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7.若关于$x$的分式方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{a+x}{x(x+1)}$的解为负数，则$a$的取值范围是
a＜1且a≠0
。答案
7. a＜1 且 a≠0
解析
【分析】
解决本题的思路是先将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的解，再结合“解为负数”和“分式分母不为0（即排除增根）”两个条件，分别列不等式求解，最后综合得到a的取值范围。第一步先去分母消去分式，第二步求解整式方程得到x的表达式，第三步根据解的正负和增根限制列不等式，第四步合并取值范围。
【解析】
给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)$，此时需满足$x≠0$且$x≠-1$（分母不为0），去分母得：
$x+1 + x = a + x$
整理整式方程：
$2x + 1 = a + x$
移项得：$x = a - 1$
已知方程的解为负数，因此$x ＜ 0$，即：
$a - 1 ＜ 0$，解得$a ＜ 1$
再结合分母不为0的条件：
1. 若$x=0$，则$a-1=0$，$a=1$，已在$a＜1$的范围中排除；
2. 若$x=-1$，则$a-1=-1$，解得$a=0$，需额外排除。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 1$且$a≠0$。
【答案】
$a＜1$且$a≠0$
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是求解时容易忽略分式分母不能为0的限制，漏掉$a≠0$的情况，解答分式方程相关问题时要注意检验是否存在增根。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路是先将分式方程转化为整式方程，求出用含a的代数式表示的解，再结合“解为负数”和“分式分母不为0（即排除增根）”两个条件，分别列不等式求解，最后综合得到a的取值范围。第一步先去分母消去分式，第二步求解整式方程得到x的表达式，第三步根据解的正负和增根限制列不等式，第四步合并取值范围。
【解析】
给分式方程两边同时乘最简公分母$x(x+1)$，此时需满足$x≠0$且$x≠-1$（分母不为0），去分母得：
$x+1 + x = a + x$
整理整式方程：
$2x + 1 = a + x$
移项得：$x = a - 1$
已知方程的解为负数，因此$x ＜ 0$，即：
$a - 1 ＜ 0$，解得$a ＜ 1$
再结合分母不为0的条件：
1. 若$x=0$，则$a-1=0$，$a=1$，已在$a＜1$的范围中排除；
2. 若$x=-1$，则$a-1=-1$，解得$a=0$，需额外排除。
综上，$a$的取值范围是$a ＜ 1$且$a≠0$。
【答案】
$a＜1$且$a≠0$
【知识点】
1. 分式方程求解
2. 分式有意义的条件
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的常考题型，易错点是求解时容易忽略分式分母不能为0的限制，漏掉$a≠0$的情况，解答分式方程相关问题时要注意检验是否存在增根。
【难度系数】
0.7
8.小刚家到学校的距离是1800米.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用时间少4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
(1)则小刚跑步的平均速度是
(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由.
(1)则小刚跑步的平均速度是
150
米/分；(2)如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由.
答案
8. (1) 150 (2) 他不能在上课前赶回学校，理由如下：由(1)得，小刚跑步的平均速度为150米/分，则小刚跑步所用时间为1 800÷150=12(分)，骑自行车所用时间为12-4.5=7.5(分).
∵在家取作业本和取自行车共用了3分钟，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(分).
∵22.5＞20，
∴小刚不能在上课前赶回学校.
∵在家取作业本和取自行车共用了3分钟，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3=22.5(分).
∵22.5＞20，
∴小刚不能在上课前赶回学校.
