登录
20. (9分)一辆出租车从A地出发,在一条东西走向的街道上往返,每次行驶的路程(记向东为正)记录如表($x＞9$且$x＜26$,单位:km):
(1)答出这辆出租车每次行驶的方向；
(2)经过连续4次行驶后,这辆出租车在出发点的方；(填“东”或“西”)
(3)若$x=10$,则这辆出租车一共行驶了多少路程？
(1)答出这辆出租车每次行驶的方向；
(2)经过连续4次行驶后,这辆出租车在出发点的方；(填“东”或“西”)
(3)若$x=10$,则这辆出租车一共行驶了多少路程？
答案
解：
(1) 由$x＞9$可得：
第一次行驶路程$x＞0$，行驶方向为向东；
第二次行驶路程$-\frac{1}{2}x＜0$，行驶方向为向西；
第三次行驶路程$x-5＞4＞0$，行驶方向为向东；
第四次行驶路程$2(9-x)＜0$，行驶方向为向西。
即第一次向东，第二次向西，第三次向东，第四次向西。
(2) 计算四次行驶后的总位移：
$\begin{aligned}x + (-\frac{1}{2}x) + (x-5) + 2(9-x)&=x-\frac{1}{2}x+x-5+18-2x\\&=13-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
因为$9＜x＜26$，所以$\frac{1}{2}x＜13$，即$13-\frac{1}{2}x＞0$，因此这辆出租车在出发点的东方。
(3) 总路程为每次行驶路程的绝对值之和，代入$x=10$：
$\begin{aligned}|x|+\left|-\frac{1}{2}x\right|+|x-5|+|2(9-x)|&=|10|+\left|-5\right|+|10-5|+|2×(9-10)|\\&=10+5+5+2\\&=22(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：这辆出租车一共行驶了22km。
(1) 由$x＞9$可得：
第一次行驶路程$x＞0$，行驶方向为向东；
第二次行驶路程$-\frac{1}{2}x＜0$，行驶方向为向西；
第三次行驶路程$x-5＞4＞0$，行驶方向为向东；
第四次行驶路程$2(9-x)＜0$，行驶方向为向西。
即第一次向东，第二次向西，第三次向东，第四次向西。
(2) 计算四次行驶后的总位移：
$\begin{aligned}x + (-\frac{1}{2}x) + (x-5) + 2(9-x)&=x-\frac{1}{2}x+x-5+18-2x\\&=13-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
因为$9＜x＜26$，所以$\frac{1}{2}x＜13$，即$13-\frac{1}{2}x＞0$，因此这辆出租车在出发点的东方。
(3) 总路程为每次行驶路程的绝对值之和，代入$x=10$：
$\begin{aligned}|x|+\left|-\frac{1}{2}x\right|+|x-5|+|2(9-x)|&=|10|+\left|-5\right|+|10-5|+|2×(9-10)|\\&=10+5+5+2\\&=22(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：这辆出租车一共行驶了22km。
解析
【分析】
解题时按小问逐一思考：
（1）题目规定向东为正，因此行驶路程为正则方向向东，为负则方向向西，结合已知的x取值范围$9＜x＜26$，逐一判断四次行驶路程的正负即可确定方向。
（2）要判断四次行驶后出租车的位置，需要计算四次行驶路程的代数和（总位移），若结果为正则在出发点东侧，为负则在西侧，化简代数式后结合x的取值范围判断结果正负即可。
（3）总路程是每次行驶路程的绝对值之和，与方向无关，先写出总路程的表达式，再代入$x=10$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知向东为正，且$9＜x＜26$：
第一次行驶路程为$x＞0$，故方向向东；
第二次行驶路程为$-\frac{1}{2}x＜0$，故方向向西；
第三次行驶路程为$x-5$，因为$x＞9$，所以$x-5＞4＞0$，故方向向东；
第四次行驶路程为$2(9-x)$，因为$x＞9$，所以$9-x＜0$，故$2(9-x)＜0$，方向向西。
(2) 计算四次行驶的总位移：
$\begin{aligned}&x + (-\frac{1}{2}x) + (x-5) + 2(9-x)\\=&x-\frac{1}{2}x+x-5+18-2x\\=&13-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
