登录
3.若一元二次方程$-3x^2 + 6x + m = 0$的一个根为3，则该方程的另一个根是(
A.－1
B.－3
C.－5
D.5
A
).A.－1
B.－3
C.－5
D.5
答案
3. A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：先利用方程根的定义，将已知根x=3代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路二：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算m，解题更简便。对于形如ax²+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，若两根为x₁、x₂，则两根之和x₁+x₂=-b/a，代入已知根即可快速求出另一根。
【解析】
解法1（利用根与系数关系）：
设方程的两根为x₁=3，x₂为待求根，已知方程-3x²+6x+m=0中，a=-3，b=6。
根据韦达定理，两根之和满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
代入数值：
$3 + x_2 = -\frac{6}{-3} = 2$
解得$x_2 = 2 - 3 = -1$
解法2（代入求参数再解方程）：
将x=3代入原方程得：
$-3×3^2 + 6×3 + m = 0$
计算得：$-27 + 18 + m = 0$，解得$m=9$
原方程为：$-3x^2 + 6x +9 = 0$，两边同除以-3化简得：
$x^2 - 2x -3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可跳过参数求解步骤，有效提升解题速度，属于该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：先利用方程根的定义，将已知根x=3代入原方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根；思路二：直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算m，解题更简便。对于形如ax²+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，若两根为x₁、x₂，则两根之和x₁+x₂=-b/a，代入已知根即可快速求出另一根。
【解析】
解法1（利用根与系数关系）：
设方程的两根为x₁=3，x₂为待求根，已知方程-3x²+6x+m=0中，a=-3，b=6。
根据韦达定理，两根之和满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
代入数值：
$3 + x_2 = -\frac{6}{-3} = 2$
解得$x_2 = 2 - 3 = -1$
解法2（代入求参数再解方程）：
将x=3代入原方程得：
$-3×3^2 + 6×3 + m = 0$
计算得：$-27 + 18 + m = 0$，解得$m=9$
原方程为：$-3x^2 + 6x +9 = 0$，两边同除以-3化简得：
$x^2 - 2x -3 = 0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，熟练掌握韦达定理可跳过参数求解步骤，有效提升解题速度，属于该部分的常考基础题。
【难度系数】
0.8
4.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，其中$x_1=1$，则$x_2=$
$-3$
。答案
4. -3
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：方法一利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入和的公式即可快速求出另一个根；方法二先将已知根代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，优先使用韦达定理更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，可知$a=1$，$b=2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，
解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得：
$1^2+2×1 - m=0$，
计算得$3-m=0$，解得$m=3$，
则原方程为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是基础类题型，考查一元二次方程相关性质的应用，既可以通过韦达定理快速求解，也可以通过代入求参的常规方法解答，熟练掌握根与系数的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
解题思路可从两个方向入手：方法一利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，两根之和为$-\frac{b}{a}$，已知其中一个根，直接代入和的公式即可快速求出另一个根；方法二先将已知根代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，优先使用韦达定理更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
对于一元二次方程$x^2+2x-m=0$，可知$a=1$，$b=2$，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，
已知$x_1=1$，代入得$1+x_2=-2$，
解得$x_2=-2-1=-3$。
方法二（代入求参再解方程）：
将$x_1=1$代入原方程$x^2+2x-m=0$，得：
$1^2+2×1 - m=0$，
计算得$3-m=0$，解得$m=3$，
则原方程为$x^2+2x-3=0$，
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解的定义
【点评】
本题是基础类题型，考查一元二次方程相关性质的应用，既可以通过韦达定理快速求解，也可以通过代入求参的常规方法解答，熟练掌握根与系数的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5.已知一元二次方程$x^2 + 4x -5=0$的两个实数根为$x_1$和$x_2$，则$x_1 + x_2 + x_1x_2$的值为
$-9$
。答案
5. -9
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算出方程的两个实根，能简化运算。解题思路如下：首先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；最后将两个值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 + 4x -5=0$，可得$a=1$，$b=4$，$c=-5$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{1}=-4$
$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
将上述结果代入$x_1 + x_2 + x_1x_2$得：
原式$=-4+(-5)=-9$
【答案】
-9
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是准确记忆根与系数的对应关系，避免符号出错，利用韦达定理可跳过求根步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，无需计算出方程的两个实根，能简化运算。解题思路如下：首先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c；再根据韦达定理分别求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的值；最后将两个值代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知方程$x^2 + 4x -5=0$，可得$a=1$，$b=4$，$c=-5$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{4}{1}=-4$
