$，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 原式=$(10+\dfrac{1}{2})×(10-\dfrac{1}{2})$
根据平方差公式展开得：$10^2 - (\dfrac{1}{2})^2$
计算得：$100 - \dfrac{1}{4} = 99\dfrac{3}{4}$
(2) 先分别计算乘方和乘法运算：
根据同底数幂乘法法则：$3a^2·a^4 = 3a^{2+4}=3a^6$
根据积的乘方法则：$(2a^3)^2 = 2^2×(a^3)^2=4a^6$
代入原式得：$3a^6 - 4a^6 + 2a^6$
合并同类项得：$(3-4+2)a^6 = a^6$
【答案】
(1)$99\dfrac{3}{4}$；(2)$a^6$
【知识点】
平方差公式，幂的运算，整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，侧重考查对乘法公式和幂的运算法则的掌握情况，解题时注意观察算式特征选择简便方法，牢记运算顺序，注意符号处理即可轻松得分。
【难度系数】
0.85
15.(6分)分解因式：
(1)$a^2x^2y - axy^2$；
(2)$9(a - b)^2 - 16b^2$.
(1)$a^2x^2y - axy^2$；
(2)$9(a - b)^2 - 16b^2$.
答案
(1) 解:原式=$axy(ax-y)$. (2) 解:原式=$[3(a-b)+4b][3(a-b)-4b]=(3a+b)(3a-7b)$
解析
【分析】
(1) 第一小题先观察整式各项的特征，首先确定各项的公因式：找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，确定公因式为$axy$，提取公因式即可完成分解。
(2) 第二小题是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，先将原式转化为平方差的标准形式，套用公式后再化简括号内的整式，保证分解彻底即可。
【解析】
(1) 对$a^2x^2y - axy^2$分解因式：
观察可知两项的公因式为$axy$，提取公因式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=axy· ax - axy· y\\&=axy(ax-y)\end{aligned}$
(2) 对$9(a - b)^2 - 16b^2$分解因式：
先将原式改写为平方差形式：$\mathrm{原式}=[3(a-b)]^2-(4b)^2$
套用平方差公式，令$m=3(a-b)$，$n=4b$，得：
$\mathrm{原式}=[3(a-b)+4b][3(a-b)-4b]$
分别化简两个括号内的整式：
$3(a-b)+4b=3a-3b+4b=3a+b$
$3(a-b)-4b=3a-3b-4b=3a-7b$
因此$\mathrm{原式}=(3a+b)(3a-7b)$
【答案】
(1) $axy(ax-y)$；(2) $(3a+b)(3a-7b)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要先观察式子结构，优先判断是否存在公因式，符合公式特征的可套用对应公式，最终要确保分解后的式子不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
(1) 第一小题先观察整式各项的特征，首先确定各项的公因式：找系数的最大公约数、相同字母的最低次幂，确定公因式为$axy$，提取公因式即可完成分解。
(2) 第二小题是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的结构，先将原式转化为平方差的标准形式，套用公式后再化简括号内的整式，保证分解彻底即可。
【解析】
(1) 对$a^2x^2y - axy^2$分解因式：
观察可知两项的公因式为$axy$，提取公因式得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=axy· ax - axy· y\\&=axy(ax-y)\end{aligned}$
(2) 对$9(a - b)^2 - 16b^2$分解因式：
先将原式改写为平方差形式：$\mathrm{原式}=[3(a-b)]^2-(4b)^2$
套用平方差公式，令$m=3(a-b)$，$n=4b$，得：
$\mathrm{原式}=[3(a-b)+4b][3(a-b)-4b]$
分别化简两个括号内的整式：
$3(a-b)+4b=3a-3b+4b=3a+b$
$3(a-b)-4b=3a-3b-4b=3a-7b$
因此$\mathrm{原式}=(3a+b)(3a-7b)$
【答案】
(1) $axy(ax-y)$；(2) $(3a+b)(3a-7b)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题时要先观察式子结构，优先判断是否存在公因式，符合公式特征的可套用对应公式，最终要确保分解后的式子不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