因为$x＜26$，所以$\frac{1}{2}x＜13$，即$13-\frac{1}{2}x＞0$，因此出租车在出发点的东方。
(3) 总路程为每次行驶路程的绝对值之和，当$x=10$时：
$\begin{aligned}&|x|+\left|-\frac{1}{2}x\right|+|x-5|+|2(9-x)|\\=&|10|+\left|-\frac{1}{2}×10\right|+|10-5|+|2×(9-10)|\\=&10+5+5+2\\=&22(\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
(1) 第一次向东，第二次向西，第三次向东，第四次向西；
(2) 东；
(3) 22km
【知识点】
正负数的意义，整式加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合出租车行驶的实际场景，考查正负数的实际应用，解题时要注意区分位移和路程的概念：位移是行驶路程的代数和，与方向有关；路程是行驶路程的绝对值之和，与方向无关，整体解题思路清晰，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时按小问逐一思考：
（1）题目规定向东为正，因此行驶路程为正则方向向东，为负则方向向西，结合已知的x取值范围$9＜x＜26$，逐一判断四次行驶路程的正负即可确定方向。
（2）要判断四次行驶后出租车的位置，需要计算四次行驶路程的代数和（总位移），若结果为正则在出发点东侧，为负则在西侧，化简代数式后结合x的取值范围判断结果正负即可。
（3）总路程是每次行驶路程的绝对值之和，与方向无关，先写出总路程的表达式，再代入$x=10$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知向东为正，且$9＜x＜26$：
第一次行驶路程为$x＞0$，故方向向东；
第二次行驶路程为$-\frac{1}{2}x＜0$，故方向向西；
第三次行驶路程为$x-5$，因为$x＞9$，所以$x-5＞4＞0$，故方向向东；
第四次行驶路程为$2(9-x)$，因为$x＞9$，所以$9-x＜0$，故$2(9-x)＜0$，方向向西。
(2) 计算四次行驶的总位移：
$\begin{aligned}&x + (-\frac{1}{2}x) + (x-5) + 2(9-x)\\=&x-\frac{1}{2}x+x-5+18-2x\\=&13-\frac{1}{2}x\end{aligned}$
因为$x＜26$，所以$\frac{1}{2}x＜13$，即$13-\frac{1}{2}x＞0$，因此出租车在出发点的东方。
(3) 总路程为每次行驶路程的绝对值之和，当$x=10$时：
$\begin{aligned}&|x|+\left|-\frac{1}{2}x\right|+|x-5|+|2(9-x)|\\=&|10|+\left|-\frac{1}{2}×10\right|+|10-5|+|2×(9-10)|\\=&10+5+5+2\\=&22(\mathrm{km})\end{aligned}$
【答案】
(1) 第一次向东，第二次向西，第三次向东，第四次向西；
(2) 东；
(3) 22km
【知识点】
正负数的意义，整式加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合出租车行驶的实际场景，考查正负数的实际应用，解题时要注意区分位移和路程的概念：位移是行驶路程的代数和，与方向有关；路程是行驶路程的绝对值之和，与方向无关，整体解题思路清晰，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
21. (9分)魔术师为大家表演魔术. 他请观众想一个数,然后将这个数按如图4所示的步骤操作:
告之结果后,魔术师立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小明想的数是-1,那么他告诉魔术师的结果应该是;
(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是;
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数,请你说出其中的道理.
告之结果后,魔术师立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小明想的数是-1,那么他告诉魔术师的结果应该是;
(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是;
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数,请你说出其中的道理.
