7 [2026 陕西]如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E在BC的延长线上.若$CE=2BC$，则$\tan∠ AFC$的值为 （）

A.$2$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

7. B

8 新情境 数学文化 如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中,AB=10.若$\tan∠ ADF=\dfrac{3}{4}$,则EF的长为.

8. 2

9 [2026 广西]如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE.若AB=4，$\tan∠ DAE=\frac{1}{4}$，则$BE=$.

9. 5

10 分类讨论思想 如果方程$x^2 -4x +3=0$的两个根分别是$\mathrm{Rt}△ ABC$中两条边的长，$\mathrm{Rt}△ ABC$中最小的角为$∠ A$，那么$\tan A$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。

10. $\dfrac{1}{3}或\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

11 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在边BC上,满足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求tan∠CEO的值.

11. 过点$O$作$OH ⊥ BC$于点$H$,则$∠ OHE=∠ OHC=90°$.$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore ∠ ABC=90°,OC=\dfrac{1}{2}AC. \because$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,$AB=6,BC=8, \therefore$ 由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10. \therefore OC=5. \because ∠ CEO=∠ COE$,$\therefore CE=OC=5. \because ∠ ABC=∠ OHC=90°,∠ OCH=∠ ACB$,$\therefore △ ABC ∽ △ OHC. \therefore \dfrac{AB}{OH}=\dfrac{BC}{HC}=\dfrac{AC}{OC}=2. \therefore HC=\dfrac{1}{2}BC=4$,$OH=\dfrac{1}{2}AB=3. \therefore EH=CE-HC=5-4=1. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△OHE$ 中,$\tan ∠ CEO=\dfrac{OH}{EH}=\dfrac{3}{1}=3$

12 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=AC$，$D$为$AC$的中点. 求：
（1）$\tan ∠ BDC$的值；
（2）$\tan ∠ ABD$的值.
（第12题）

12. （1）$\because D$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore AC=2CD. \because BC=AC$,$\therefore BC=2CD. \because ∠ C=90°, \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$\tan ∠ BDC=\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{2CD}{CD}=2$
（2）过点 $D$ 作 $DH ⊥ AB$ 于点 $H$,设 $DH=t(t＞0). \because ∠ C=90°,BC=AC, \therefore ∠ A=∠ ABC=45°. \therefore$ 易知在$\mathrm{Rt}△ADH$ 中,$AH=DH=t$. 由勾股定理,得 $AD=\sqrt{t^2+t^2}=\sqrt{2}\ t. \because D$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore AC=2AD=2\sqrt{2}t$.$\therefore BC=AC=2\sqrt{2}t. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ABC$ 中,由勾股定理,得 $AB=\sqrt{(2\sqrt{2}t)^2+(2\sqrt{2}t)^2}=4t. \therefore BH=AB-AH=3t. \therefore$ 在$\mathrm{Rt}△BHD$ 中,$\tan ∠ ABD=\dfrac{DH}{BH}=\dfrac{t}{3t}=\dfrac{1}{3}$