解析
【分析】
(1) 本题是行程类分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。已知往返路程均为1800米，题目给出两个关键条件：①骑自行车的平均速度是跑步的1.6倍；②骑自行车所用时间比跑步所用时间少4.5分钟。我们可以设跑步的平均速度为x米/分，那么骑自行车的平均速度就是1.6x米/分，根据“时间=路程÷速度”分别表示出跑步、骑车的用时，再结合时间差列方程求解即可，注意分式方程求解后要验根。
(2) 第二问判断能否按时赶回学校，只需将跑步回家用时、在家取物用时、骑车回校用时相加，再和20分钟比较大小即可。
【解析】
(1) 设小刚跑步的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为1.6x米/分。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{1800}{1.6x} = 4.5$
方程两边同乘1.6x去分母得：
$1800×1.6 - 1800 = 4.5×1.6x$
计算得：$1080 = 7.2x$
解得：$x=150$
检验：当$x=150$时，$1.6x=240≠0$，所以$x=150$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分，
跑步回家所用时间：$1800÷150=12$（分）
骑自行车回校所用时间：$12-4.5=7.5$（分）
在家取作业本和取自行车共用3分钟，
总用时为：$12+7.5+3=22.5$（分）
∵$22.5＞20$，所以小刚不能在上课前赶回学校。
【答案】
(1) 150；(2) 不能在上课前赶回学校，理由见解析。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题数量关系
【点评】
本题结合生活场景考查行程问题的求解，解题关键是抓住时间差的等量关系正确列出分式方程，求解后要注意检验根是否符合实际意义，第二问难度较低，只需准确计算总耗时对比即可，整体需要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是行程类分式方程应用题，解题核心是找准等量关系。已知往返路程均为1800米，题目给出两个关键条件：①骑自行车的平均速度是跑步的1.6倍；②骑自行车所用时间比跑步所用时间少4.5分钟。我们可以设跑步的平均速度为x米/分，那么骑自行车的平均速度就是1.6x米/分，根据“时间=路程÷速度”分别表示出跑步、骑车的用时，再结合时间差列方程求解即可，注意分式方程求解后要验根。
(2) 第二问判断能否按时赶回学校，只需将跑步回家用时、在家取物用时、骑车回校用时相加，再和20分钟比较大小即可。
【解析】
(1) 设小刚跑步的平均速度为x米/分，则骑自行车的平均速度为1.6x米/分。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{1800}{1.6x} = 4.5$
方程两边同乘1.6x去分母得：
$1800×1.6 - 1800 = 4.5×1.6x$
计算得：$1080 = 7.2x$
解得：$x=150$
检验：当$x=150$时，$1.6x=240≠0$，所以$x=150$是原方程的解，且符合实际意义。
(2) 他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由(1)得小刚跑步的平均速度为150米/分，
跑步回家所用时间：$1800÷150=12$（分）
骑自行车回校所用时间：$12-4.5=7.5$（分）
在家取作业本和取自行车共用3分钟，
总用时为：$12+7.5+3=22.5$（分）
∵$22.5＞20$，所以小刚不能在上课前赶回学校。
【答案】
(1) 150；(2) 不能在上课前赶回学校，理由见解析。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题数量关系
【点评】
本题结合生活场景考查行程问题的求解，解题关键是抓住时间差的等量关系正确列出分式方程，求解后要注意检验根是否符合实际意义，第二问难度较低，只需准确计算总耗时对比即可，整体需要注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
一、选择题(每小题4分,共32分)
1. 分式$\frac{x}{x-2}$有意义的条件是 （
A.$x≠0$
B.$x＞2$
C.$x＜2$
D.$x≠2$
1. 分式$\frac{x}{x-2}$有意义的条件是 （
D
）A.$x≠0$
B.$x＞2$
C.$x＜2$
D.$x≠2$
答案
1. D
解析
【分析】
要解决分式有意义的条件类问题，首先回忆相关核心规则：分式有意义的前提是分母不能为0。解题步骤可分为三步：第一步定位分式的分母，本题中分母为$x-2$；第二步根据规则列不等式，即分母不等于0；第三步解不等式得到x的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0，
可得该分式的分母$x-2 ≠ 0$，
解不等式得：$x ≠ 2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的规则，注意不要将该条件与分式值为0、分式无意义的条件混淆，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要解决分式有意义的条件类问题，首先回忆相关核心规则：分式有意义的前提是分母不能为0。解题步骤可分为三步：第一步定位分式的分母，本题中分母为$x-2$；第二步根据规则列不等式，即分母不等于0；第三步解不等式得到x的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0，
可得该分式的分母$x-2 ≠ 0$，
解不等式得：$x ≠ 2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记分式有意义时分母不为0的规则，注意不要将该条件与分式值为0、分式无意义的条件混淆，认真计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2. 计算$(\frac{3n}{p})^2 ÷ \frac{mn}{p^2}$的结果是 （
A.$\frac{9mn^3}{p^3}$
B.$\frac{3mn^3}{p^3}$
C.$\frac{3n}{m}$
D.$\frac{9n}{m}$
D
）A.$\frac{9mn^3}{p^3}$
B.$\frac{3mn^3}{p^3}$
C.$\frac{3n}{m}$
D.$\frac{9n}{m}$
答案
2. D
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先根据分式乘方法则计算乘方部分，再将分式除法转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
第一步：计算分式的乘方，根据分式乘方规则，分子分母分别乘方：
