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16. (6分)阅读下列解方程$2x^2 -8x -18=0$的过程,解决问题.
(1)上述解题过程有误,错在步骤
(2)请写出正确的解答过程.
(1)上述解题过程有误,错在步骤
③
(填序号),错误的原因是只在方程的左边加上4,而右边没有加
.(2)请写出正确的解答过程.
答案
16. 解:(1)③ 只在方程的左边加上 4,而右边没有加
(2)$2x^2-8x-18=0$,移项,得 $2x^2-8x=18$,两边同除以 2,得 $x^2-4x=9$,配方,得 $x^2-4x+4=9+4$,即$(x-2)^2=13,∴x-2=\sqrt{13}$ 或 $x-2=-\sqrt{13},∴x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}.$
(2)$2x^2-8x-18=0$,移项,得 $2x^2-8x=18$,两边同除以 2,得 $x^2-4x=9$,配方,得 $x^2-4x+4=9+4$,即$(x-2)^2=13,∴x-2=\sqrt{13}$ 或 $x-2=-\sqrt{13},∴x_1=2+\sqrt{13},x_2=2-\sqrt{13}.$
17.(7分)某市要组织一次排球比赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
答案
17. 解:
∵赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,
∴共进行 $7×4=28$(场)比赛. 设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则由题意可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=28.$解得 $x_1=8,x_2=-7$(不符合题意,舍去).答:比赛组织者应邀请8个队参赛.
∵赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,
∴共进行 $7×4=28$(场)比赛. 设比赛组织者应邀请 x 个队参赛,则由题意可列方程为$\frac{x(x-1)}{2}=28.$解得 $x_1=8,x_2=-7$(不符合题意,舍去).答:比赛组织者应邀请8个队参赛.
18. (7分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (4m + 1)x + 2m - 1 = 0$.
(1)求证:不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根为$x_1, x_2$,且满足$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$,求$m$的值.
(1)求证:不论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若方程的两根为$x_1, x_2$,且满足$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1}{2}$,求$m$的值.
答案
18. (1)证明:$Δ=(4m+1)^2-4(2m-1)=16m^2+5＞0,∴$不论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:由根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-4m-1$,$x_1x_2=2m-1.∵\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}$,即$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$,$∴\frac{-4m-1}{2m-1}=\frac{1}{2}$,解得 $m=-\frac{1}{10}$,经检验 $m=-\frac{1}{10}$符合题意,即 m 的值为$-\frac{1}{10}.$
(2)解:由根与系数的关系,得 $x_1+x_2=-4m-1$,$x_1x_2=2m-1.∵\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}$,即$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{1}{2}$,$∴\frac{-4m-1}{2m-1}=\frac{1}{2}$,解得 $m=-\frac{1}{10}$,经检验 $m=-\frac{1}{10}$符合题意,即 m 的值为$-\frac{1}{10}.$
