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14.元旦节前后，小丽两次到同一超市购买同一种彩带.元旦节前，按标价购买，用了90元；元旦节后，由于超市打折促销，按标价的五折购买，用了60元.已知两次一共购买了35卷，则这种彩带每卷标价多少元？设这种彩带每卷标价元，则可列方程为
$\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$
.答案
14. $\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$
解析
【分析】
要列方程首先需要找到题目中的等量关系，本题的核心等量关系为：元旦节前购买的彩带数量 + 元旦节后购买的彩带数量 = 两次购买的总数量35卷。接下来结合“数量=总价÷单价”的关系分别表示两次购买的数量即可：设彩带每卷标价为x元，元旦节前单价为x元，总价90元，可表示出节前购买数量；元旦节后单价为标价的五折即0.5x元，总价60元，可表示出节后购买数量，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
设这种彩带每卷标价为x元：
1. 元旦节前按标价购买，总价90元，单价为x元，因此节前购买的数量为 $\frac{90}{x}$ 卷；
2. 元旦节后按标价的五折购买，此时单价为$0.5x$元，总价60元，因此节后购买的数量为 $\frac{60}{0.5x}$ 卷；
3. 已知两次一共购买了35卷，即节前购买数量 + 节后购买数量 = 35，代入可得方程：$\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$。
【答案】
$\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题属于销售打折类的基础应用题，解题的关键是准确抓住“两次购买总数量为35卷”的等量关系，熟练运用“数量=总价÷单价”的基本公式分别表示两次购买的数量即可顺利列方程，侧重对基础数量关系的考查。
【难度系数】
0.8
要列方程首先需要找到题目中的等量关系，本题的核心等量关系为：元旦节前购买的彩带数量 + 元旦节后购买的彩带数量 = 两次购买的总数量35卷。接下来结合“数量=总价÷单价”的关系分别表示两次购买的数量即可：设彩带每卷标价为x元，元旦节前单价为x元，总价90元，可表示出节前购买数量；元旦节后单价为标价的五折即0.5x元，总价60元，可表示出节后购买数量，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
设这种彩带每卷标价为x元：
1. 元旦节前按标价购买，总价90元，单价为x元，因此节前购买的数量为 $\frac{90}{x}$ 卷；
2. 元旦节后按标价的五折购买，此时单价为$0.5x$元，总价60元，因此节后购买的数量为 $\frac{60}{0.5x}$ 卷；
3. 已知两次一共购买了35卷，即节前购买数量 + 节后购买数量 = 35，代入可得方程：$\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$。
【答案】
$\frac{90}{x}+\frac{60}{0.5x}=35$
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 总价、单价、数量的关系
【点评】
本题属于销售打折类的基础应用题，解题的关键是准确抓住“两次购买总数量为35卷”的等量关系，熟练运用“数量=总价÷单价”的基本公式分别表示两次购买的数量即可顺利列方程，侧重对基础数量关系的考查。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共44分)
15.(10分)计算:
(1)$(2x^{-3}y^{2})^{-2} ÷ (x^{-2}y)^{3}$；
(2)$(m+2-\dfrac{5}{m-2})·\dfrac{m-2}{m-3}$.
15.(10分)计算:
(1)$(2x^{-3}y^{2})^{-2} ÷ (x^{-2}y)^{3}$；
(2)$(m+2-\dfrac{5}{m-2})·\dfrac{m-2}{m-3}$.
答案
15. (1)解:原式=$2^{-2} x^{6} y^{-4} ÷ x^{-6} y^{3} =\frac{x^{12}}{4y^{7}}$.