$(\frac{3n}{p})^2=\frac{(3n)^2}{p^2}=\frac{9n^2}{p^2}$
第二步：将除法转化为乘法，分式除以一个分式等于乘以它的倒数：
原式$=\frac{9n^2}{p^2} × \frac{p^2}{mn}$
第三步：约分，约掉分子分母的公因式$p^2$和$n$：
$\frac{9n^2}{p^2} × \frac{p^2}{mn}=\frac{9n}{m}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方、分式乘除运算、约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，运算时要注意先算乘方、再算乘除的顺序，乘方运算时不要遗漏系数的乘方，约分需将分子分母的公因式全部约去，才能得到正确的最简结果。
【难度系数】
0.8
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式运算顺序：先算乘方，再算乘除。首先根据分式乘方法则计算乘方部分，再将分式除法转化为乘法运算，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
第一步：计算分式的乘方，根据分式乘方规则，分子分母分别乘方：
$(\frac{3n}{p})^2=\frac{(3n)^2}{p^2}=\frac{9n^2}{p^2}$
第二步：将除法转化为乘法，分式除以一个分式等于乘以它的倒数：
原式$=\frac{9n^2}{p^2} × \frac{p^2}{mn}$
第三步：约分，约掉分子分母的公因式$p^2$和$n$：
$\frac{9n^2}{p^2} × \frac{p^2}{mn}=\frac{9n}{m}$
因此结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘方、分式乘除运算、约分
【点评】
本题重点考查分式混合运算的规则，运算时要注意先算乘方、再算乘除的顺序，乘方运算时不要遗漏系数的乘方，约分需将分子分母的公因式全部约去，才能得到正确的最简结果。
【难度系数】
0.8
3. 目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2 nm(其中 $1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是（
A.$2× 10^{-8}\ \mathrm{m}$
B.$2× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
C.$2× 10^{-10}\ \mathrm{m}$
D.$2× 10^{-11}\ \mathrm{m}$
C
）A.$2× 10^{-8}\ \mathrm{m}$
B.$2× 10^{-9}\ \mathrm{m}$
C.$2× 10^{-10}\ \mathrm{m}$
D.$2× 10^{-11}\ \mathrm{m}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步是单位换算，利用题目给出的纳米与米的换算关系，把0.2nm转化为以m为单位的数；第二步是将换算结果整理为科学记数法的标准形式，需牢记科学记数法要求$a×10^n$中$1≤|a|＜10$，调整$a$的取值时对应调整10的指数即可。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$，因此：
$0.2\ \mathrm{nm}=0.2×10^{-9}\ \mathrm{m}$
将$0.2$改写为$2×10^{-1}$，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的规则计算：
$0.2×10^{-9}\ \mathrm{m}=2×10^{-1}×10^{-9}\ \mathrm{m}=2×10^{-10}\ \mathrm{m}$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；长度单位换算；同底数幂运算
【点评】
本题是基础类考题，主要考察科学记数法的规范表达和单位换算能力，解题时注意不要忽略科学记数法中$a$的取值要求，避免指数计算错误即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确两个核心步骤：第一步是单位换算，利用题目给出的纳米与米的换算关系，把0.2nm转化为以m为单位的数；第二步是将换算结果整理为科学记数法的标准形式，需牢记科学记数法要求$a×10^n$中$1≤|a|＜10$，调整$a$的取值时对应调整10的指数即可。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm{m}$，因此：
$0.2\ \mathrm{nm}=0.2×10^{-9}\ \mathrm{m}$
将$0.2$改写为$2×10^{-1}$，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加的规则计算：
$0.2×10^{-9}\ \mathrm{m}=2×10^{-1}×10^{-9}\ \mathrm{m}=2×10^{-10}\ \mathrm{m}$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；长度单位换算；同底数幂运算
【点评】
本题是基础类考题，主要考察科学记数法的规范表达和单位换算能力，解题时注意不要忽略科学记数法中$a$的取值要求，避免指数计算错误即可得分。
【难度系数】
0.85
4.若关于$x$的分式方程$\dfrac{m-3}{x-1}=1$的解为$x=2$，则$m$的值为 （
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
4. B
解析
【分析】
本题已知分式方程的解，求参数m的值，解题核心是理解方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们可以直接将给出的解x=2代入原分式方程，得到一个只含参数m的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵ $x=2$是分式方程$\dfrac{m-3}{x-1}=1$的解
∴ 将$x=2$代入原方程，等式成立，即：
$\dfrac{m-3}{2-1}=1$
化简得：$m-3=1$
移项计算得：$m=1+3=4$
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，直接将已知解代入原方程求解参数即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
本题已知分式方程的解，求参数m的值，解题核心是理解方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。因此我们可以直接将给出的解x=2代入原分式方程，得到一个只含参数m的一元一次方程，再解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵ $x=2$是分式方程$\dfrac{m-3}{x-1}=1$的解
