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18. (9分)一个两位数,它的十位数字为a,个位数字为b.若把它的十位数字与个位数字对调,将得到一个新的两位数.
(1)用含a,b的代数式分别表示原数与新数.
(2)计算原数与新数的差,这个差能被9整除吗?为什么?
(1)用含a,b的代数式分别表示原数与新数.
(2)计算原数与新数的差,这个差能被9整除吗?为什么?
答案
解：
(1) 原数为$10a + b$，
新数为$10b + a$。
(2) 原数与新数的差为：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
这个差能被9整除。
理由：因为a、b均为整数，所以$a - b$也是整数，$9(a - b)$是9的整数倍，因此原数与新数的差能被9整除。
(1) 原数为$10a + b$，
新数为$10b + a$。
(2) 原数与新数的差为：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
这个差能被9整除。
理由：因为a、b均为整数，所以$a - b$也是整数，$9(a - b)$是9的整数倍，因此原数与新数的差能被9整除。
解析
【分析】
解决本题首先要明确两位数的表示规则：十位数字对应的计数单位是10，个位数字对应的计数单位是1，因此两位数可以表示为“十位数字×10 + 个位数字”。第(1)问直接根据该规则分别写出原数和对调后的新数即可；第(2)问先列出原数与新数的差的代数式，再通过去括号、合并同类项对代数式进行化简，最后根据化简结果的形式，结合整除的定义判断是否能被9整除。
【解析】
(1) 原两位数的十位数字为a，个位数字为b，因此原数为$10a + b$；
将十位与个位数字对调后，新两位数的十位数字为b，个位数字为a，因此新数为$10b + a$。
(2) 计算原数与新数的差：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
这个差能被9整除。
理由：由于a、b均为整数，因此$a - b$也为整数，$9(a - b)$是9的整数倍，因此原数与新数的差能被9整除。
【答案】
(1) 原数：$\boldsymbol{10a + b}$，新数：$\boldsymbol{10b + a}$；
(2) 差为$\boldsymbol{9(a - b)}$，这个差能被9整除，理由见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题属于基础的代数应用题型，核心考查数位的代数表示方法和整式加减的运算规则，解题的关键是正确掌握两位数的表示形式，熟练运用去括号、合并同类项的法则化简整式。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确两位数的表示规则：十位数字对应的计数单位是10，个位数字对应的计数单位是1，因此两位数可以表示为“十位数字×10 + 个位数字”。第(1)问直接根据该规则分别写出原数和对调后的新数即可；第(2)问先列出原数与新数的差的代数式，再通过去括号、合并同类项对代数式进行化简，最后根据化简结果的形式，结合整除的定义判断是否能被9整除。
【解析】
(1) 原两位数的十位数字为a，个位数字为b，因此原数为$10a + b$；
将十位与个位数字对调后，新两位数的十位数字为b，个位数字为a，因此新数为$10b + a$。
(2) 计算原数与新数的差：
$\begin{aligned}(10a + b) - (10b + a)&=10a + b - 10b - a\\&=9a - 9b\\&=9(a - b)\end{aligned}$
这个差能被9整除。
理由：由于a、b均为整数，因此$a - b$也为整数，$9(a - b)$是9的整数倍，因此原数与新数的差能被9整除。
【答案】
(1) 原数：$\boldsymbol{10a + b}$，新数：$\boldsymbol{10b + a}$；
(2) 差为$\boldsymbol{9(a - b)}$，这个差能被9整除，理由见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题属于基础的代数应用题型，核心考查数位的代数表示方法和整式加减的运算规则，解题的关键是正确掌握两位数的表示形式，熟练运用去括号、合并同类项的法则化简整式。
【难度系数】
0.8
19. (9分)阅读材料:在合并同类项中,$5a-3a+a=(5-3+1)a=3a$,类似地,我们把$(x+y)$看成一个整体,则$5(x+y)-3(x+y)+(x+y)=(5-3+1)(x+y)=3(x+y)$.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把$(x-y)^2$看成一个整体,合并$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2$的结果是.
(2)已知$a^2 -2b=1$,求$3-2a^2 +4b$的值.
尝试应用:
(1)把$(x-y)^2$看成一个整体,合并$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2$的结果是.
(2)已知$a^2 -2b=1$,求$3-2a^2 +4b$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{1}$。
解析
【分析】
（1）本题可仿照材料中的整体合并同类项方法，将$(x-y)^2$看作一个整体，类比普通同类项合并规则，仅对其系数进行加减运算即可得到结果；（2）观察已知条件和所求代数式的结构，发现所求式中$-2a^2+4b$可变形为$-2(a^2-2b)$，刚好是已知式$a^2-2b$的-2倍，因此将$a^2-2b=1$整体代入变形后的式子即可快速求值，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
(1) 将$(x-y)^2$看作整体，合并各项系数：
$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2$
(2) 先对所求代数式变形：
$3-2a^2 +4b=3-(2a^2-4b)=3-2(a^2-2b)$
已知$a^2-2b=1$，将其代入上式得：
原式$=3-2×1=3-2=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
合并同类项，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题核心考察整体思想在代数式运算中的应用，解题的关键是准确识别可看作整体的代数式，通过对所求式子合理变形，将整体代入简化运算，避免了复杂的字母求解过程，是代数化简求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.75
（1）本题可仿照材料中的整体合并同类项方法，将$(x-y)^2$看作一个整体，类比普通同类项合并规则，仅对其系数进行加减运算即可得到结果；（2）观察已知条件和所求代数式的结构，发现所求式中$-2a^2+4b$可变形为$-2(a^2-2b)$，刚好是已知式$a^2-2b$的-2倍，因此将$a^2-2b=1$整体代入变形后的式子即可快速求值，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
(1) 将$(x-y)^2$看作整体，合并各项系数：
$3(x-y)^2 -6(x-y)^2 +2(x-y)^2=(3-6+2)(x-y)^2=-(x-y)^2$
(2) 先对所求代数式变形：
$3-2a^2 +4b=3-(2a^2-4b)=3-2(a^2-2b)$
已知$a^2-2b=1$，将其代入上式得：
原式$=3-2×1=3-2=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-(x-y)^2}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
合并同类项，整体代入法，代数式求值
【点评】
本题核心考察整体思想在代数式运算中的应用，解题的关键是准确识别可看作整体的代数式，通过对所求式子合理变形，将整体代入简化运算，避免了复杂的字母求解过程，是代数化简求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.75
