17.(10分)某学校要新建一块篮球场地(如图所示).
要求:①篮球场地的长和宽分别为28 m和15 m;
②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区域;
③篮球场地及安全区域的总面积为608 m².
(1)求安全区域的宽度.
(2)某公司希望用50万元承包这项工程,校方认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.

17. 解:
(1)设安全区域的宽度为$x$ m.
由题意,得$(28+2x)(15+2x)=608$.
整理,得$2x^2+43x-94=0$.
解得$x_1=2,x_2=-\frac{47}{2}$(不符合题意,舍去).
答:安全区域的宽度为2 m.
(2)设每次降价的百分率为$a$.
由题意,得$50(1-a)^2=32$,
解得$a_1=1.8$(不符合题意,舍去),$a_2=0.2=20\%$.
答:每次降价的百分率为20%.

18.(12分)【问题背景】
如图,二次函数$y=-x^2+4bx+4b+1$的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且在实数范围内$\sqrt{b-1}$与$\sqrt{1-b}$都有意义.
(1)【知识技能】
请直接写出:$b$的值为,点B的坐标为,点C的坐标为.
(2)【构建联系】
M是直线BC上方的抛物线上一点,过点M作y轴的垂线交直线BC于点N,求线段MN的最大值.
(3)【深入探究】
在抛物线上是否存在点E,使$∠ CBE=∠ ACB - 2∠ ACO$?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

18. 解:
(1)由题意,得$b-1≥0$,且$1-b≥0$,故$b=1$.当$b=1$时,$y=-x^2+4x+5$.
当$x=0$时,$y=5$,所以$C(0,5)$.
当$y=0$时,$-x^2+4x+5=0$,
所以$x=5$或$x=-1$,所以$B(5,0)$.
(2)设$M(m,-m^2+4m+5)$.
因为$B(5,0),C(0,5)$,
所以直线$BC$对应的函数解析式为$y=-x+5$.
因为$MN// x$轴,所以$y_N=y_M=-m^2+4m+5$.
由$-x+5=-m^2+4m+5$,得$x=m^2-4m$,所以$x_N=m^2-4m$,
所以$MN=m-(m^2-4m)=-(m-\frac{5}{2})^2+\frac{25}{4}$.
所以当$m=\frac{5}{2}$时,$MN_{最大}=\frac{25}{4}$.
(3)存在.
在$x$轴上取点$A'$,使$OA'=OA=1$,连接$A'C,AC$.
因为$∠ AOC=∠ A'OC=90°,OC=OC$,
所以$△ AOC≌△ A'OC(\mathrm{SAS})$.
所以$∠ ACO=∠ A'CO$.
所以$2∠ ACO=∠ ACA'$.
因为$∠ CBE=∠ ACB-2∠ ACO$,
所以$∠ CBE=∠ ACB-∠ ACA'=∠ A'CB$.
情况一:

因为$∠ CBE=∠ A'CB$,
所以$A'C// BE$.
由点$A',C$的坐标,得直线$A'C$对应的函数解析式为$y=-5x+5$.
所以设直线$BE$对应的函数解析式为$y=-5x+b$.
因为$B(5,0)$,所以$0=-5×5+b$,解得$b=25$.
所以直线$BE$对应的函数解析式为$y=-5x+25$.
令$-5x+25=-x^2+4x+5$,
解得$x=4$或$x=5$(舍去),
所以点$E$的坐标为$(4,5)$.
情况二:如图,设直线$BE$与$y$轴交于点$M$.

因为$∠ A'CB=∠ CBE$,$∠ OCB=∠ CBO=45°$,
所以$∠ OCB-∠ A'CB=∠ CBO-∠ CBE$,
所以$∠ OCA'=∠ EBA$.
因为$OC=OB$,$∠ A'OC=∠ MOB=90°$,
所以$△ OCA'≌△ OBM(\mathrm{ASA})$.
所以$OM=OA'=1$.
所以点$M$的坐标为$(0,1)$.
由点$B,M$的坐标,得直线$BM$对应的函数解析式为$y=-\frac{1}{5}x+1$.
令$-x^2+4x+5=-\frac{1}{5}x+1$,
解得$x=-\frac{4}{5}$或$x=5$(舍去),
所以点$E$的坐标为$(-\frac{4}{5},\frac{29}{25})$.
综上所述,点$E$的坐标为$(4,5)$或$(-\frac{4}{5},\frac{29}{25})$.