∴ 将$x=2$代入原方程，等式成立，即：
$\dfrac{m-3}{2-1}=1$
化简得：$m-3=1$
移项计算得：$m=1+3=4$
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的应用，直接将已知解代入原方程求解参数即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
5. 下列计算正确的是（
A.$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b) = 1$
B.$\frac{a^2 -1}{a^2 -a} = a+1$
C.$\frac{x-1}{1-x^2} = \frac{1}{x+1}$
D.$( \frac{2a}{b} )^2 ÷ \frac{b}{2a} = \frac{8a^3}{b^3}$
D
）A.$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b) = 1$
B.$\frac{a^2 -1}{a^2 -a} = a+1$
C.$\frac{x-1}{1-x^2} = \frac{1}{x+1}$
D.$( \frac{2a}{b} )^2 ÷ \frac{b}{2a} = \frac{8a^3}{b^3}$
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查分式的相关运算，解题时需逐一根据分式的乘除法则、约分规则对每个选项进行计算，排除错误选项即可得到正确答案。解题步骤为：对于分式除法，先转化为乘法运算；对于可因式分解的分子分母，先因式分解再约分，约分过程中注意符号处理和公因式的判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：分式除法需乘以除数的倒数，$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b) = \frac{1}{a+b} × \frac{1}{a+b} = \frac{1}{(a+b)^2} ≠ 1$，故A错误。
选项B：先对分子分母因式分解再约分，$\frac{a^2 -1}{a^2 -a} = \frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a} (a≠1) ≠ a+1$，故B错误。
选项C：先分解分母并处理符号，$\frac{x-1}{1-x^2} = \frac{x-1}{(1-x)(1+x)} = \frac{x-1}{-(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x+1} (x≠1) ≠ \frac{1}{x+1}$，故C错误。
选项D：先算乘方再算除法，$(\frac{2a}{b})^2 ÷ \frac{b}{2a} = \frac{4a^2}{b^2} × \frac{2a}{b} = \frac{8a^3}{b^3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算；分式的约分；因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点在于约分过程中符号处理错误、除法变乘法时忘记颠倒除数的分子分母、乘方运算时漏乘系数，计算时需要细心核对每一步的运算规则。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的相关运算，解题时需逐一根据分式的乘除法则、约分规则对每个选项进行计算，排除错误选项即可得到正确答案。解题步骤为：对于分式除法，先转化为乘法运算；对于可因式分解的分子分母，先因式分解再约分，约分过程中注意符号处理和公因式的判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：分式除法需乘以除数的倒数，$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b) = \frac{1}{a+b} × \frac{1}{a+b} = \frac{1}{(a+b)^2} ≠ 1$，故A错误。
选项B：先对分子分母因式分解再约分，$\frac{a^2 -1}{a^2 -a} = \frac{(a+1)(a-1)}{a(a-1)} = \frac{a+1}{a} (a≠1) ≠ a+1$，故B错误。
选项C：先分解分母并处理符号，$\frac{x-1}{1-x^2} = \frac{x-1}{(1-x)(1+x)} = \frac{x-1}{-(x-1)(x+1)} = -\frac{1}{x+1} (x≠1) ≠ \frac{1}{x+1}$，故C错误。
选项D：先算乘方再算除法，$(\frac{2a}{b})^2 ÷ \frac{b}{2a} = \frac{4a^2}{b^2} × \frac{2a}{b} = \frac{8a^3}{b^3}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的乘除运算；分式的约分；因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，易错点在于约分过程中符号处理错误、除法变乘法时忘记颠倒除数的分子分母、乘方运算时漏乘系数，计算时需要细心核对每一步的运算规则。
【难度系数】
0.7
6.已知$\frac{2a}{a^2 - b^2} ÷ M = \frac{1}{a - b}$，则$M$等于（
A.$\frac{2a}{a + b}$
B.$\frac{a + b}{2a}$
C.$\frac{2a}{a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a}$
A
）A.$\frac{2a}{a + b}$
B.$\frac{a + b}{2a}$
C.$\frac{2a}{a - b}$
D.$\frac{a - b}{2a}$
答案
6. A
解析
【分析】
要解这道题，首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系确定M的表达式，再结合分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，然后利用平方差公式对分母因式分解，最后约分化简就能得到M的结果。
【解析】
根据除法各部分关系可得：
$M = \frac{2a}{a^2 - b^2} ÷ \frac{1}{a - b}$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$M = \frac{2a}{a^2 - b^2} × (a - b)$
利用平方差公式分解$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入得：