(2)解:原式=$\frac{m^2-9}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$
(2)解:原式=$\frac{m^2-9}{m-2} · \frac{m-2}{m-3} = m+3$
解析
【分析】
本题包含整数指数幂运算和分式混合运算两个小题，解题思路如下：
(1) 对于幂的混合运算，先按照积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方项，再根据同底数幂的除法法则计算除法，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，结果化为最简。
(2) 对于分式混合运算，有括号先计算括号内的部分：将括号内的整式通分，转化为同分母分式的减法，计算后分子用平方差公式因式分解，再和括号外的分式相乘，约分化为最简即可。
【解析】
(1) 先根据积的乘方、幂的乘方运算规则计算乘方：
原式$=2^{-2} · x^{(-3)×(-2)} · y^{2×(-2)} ÷ (x^{(-2)×3} · y^{3})$
$=\frac{1}{4}x^{6}y^{-4} ÷ x^{-6}y^{3}$
再根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算得：
$=\frac{1}{4}x^{6-(-6)}y^{-4-3}$
$=\frac{1}{4}x^{12}y^{-7}$
将负指数化为正指数形式，得：
$=\frac{x^{12}}{4y^{7}}$
(2) 先计算括号内的分式减法，将$m+2$看作$\frac{m+2}{1}$，通分后计算：
原式$=[ \frac{(m+2)(m-2)}{m-2} - \frac{5}{m-2} ] · \frac{m-2}{m-3}$
$=\frac{(m+2)(m-2)-5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
利用平方差公式展开$(m+2)(m-2)=m^2-4$，计算分子得：
$=\frac{m^2 - 4 - 5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
$=\frac{m^2 -9}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
分子$m^2-9$用平方差公式因式分解为$(m+3)(m-3)$，再约分：
$=\frac{(m+3)(m-3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
$=m+3$
【答案】
(1)$\dfrac{x^{12}}{4y^{7}}$；(2)$m+3$
【知识点】
1. 整数指数幂的运算性质
2. 分式的混合运算
3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算规则的掌握与应用，运算时需注意指数的符号变化、分式通分约分的正确性，因式分解是简化分式运算的关键，熟练掌握相关规则可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题包含整数指数幂运算和分式混合运算两个小题，解题思路如下：
(1) 对于幂的混合运算，先按照积的乘方、幂的乘方法则分别计算两个乘方项，再根据同底数幂的除法法则计算除法，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的形式，结果化为最简。
(2) 对于分式混合运算，有括号先计算括号内的部分：将括号内的整式通分，转化为同分母分式的减法，计算后分子用平方差公式因式分解，再和括号外的分式相乘，约分化为最简即可。
【解析】
(1) 先根据积的乘方、幂的乘方运算规则计算乘方：
原式$=2^{-2} · x^{(-3)×(-2)} · y^{2×(-2)} ÷ (x^{(-2)×3} · y^{3})$
$=\frac{1}{4}x^{6}y^{-4} ÷ x^{-6}y^{3}$
再根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，计算得：
$=\frac{1}{4}x^{6-(-6)}y^{-4-3}$
$=\frac{1}{4}x^{12}y^{-7}$
将负指数化为正指数形式，得：
$=\frac{x^{12}}{4y^{7}}$
(2) 先计算括号内的分式减法，将$m+2$看作$\frac{m+2}{1}$，通分后计算：
原式$=[ \frac{(m+2)(m-2)}{m-2} - \frac{5}{m-2} ] · \frac{m-2}{m-3}$
$=\frac{(m+2)(m-2)-5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
利用平方差公式展开$(m+2)(m-2)=m^2-4$，计算分子得：
$=\frac{m^2 - 4 - 5}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
$=\frac{m^2 -9}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
分子$m^2-9$用平方差公式因式分解为$(m+3)(m-3)$，再约分：
$=\frac{(m+3)(m-3)}{m-2} · \frac{m-2}{m-3}$
$=m+3$
【答案】
(1)$\dfrac{x^{12}}{4y^{7}}$；(2)$m+3$
【知识点】
1. 整数指数幂的运算性质
2. 分式的混合运算
3. 平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查运算规则的掌握与应用，运算时需注意指数的符号变化、分式通分约分的正确性，因式分解是简化分式运算的关键，熟练掌握相关规则可快速求解。
【难度系数】
0.8
16.(12分)解下列方程：
(1)$\frac{2x}{2x+5}$
$\frac{5}{5x-2}=1$；
(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$。
(1)$\frac{2x}{2x+5}$
$\frac{5}{5x-2}=1$；(2)$\frac{x}{x-2}-1=\frac{8}{x^2-4}$。
答案
16. (1)解:方程两边乘$(2x+5)(5x-2)$，得$10x^2-4x+10x+25=10x^2+21x-10$. 解得 $x=\frac{7}{3}$. 检验:当 $x=\frac{7}{3}$ 时,$(2x+5)(5x-2)≠0$.