答案
解：
(1) 把-1按步骤操作计算：
$(-1 × 3 - 6) ÷ 3 +7 = (-9) ÷ 3 +7 = -3 +7 = 4$
结果为$\boldsymbol{4}$。
(2) 设小聪想的数为$x$，根据操作规则列方程：
$\frac{3x - 6}{3} +7 = 93$
化简得：$x - 2 +7 = 93$，即$x+5=93$，解得$x=88$。
小聪想的数为$\boldsymbol{88}$。
(3) 设观众想的数为$a$，按操作步骤推导最终结果：
$\frac{3a - 6}{3} +7 = a - 2 +7 = a +5$
可知经过操作后得到的结果，始终比观众最初想的数大5，魔术师只需要把观众告知的最终结果减去5，就能立刻得到观众原本想的数，因此每次都能准确说出答案。
(1) 把-1按步骤操作计算：
$(-1 × 3 - 6) ÷ 3 +7 = (-9) ÷ 3 +7 = -3 +7 = 4$
结果为$\boldsymbol{4}$。
(2) 设小聪想的数为$x$，根据操作规则列方程：
$\frac{3x - 6}{3} +7 = 93$
化简得：$x - 2 +7 = 93$，即$x+5=93$，解得$x=88$。
小聪想的数为$\boldsymbol{88}$。
(3) 设观众想的数为$a$，按操作步骤推导最终结果：
$\frac{3a - 6}{3} +7 = a - 2 +7 = a +5$
可知经过操作后得到的结果，始终比观众最初想的数大5，魔术师只需要把观众告知的最终结果减去5，就能立刻得到观众原本想的数，因此每次都能准确说出答案。
解析
【分析】
本题结合运算流程图考查代数运算与规律推导，解题思路如下：(1) 第一问直接将给定的数按照流程图的运算顺序（乘3→减6→除以3→加7）逐步计算即可得到结果；(2) 第二问已知最终结果求原数，可设原数为未知数，按照运算流程列出一元一次方程，解方程即可求出原数；(3) 第三问要找魔术师猜数的规律，只需设原数为字母，按照运算流程化简代数式，找到最终结果和原数的数量关系即可。
【解析】
(1) 将小明想的数-1按步骤操作计算：
$(-1 × 3 - 6) ÷ 3 +7 = (-9) ÷ 3 +7 = -3 +7 = 4$
(2) 设小聪想的数为$x$，根据操作规则列方程：
$\frac{3x - 6}{3} +7 = 93$
化简得：$x - 2 +7 = 93$，即$x+5=93$，解得$x=88$。
(3) 设观众想的数为$a$，按操作步骤推导最终结果：
$\frac{3a - 6}{3} +7 = a - 2 +7 = a +5$
可知经过操作后得到的结果始终比观众最初想的数大5，魔术师只需要把观众告知的最终结果减去5，就能得到观众原本想的数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{88}$；(3) 操作后得到的结果比原数大5，魔术师将结果减5即可得到原数。
【知识点】
有理数混合运算，一元一次方程的应用，整式化简
【点评】
本题以趣味魔术为背景，贴近生活，能激发解题兴趣，重点考查对运算顺序的理解、方程的应用以及代数式化简的能力，要求学生具备将实际问题转化为代数问题的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
本题结合运算流程图考查代数运算与规律推导，解题思路如下：(1) 第一问直接将给定的数按照流程图的运算顺序（乘3→减6→除以3→加7）逐步计算即可得到结果；(2) 第二问已知最终结果求原数，可设原数为未知数，按照运算流程列出一元一次方程，解方程即可求出原数；(3) 第三问要找魔术师猜数的规律，只需设原数为字母，按照运算流程化简代数式，找到最终结果和原数的数量关系即可。
【解析】
(1) 将小明想的数-1按步骤操作计算：
$(-1 × 3 - 6) ÷ 3 +7 = (-9) ÷ 3 +7 = -3 +7 = 4$
(2) 设小聪想的数为$x$，根据操作规则列方程：
$\frac{3x - 6}{3} +7 = 93$
化简得：$x - 2 +7 = 93$，即$x+5=93$，解得$x=88$。
(3) 设观众想的数为$a$，按操作步骤推导最终结果：
$\frac{3a - 6}{3} +7 = a - 2 +7 = a +5$
可知经过操作后得到的结果始终比观众最初想的数大5，魔术师只需要把观众告知的最终结果减去5，就能得到观众原本想的数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{88}$；(3) 操作后得到的结果比原数大5，魔术师将结果减5即可得到原数。
【知识点】
有理数混合运算，一元一次方程的应用，整式化简
【点评】
本题以趣味魔术为背景，贴近生活，能激发解题兴趣，重点考查对运算顺序的理解、方程的应用以及代数式化简的能力，要求学生具备将实际问题转化为代数问题的逻辑思维。
【难度系数】
0.8