$M = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} × (a - b)$
约去分子分母的公因式$a-b$，得：
$M = \frac{2a}{a + b}$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】分式的乘除运算；平方差公式因式分解
【点评】本题属于基础运算题，核心是利用除法各部分的关系列出待求式，再结合分式运算规则和因式分解的方法化简，计算时注意公因式的约分即可。
【难度系数】0.8
要解这道题，首先根据除法运算中“除数=被除数÷商”的关系确定M的表达式，再结合分式除法的运算法则，将除法转化为乘法，然后利用平方差公式对分母因式分解，最后约分化简就能得到M的结果。
【解析】
根据除法各部分关系可得：
$M = \frac{2a}{a^2 - b^2} ÷ \frac{1}{a - b}$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$M = \frac{2a}{a^2 - b^2} × (a - b)$
利用平方差公式分解$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，代入得：
$M = \frac{2a}{(a+b)(a-b)} × (a - b)$
约去分子分母的公因式$a-b$，得：
$M = \frac{2a}{a + b}$
因此选A选项。
【答案】A
【知识点】分式的乘除运算；平方差公式因式分解
【点评】本题属于基础运算题，核心是利用除法各部分的关系列出待求式，再结合分式运算规则和因式分解的方法化简，计算时注意公因式的约分即可。
【难度系数】0.8
7.某工程队要铺建一条长2 000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果比原计划提前2天完成任务，设这个工程队原计划每天铺建x米管道，依题意所列方程正确的是（
A.$\frac{2000}{x} + 2 = \frac{2000}{1.25x}$
B.$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{1.25x} + 2$
C.$\frac{2000}{x} + \frac{2000}{1.25x} = 2$
D.$\frac{2000}{1.25x} - \frac{2000}{x} = 2$
B
）A.$\frac{2000}{x} + 2 = \frac{2000}{1.25x}$
B.$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{1.25x} + 2$
C.$\frac{2000}{x} + \frac{2000}{1.25x} = 2$
D.$\frac{2000}{1.25x} - \frac{2000}{x} = 2$
答案
7. B
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，先分别表示出原计划和实际的施工时间，再根据“提前2天完成”的时间差找准等量关系列方程。首先明确已知量：总工作量是2000米，原计划工作效率是x米/天；再计算实际工作效率，效率提高25%即实际效率为原效率的1.25倍；最后分析时间关系：提前2天完成说明原计划用时比实际用时多2天，据此就能列出正确方程。
【解析】
解：根据工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率
①原计划每天铺建x米管道，总长度2000米，因此原计划完成任务的时间为：$\frac{2000}{x}$天
②工作效率提高25%后，实际每天铺建的长度为：$x×(1+25\%)=1.25x$米，因此实际完成任务的时间为：$\frac{2000}{1.25x}$天
③已知实际比原计划提前2天完成，即原计划用时 = 实际用时 + 2天，代入可得方程：
$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{1.25x} + 2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题等量关系
【点评】
本题是典型的工程类列方程问题，解题的关键是准确梳理原计划与实际施工的效率、时间对应关系，尤其要注意“提前完成”代表原计划用时更长，不要混淆两者的大小关系导致列错等式，掌握基本的工程问题公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是抓住“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系，先分别表示出原计划和实际的施工时间，再根据“提前2天完成”的时间差找准等量关系列方程。首先明确已知量：总工作量是2000米，原计划工作效率是x米/天；再计算实际工作效率，效率提高25%即实际效率为原效率的1.25倍；最后分析时间关系：提前2天完成说明原计划用时比实际用时多2天，据此就能列出正确方程。
【解析】
解：根据工程问题基本公式：工作时间=工作总量÷工作效率
①原计划每天铺建x米管道，总长度2000米，因此原计划完成任务的时间为：$\frac{2000}{x}$天
②工作效率提高25%后，实际每天铺建的长度为：$x×(1+25\%)=1.25x$米，因此实际完成任务的时间为：$\frac{2000}{1.25x}$天
③已知实际比原计划提前2天完成，即原计划用时 = 实际用时 + 2天，代入可得方程：
$\frac{2000}{x} = \frac{2000}{1.25x} + 2$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 工程问题等量关系
【点评】
本题是典型的工程类列方程问题，解题的关键是准确梳理原计划与实际施工的效率、时间对应关系，尤其要注意“提前完成”代表原计划用时更长，不要混淆两者的大小关系导致列错等式，掌握基本的工程问题公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 若关于x的分式方程$\frac{m}{x-2}+1=\frac{x}{2-x}$的解是非负数，则m的取值范围是（
A.$m≤2$
B.$m≥2$
C.$m≤2$且$m≠-2$
D.$m＜2$且$m≠-2$
C
）A.$m≤2$
B.$m≥2$
C.$m≤2$且$m≠-2$
D.$m＜2$且$m≠-2$
答案
8. C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x的解；第二步根据“解是非负数”即x≥0的要求，列不等式求出m的初步范围；第三步牢记分式方程分母不能为0，排除增根对应的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，注意右边分母$2-x=-(x-2)$，去分母得：
$m + (x - 2) = -x$
移项合并同类项：
$2x = 2 - m$