∴原分式方程的解为 $x=\frac{7}{3}$.
(2)解:两边同乘以$(x+2)(x-2)$得:$x(x+2)-x^2+4=8,x^2+2x-x^2+4=8,2x=4$,解得:$x=2$,检验:当 $x=2$ 时,$x^2-4=0$,
∴原分式方程无解.
∴原分式方程的解为 $x=\frac{7}{3}$.
(2)解:两边同乘以$(x+2)(x-2)$得:$x(x+2)-x^2+4=8,x^2+2x-x^2+4=8,2x=4$,解得:$x=2$,检验:当 $x=2$ 时,$x^2-4=0$,
∴原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先找最简公分母：观察所有分母，存在可因式分解的分母先因式分解，再确定所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不能漏乘常数项，即可将分式方程转化为已经学过的整式方程；③求解得到的整式方程；④必须验根：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
本题(1)的两个分母无公因式，最简公分母为两个分母的乘积；(2)的分母$x^2-4$可利用平方差公式因式分解，即可得到最简公分母。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$\boldsymbol{(2x+5)(5x-2)}$，得：
$2x(5x-2) + 5(2x+5) = (2x+5)(5x-2)$
展开并整理等式两边：
左边：$10x^2 - 4x + 10x + 25 = 10x^2 + 6x + 25$
右边：$10x^2 - 4x + 25x - 10 = 10x^2 + 21x - 10$
消去二次项后移项合并同类项：
$6x + 25 = 21x - 10$
$15x = 35$
解得$x=\frac{7}{3}$
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(2x+5)(5x-2)≠0$，因此$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母$\boldsymbol{(x+2)(x-2)}$，得：
$x(x+2) - (x^2-4) = 8$
展开并整理：
$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 8$
$2x = 4$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{7}{3}$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 平方差公式因式分解
3. 分式方程验根
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规基础题型，重点考察分式方程的规范求解步骤，需注意去分母时不要漏乘常数项，解完方程必须验根；遇到可因式分解的分母要先因式分解，准确找到最简公分母，若整式方程的解为增根，则原分式方程无解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体思考路径如下：①先找最简公分母：观察所有分母，存在可因式分解的分母先因式分解，再确定所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘最简公分母，注意每一项都要乘，不能漏乘常数项，即可将分式方程转化为已经学过的整式方程；③求解得到的整式方程；④必须验根：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该解是原分式方程的解；若最简公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
本题(1)的两个分母无公因式，最简公分母为两个分母的乘积；(2)的分母$x^2-4$可利用平方差公式因式分解，即可得到最简公分母。
【解析】
(1) 方程两边同时乘最简公分母$\boldsymbol{(2x+5)(5x-2)}$，得：
$2x(5x-2) + 5(2x+5) = (2x+5)(5x-2)$
展开并整理等式两边：
左边：$10x^2 - 4x + 10x + 25 = 10x^2 + 6x + 25$
右边：$10x^2 - 4x + 25x - 10 = 10x^2 + 21x - 10$
消去二次项后移项合并同类项：
$6x + 25 = 21x - 10$
$15x = 35$
解得$x=\frac{7}{3}$
检验：当$x=\frac{7}{3}$时，$(2x+5)(5x-2)≠0$，因此$x=\frac{7}{3}$是原分式方程的解。
(2) 先因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，方程两边同时乘最简公分母$\boldsymbol{(x+2)(x-2)}$，得：
$x(x+2) - (x^2-4) = 8$
展开并整理：
$x^2 + 2x - x^2 + 4 = 8$
$2x = 4$
解得$x=2$
检验：当$x=2$时，$(x+2)(x-2)=0$，因此$x=2$是增根，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=\frac{7}{3}$；(2) 原分式方程无解。
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 平方差公式因式分解
