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22. (10分)如图5所示是一组有规律的图案.
(1)按图示规律填写下表:
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
▲个数
(2)按照这种方式排下去,摆第n个图形需要个▲.
(3)按照这种方式排下去,摆第20个图形需要多少个▲?
(1)按图示规律填写下表:
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
▲个数
(2)按照这种方式排下去,摆第n个图形需要个▲.
(3)按照这种方式排下去,摆第20个图形需要多少个▲?
答案
解：
(1) 表格中▲个数从左到右依次为：4，7，10，13，16，19
(2) $3n+1$
(3) 把$n=20$代入$3n+1$，得
$3×20+1=61$
答：摆第20个图形需要61个▲。
(1) 表格中▲个数从左到右依次为：4，7，10，13，16，19
(2) $3n+1$
(3) 把$n=20$代入$3n+1$，得
$3×20+1=61$
答：摆第20个图形需要61个▲。
解析
【分析】
本题属于图形规律探究类问题，解题思路如下：第一步先观察相邻图形中▲的数量变化，发现后一个图形比前一个图形多3个▲，据此可计算出表格中各个图形对应的▲个数；第二步推导第n个图形的▲数量表达式，结合第一个图形▲个数为4、每次增加3的规律，可列出第n个的通用代数式；第三步求第20个图形的▲个数时，只需将n=20代入第二步得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形的数量变化规律：
图形①的▲个数为4；
图形②的▲个数为$4+3=7$；
图形③的▲个数为$7+3=10$；
图形④的▲个数为$10+3=13$；
图形⑤的▲个数为$13+3=16$；
图形⑥的▲个数为$16+3=19$；
因此表格中▲个数从左到右依次为4，7，10，13，16，19。
(2) 结合规律推导通用表达式：
第1个图形：$3×1 +1=4$
第2个图形：$3×2 +1=7$
第3个图形：$3×3 +1=10$
……
以此类推，摆第n个图形需要$(3n+1)$个▲。
(3) 求第20个图形的▲个数，将$n=20$代入$3n+1$得：
$3×20 +1=61$（个）
答：摆第20个图形需要61个▲。
【答案】
(1) 4，7，10，13，16，19；
(2) $3n+1$；
(3) 61个
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察找到图形数量的固定变化差，再归纳出通用表达式，最后代入求值即可，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.75
本题属于图形规律探究类问题，解题思路如下：第一步先观察相邻图形中▲的数量变化，发现后一个图形比前一个图形多3个▲，据此可计算出表格中各个图形对应的▲个数；第二步推导第n个图形的▲数量表达式，结合第一个图形▲个数为4、每次增加3的规律，可列出第n个的通用代数式；第三步求第20个图形的▲个数时，只需将n=20代入第二步得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 观察图形的数量变化规律：
图形①的▲个数为4；
图形②的▲个数为$4+3=7$；
图形③的▲个数为$7+3=10$；
图形④的▲个数为$10+3=13$；
图形⑤的▲个数为$13+3=16$；
图形⑥的▲个数为$16+3=19$；
因此表格中▲个数从左到右依次为4，7，10，13，16，19。
(2) 结合规律推导通用表达式：
第1个图形：$3×1 +1=4$
第2个图形：$3×2 +1=7$
第3个图形：$3×3 +1=10$
……
以此类推，摆第n个图形需要$(3n+1)$个▲。
(3) 求第20个图形的▲个数，将$n=20$代入$3n+1$得：
$3×20 +1=61$（个）
答：摆第20个图形需要61个▲。
【答案】
(1) 4，7，10，13，16，19；
(2) $3n+1$；
(3) 61个
【知识点】
图形规律探究，列代数式，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类基础题，核心是通过观察找到图形数量的固定变化差，再归纳出通用表达式，最后代入求值即可，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.75
23. (10分)某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条(x＞20)：
(1)若该客户按方案①购买，需付款元(用含x的代数式表示)；若该客户按方案②购买，需付款元(用含x的代数式表示).
(2)若x=25，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
①买一套西装送一条领带；
②西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条(x＞20)：
(1)若该客户按方案①购买，需付款元(用含x的代数式表示)；若该客户按方案②购买，需付款元(用含x的代数式表示).
(2)若x=25，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
答案
(1) $\boldsymbol{40x+3200}$；$\boldsymbol{36x+3600}$
(2) 按方案①购买较为合算。
(2) 按方案①购买较为合算。
解析
【分析】
本题考查优惠方案下的费用计算问题，解题思路如下：(1)针对方案①：先明确买20套西装会赠送20条领带，客户需要额外付费购买的领带数量为$(x-20)$条，总费用=20套西装的总价+额外购买领带的总价，整理即可得到含x的代数式；针对方案②：先计算西装和领带的总定价，再乘以折扣90%，整理后得到对应代数式。(2)把$x=25$分别代入第(1)问得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款金额，比较金额大小，金额更小的方案更合算。
【解析】
(1)按方案①购买：
买20套西装的费用为$20×200=4000$元，
因买一套西装送一条领带，所以赠送20条领带，还需购买$(x-20)$条付费领带，费用为$40(x-20)$元，
总费用为$4000 + 40(x-20) = 40x + 3200$元。
按方案②购买：
20套西装和x条领带的总定价为$20×200 + 40x = 4000 + 40x$元，
打9折后的总费用为$0.9×(4000 + 40x) = 36x + 3600$元。
(2)当$x=25$时：
方案①的费用：$40×25 + 3200 = 1000 + 3200 = 4200$元，
方案②的费用：$36×25 + 3600 = 900 + 3600 = 4500$元，
因为$4200 ＜ 4500$，所以按方案①购买较为合算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40x+3200}$；$\boldsymbol{36x+3600}$
(2) 按方案①购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景，考查代数式的实际应用，解题的核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，正确列出代数式后代入数值比较即可得出结论，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
本题考查优惠方案下的费用计算问题，解题思路如下：(1)针对方案①：先明确买20套西装会赠送20条领带，客户需要额外付费购买的领带数量为$(x-20)$条，总费用=20套西装的总价+额外购买领带的总价，整理即可得到含x的代数式；针对方案②：先计算西装和领带的总定价，再乘以折扣90%，整理后得到对应代数式。(2)把$x=25$分别代入第(1)问得到的两个代数式，计算出两种方案的实际付款金额，比较金额大小，金额更小的方案更合算。
【解析】
(1)按方案①购买：
买20套西装的费用为$20×200=4000$元，
因买一套西装送一条领带，所以赠送20条领带，还需购买$(x-20)$条付费领带，费用为$40(x-20)$元，
总费用为$4000 + 40(x-20) = 40x + 3200$元。
按方案②购买：
20套西装和x条领带的总定价为$20×200 + 40x = 4000 + 40x$元，
打9折后的总费用为$0.9×(4000 + 40x) = 36x + 3600$元。
(2)当$x=25$时：
方案①的费用：$40×25 + 3200 = 1000 + 3200 = 4200$元，
方案②的费用：$36×25 + 3600 = 900 + 3600 = 4500$元，
因为$4200 ＜ 4500$，所以按方案①购买较为合算。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40x+3200}$；$\boldsymbol{36x+3600}$
(2) 按方案①购买较为合算。
【知识点】
列代数式；代数式求值；最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的促销活动场景，考查代数式的实际应用，解题的核心是准确理解两种优惠方案的计费规则，正确列出代数式后代入数值比较即可得出结论，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.8