解得：$x = \frac{2 - m}{2}$
∵ 方程的解是非负数
∴ $\frac{2 - m}{2} ≥ 0$
两边同乘2得：$2 - m ≥ 0$，解得$m ≤ 2$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ 2$
∴ $\frac{2 - m}{2} ≠ 2$
解得：$2 - m ≠ 4$，即$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m ≤ 2$且$m ≠ -2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程求解；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型考题，解题易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，遗漏$m≠-2$的取值限制，做题时要养成解分式方程先验根的习惯。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按三步思路推导：第一步先将分式方程去分母转化为整式方程，用含m的代数式表示出x的解；第二步根据“解是非负数”即x≥0的要求，列不等式求出m的初步范围；第三步牢记分式方程分母不能为0，排除增根对应的m的取值，最终得到m的完整取值范围。
【解析】
解：给分式方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，注意右边分母$2-x=-(x-2)$，去分母得：
$m + (x - 2) = -x$
移项合并同类项：
$2x = 2 - m$
解得：$x = \frac{2 - m}{2}$
∵ 方程的解是非负数
∴ $\frac{2 - m}{2} ≥ 0$
两边同乘2得：$2 - m ≥ 0$，解得$m ≤ 2$
又
∵ 分式分母不能为0，即$x ≠ 2$
∴ $\frac{2 - m}{2} ≠ 2$
解得：$2 - m ≠ 4$，即$m ≠ -2$
综上，m的取值范围是$m ≤ 2$且$m ≠ -2$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程求解；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是分式方程与不等式结合的典型考题，解题易错点是容易忽略分式分母不为0的限制条件，遗漏$m≠-2$的取值限制，做题时要养成解分式方程先验根的习惯。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题4分,共24分)
9. 若分式$\frac{1-x}{2x+1}$的值为0,则$x$的值为
9. 若分式$\frac{1-x}{2x+1}$的值为0,则$x$的值为
1
.答案
9. 1
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\frac{1-x}{2x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：$1-x=0$，解得$x=1$；
2. 分母的值不为0：$2x+1≠0$，即$x≠-\frac{1}{2}$。
将$x=1$代入分母验证：$2×1+1=3≠0$，符合分母不为0的要求。
因此$x$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，易错点是忽略分母不为0的限制，仅求解分子为0的方程导致出错。
【难度系数】
0.85
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出x的可能值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式$\frac{1-x}{2x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子的值为0：$1-x=0$，解得$x=1$；
2. 分母的值不为0：$2x+1≠0$，即$x≠-\frac{1}{2}$。
将$x=1$代入分母验证：$2×1+1=3≠0$，符合分母不为0的要求。
因此$x$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是牢记分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件，易错点是忽略分母不为0的限制，仅求解分子为0的方程导致出错。
【难度系数】
0.85
10.计算：$2^{-2} × ( \frac{1}{4} )^0 + \sqrt{25} =$
$5 \frac{1}{4}$
.答案
10. $5 \frac{1}{4}$
解析
【分析】
这道题属于实数混合运算题，解题时遵循“先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。首先要分别回忆负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的运算法则，先算出每个小项的结果，再依次计算乘法、加法就能得到最终结果。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 计算各专项运算结果：
① 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$；
② 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(\frac{1}{4})^0=1$；
③ 根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{25}=5$；
2. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×1 + 5 \\&=\frac{1}{4} + 5 \\&=5\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$5\frac{1}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考查实数混合运算的运算顺序和相关运算法则的掌握情况，解题时牢记特殊幂的运算规则、按顺序计算即可，要注意避免因记错法则或运算顺序出错。
【难度系数】
0.9
这道题属于实数混合运算题，解题时遵循“先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减”的运算顺序即可。首先要分别回忆负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的运算法则，先算出每个小项的结果，再依次计算乘法、加法就能得到最终结果。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 计算各专项运算结果：