3. 分式方程验根
【点评】
这两道题是分式方程求解的常规基础题型，重点考察分式方程的规范求解步骤，需注意去分母时不要漏乘常数项，解完方程必须验根；遇到可因式分解的分母要先因式分解，准确找到最简公分母，若整式方程的解为增根，则原分式方程无解。
【难度系数】
0.7
17.(10分)【整体思想】先化简,再求值: $(\frac{3x}{x-y} + \frac{x}{x+y}) ÷ \frac{x}{x^2 - y^2}$,其中 $x,y$ 满足 $2x + y - 3 = 0$.
答案
17. 解:原式 = $\frac{3x^2+3xy+x^2-xy}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x} = \frac{2x(2x+y)}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x} = 2(2x+y)$.
∵$2x+y-3=0$,
∴$2x+y=3$. 当 $2x+y=3$ 时,原式=$2(2x+y)=2×3=6$.
∵$2x+y-3=0$,
∴$2x+y=3$. 当 $2x+y=3$ 时,原式=$2(2x+y)=2×3=6$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，同时利用平方差公式把$x^2-y^2$因式分解为$(x-y)(x+y)$；第二步，计算括号内的分式加法，以$(x-y)(x+y)$为公分母通分后合并分子；第三步，对合并后的分式约分，得到最简形式，观察最简形式和已知条件的关联，无需单独求解x、y，直接把$2x+y$作为整体代入计算即可，简化计算过程。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，同时因式分解分母：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{3x}{x-y}+\frac{x}{x+y}) · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{3x(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{3x^2+3xy+x^2-xy}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{4x^2+2xy}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{2x(2x+y)}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=2(2x+y)\end{aligned}$
由$2x + y - 3 = 0$，移项可得$2x + y = 3$，将$2x+y=3$代入化简后的式子：
原式$=2×3=6$
【答案】
$6$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算规则和整体代入的求值思想，化简过程中借助因式分解约分可大幅简化计算步骤，无需单独求解未知数即可得到结果，解题时要注意通分、约分的运算正确性，同时留意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
这是分式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，将除法转化为乘以除数的倒数，同时利用平方差公式把$x^2-y^2$因式分解为$(x-y)(x+y)$；第二步，计算括号内的分式加法，以$(x-y)(x+y)$为公分母通分后合并分子；第三步，对合并后的分式约分，得到最简形式，观察最简形式和已知条件的关联，无需单独求解x、y，直接把$2x+y$作为整体代入计算即可，简化计算过程。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，同时因式分解分母：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\frac{3x}{x-y}+\frac{x}{x+y}) · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{3x(x+y)+x(x-y)}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{3x^2+3xy+x^2-xy}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{4x^2+2xy}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=\frac{2x(2x+y)}{(x-y)(x+y)} · \frac{(x-y)(x+y)}{x}\\&=2(2x+y)\end{aligned}$
由$2x + y - 3 = 0$，移项可得$2x + y = 3$，将$2x+y=3$代入化简后的式子：
原式$=2×3=6$
【答案】
$6$
【知识点】
分式混合运算，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算规则和整体代入的求值思想，化简过程中借助因式分解约分可大幅简化计算步骤，无需单独求解未知数即可得到结果，解题时要注意通分、约分的运算正确性，同时留意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7