① 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$；
② 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，可得$(\frac{1}{4})^0=1$；
③ 根据算术平方根的定义，可得$\sqrt{25}=5$；
2. 代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{4}×1 + 5 \\&=\frac{1}{4} + 5 \\&=5\frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$5\frac{1}{4}$
【知识点】
负整数指数幂运算；零指数幂运算；算术平方根计算
【点评】
本题属于基础运算题型，重点考查实数混合运算的运算顺序和相关运算法则的掌握情况，解题时牢记特殊幂的运算规则、按顺序计算即可，要注意避免因记错法则或运算顺序出错。
【难度系数】
0.9
11.计算：$\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(1-x)^2}$的结果是
$\frac{3}{x-1}$
.答案
11. $\frac{3}{x-1}$
解析
【分析】
这是分式减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$(1-x)^2=(x-1)^2$，可将两个分式转化为同分母分式；第二步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减得到新的分式；第三步对得到的分式的分子因式分解，再约分化为最简分式即可得到结果。
【解析】
解：$\because (1-x)^2=(x-1)^2$
$\therefore$ 原式$=\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(x-1)^2}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{3x - 3}{(x-1)^2}$
对分子提取公因式3：
$=\frac{3(x - 1)}{(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$x-1$（默认分式有意义，$x≠1$）：
$=\frac{3}{x-1}$
【答案】
$\frac{3}{x-1}$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、偶次幂的性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的突破口是识别出两个分母的关系，将异分母转化为同分母再运算，计算时要注意最后结果必须化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是分式减法运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，根据偶次幂的性质，互为相反数的两个数的偶次幂相等，因此$(1-x)^2=(x-1)^2$，可将两个分式转化为同分母分式；第二步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减得到新的分式；第三步对得到的分式的分子因式分解，再约分化为最简分式即可得到结果。
【解析】
解：$\because (1-x)^2=(x-1)^2$
$\therefore$ 原式$=\frac{3x}{(x-1)^2} - \frac{3}{(x-1)^2}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{3x - 3}{(x-1)^2}$
对分子提取公因式3：
$=\frac{3(x - 1)}{(x-1)^2}$
约去分子分母的公因式$x-1$（默认分式有意义，$x≠1$）：
$=\frac{3}{x-1}$
【答案】
$\frac{3}{x-1}$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分、偶次幂的性质
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的突破口是识别出两个分母的关系，将异分母转化为同分母再运算，计算时要注意最后结果必须化为最简分式。
【难度系数】
0.8
12.已知$a^2 - 6a + 9$与$|b - 1|$互为相反数，则式子$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) ÷ (a + b)$的值是
$\frac{2}{3}$
。答案
12. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：互为相反数的两个数之和为0，据此列出等式；再观察等式左边的两项，$a^2-6a+9$可利用完全平方公式变形为平方形式，而平方和绝对值都是非负数，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”即可求出a、b的值；接下来对所求的分式进行化简，利用通分、平方差公式分解因式、约分后，将a、b的值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $a^2 - 6a + 9$与$|b - 1|$互为相反数
∴ $(a^2 - 6a + 9) + |b - 1| = 0$
将$a^2 - 6a + 9$利用完全平方公式变形得：$(a-3)^2 + |b - 1| = 0$
∵ $(a-3)^2 ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，两个非负数的和为0
∴ $\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b - 1 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \end{cases}$
接下来化简式子$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) ÷ (a + b)$：
先通分计算括号内的部分：
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a + b)(a - b)}{ab}$
再计算除法：
$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) ÷ (a + b) = \frac{(a + b)(a - b)}{ab} × \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{ab}$
将$a=3$，$b=1$代入化简后的式子：
$\frac{a - b}{ab} = \frac{3 - 1}{3 × 1} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 分式化简求值
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再对分式进行化简后代入计算，既考查了整式乘法公式的应用，也检验了分式运算的掌握程度，是考试中常见的题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：互为相反数的两个数之和为0，据此列出等式；再观察等式左边的两项，$a^2-6a+9$可利用完全平方公式变形为平方形式，而平方和绝对值都是非负数，根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”即可求出a、b的值；接下来对所求的分式进行化简，利用通分、平方差公式分解因式、约分后，将a、b的值代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $a^2 - 6a + 9$与$|b - 1|$互为相反数
∴ $(a^2 - 6a + 9) + |b - 1| = 0$
将$a^2 - 6a + 9$利用完全平方公式变形得：$(a-3)^2 + |b - 1| = 0$
∵ $(a-3)^2 ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，两个非负数的和为0
∴ $\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b - 1 = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = 1 \end{cases}$
接下来化简式子$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) ÷ (a + b)$：
先通分计算括号内的部分：
$\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a + b)(a - b)}{ab}$
再计算除法：
$(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) ÷ (a + b) = \frac{(a + b)(a - b)}{ab} × \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{ab}$
将$a=3$，$b=1$代入化简后的式子：
$\frac{a - b}{ab} = \frac{3 - 1}{3 × 1} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 分式化简求值
3. 完全平方公式
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用非负数的性质求出未知数的值，再对分式进行化简后代入计算，既考查了整式乘法公式的应用，也检验了分式运算的掌握程度，是考试中常见的题型。
【难度系数】
0.7
13. 当$a=\_\_\_\_\_\_$时，方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{4}{x+1}=5$的解与方程$\frac{x-2}{x}=\frac{1}{3}$的解相同。
答案
13. 2
解析
【分析】
本题是同解方程类问题，解题思路可分为两步：①先求解不含参数的分式方程$\frac{x-2}{x}=\frac{1}{3}$，得到它的解，注意分式方程要检验解是否使分母为0；②由于两个方程的解相同，将求得的x值代入含参数a的方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{4}{x+1}=5$，得到仅关于a的方程，求解即可得到a的值，同样要注意检验分母不为0。
【解析】
步骤1：求解方程$\frac{x-2}{x}=\frac{1}{3}$
方程两边同时乘$3x$（$x≠0$）去分母，得：
$3(x-2)=x$
展开括号：$3x-6=x$
移项合并同类项：$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，分母$x=3≠0$，因此$x=3$是该方程的解。
步骤2：将$x=3$代入第一个方程求a
把$x=3$代入$\frac{ax}{a-1}-\frac{4}{x+1}=5$，得：
$\frac{3a}{a-1}-\frac{4}{3+1}=5$
化简得：$\frac{3a}{a-1}-1=5$
移项得：$\frac{3a}{a-1}=6$
方程两边同时乘$(a-1)$（$a≠1$）去分母，得：
$3a=6(a-1)$
展开括号：$3a=6a-6$
移项合并同类项：$-3a=-6$
解得：$a=2$
检验：当$a=2$时，分母$a-1=1≠0$，符合要求。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解法，同解方程的性质，一元一次方程的求解
【点评】
本题属于分式方程的常规应用题型，解题核心是利用“同解方程的解相等”的性质，先求出确定方程的解，再代入含参数的方程求解参数，解题过程中要注意分式方程需检验分母不为零，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
本题是同解方程类问题，解题思路可分为两步：①先求解不含参数的分式方程$\frac{x-2}{x}=\frac{1}{3}$，得到它的解，注意分式方程要检验解是否使分母为0；②由于两个方程的解相同，将求得的x值代入含参数a的方程$\frac{ax}{a-1}-\frac{4}{x+1}=5$，得到仅关于a的方程，求解即可得到a的值，同样要注意检验分母不为0。
【解析】
步骤1：求解方程$\frac{x-2}{x}=\frac{1}{3}$
方程两边同时乘$3x$（$x≠0$）去分母，得：
$3(x-2)=x$
展开括号：$3x-6=x$
移项合并同类项：$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，分母$x=3≠0$，因此$x=3$是该方程的解。
步骤2：将$x=3$代入第一个方程求a
把$x=3$代入$\frac{ax}{a-1}-\frac{4}{x+1}=5$，得：
$\frac{3a}{a-1}-\frac{4}{3+1}=5$
化简得：$\frac{3a}{a-1}-1=5$
移项得：$\frac{3a}{a-1}=6$
方程两边同时乘$(a-1)$（$a≠1$）去分母，得：
$3a=6(a-1)$
展开括号：$3a=6a-6$
移项合并同类项：$-3a=-6$
解得：$a=2$
检验：当$a=2$时，分母$a-1=1≠0$，符合要求。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的解法，同解方程的性质，一元一次方程的求解
【点评】
本题属于分式方程的常规应用题型，解题核心是利用“同解方程的解相等”的性质，先求出确定方程的解，再代入含参数的方程求解参数，解题过程中要注意分式方程需检验分母不为零，避免出现增根错误。
【难度系数】
0.7