$x_1x_2=\frac{-5}{1}=-5$
将上述结果代入$x_1 + x_2 + x_1x_2$得：
原式$=-4+(-5)=-9$
【答案】
-9
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式求值
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题的核心是准确记忆根与系数的对应关系，避免符号出错，利用韦达定理可跳过求根步骤，提升解题效率。
【难度系数】
0.85
6.已知实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$,则$k$的值为(
A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
B
).A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
6. B
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个不等实根及关于两根的分式代数式的值，求参数k。解题思路如下：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；再将所求的分式代数式通分，变形为用两根和、两根积表示的形式；代入已知条件得到关于k的方程并求解；最后检验两个条件：k≠0（题设要求）、判别式Δ＞0（保证方程有两个不等实根，符合x₁≠x₂的前提），排除不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根
∴ 根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得$-2k=2$，解得$k=-1$
检验：当$k=-1$时，方程判别式$\Delta=(2k)^2-4k×1=4×(-1)^2-4×(-1)×1=8＞0$，满足有两个不等实根的条件，且$k=-1≠0$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；分式化简；根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，求出参数后注意检验判别式，避免增根。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程的两个不等实根及关于两根的分式代数式的值，求参数k。解题思路如下：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；再将所求的分式代数式通分，变形为用两根和、两根积表示的形式；代入已知条件得到关于k的方程并求解；最后检验两个条件：k≠0（题设要求）、判别式Δ＞0（保证方程有两个不等实根，符合x₁≠x₂的前提），排除不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根
∴ 根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
代入$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得$-2k=2$，解得$k=-1$
检验：当$k=-1$时，方程判别式$\Delta=(2k)^2-4k×1=4×(-1)^2-4×(-1)×1=8＞0$，满足有两个不等实根的条件，且$k=-1≠0$，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
韦达定理；分式化简；根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的组合形式，求出参数后注意检验判别式，避免增根。
【难度系数】
0.7
7.(教材P18习题T11变式)若实数$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个根，且$x_1^2 + x_2^2 = 7$，则$m$的值为
$1$
。答案
7. 1
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 先根据韦达定理写出两根之和、两根之积与系数m的关系；2. 利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于m的方程，求解m的可能值；3. 结合一元二次方程有两个实根的前提（判别式$\Delta≥0$），对求出的m值进行检验，舍去不符合条件的解即可得到最终结果。
【解析】
∵$x_1$，$x_2$是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个实根
∴首先满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-3m) = m^2 + 12m ≥ 0$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -3m$
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入已知$x_1^2 + x_2^2 =7$得：
$(-m)^2 - 2×(-3m) =7$
整理得：$m^2 +6m -7=0$
因式分解得：$(m+7)(m-1)=0$
解得：$m=1$或$m=-7$
检验：
当$m=1$时，$\Delta =1^2 +12×1=13＞0$，符合题意；
当$m=-7$时，$\Delta =(-7)^2 +12×(-7)=49-84=-35＜0$，此时方程无实根，舍去。
综上，$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是韦达定理应用的典型题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和与两根之积的形式，建立参数方程求解，需特别注意参数取值要满足方程有实根的前提，避免漏验判别式导致错解。
【难度系数】
0.7
本题可根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 先根据韦达定理写出两根之和、两根之积与系数m的关系；2. 利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2$变形为含两根和、两根积的形式，代入已知条件得到关于m的方程，求解m的可能值；3. 结合一元二次方程有两个实根的前提（判别式$\Delta≥0$），对求出的m值进行检验，舍去不符合条件的解即可得到最终结果。
【解析】
∵$x_1$，$x_2$是方程$x^2 + mx - 3m = 0$的两个实根
∴首先满足判别式$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(-3m) = m^2 + 12m ≥ 0$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -m$，$x_1x_2 = -3m$
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入已知$x_1^2 + x_2^2 =7$得：
$(-m)^2 - 2×(-3m) =7$
整理得：$m^2 +6m -7=0$
因式分解得：$(m+7)(m-1)=0$
解得：$m=1$或$m=-7$
检验：
当$m=1$时，$\Delta =1^2 +12×1=13＞0$，符合题意；
当$m=-7$时，$\Delta =(-7)^2 +12×(-7)=49-84=-35＜0$，此时方程无实根，舍去。
综上，$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是韦达定理应用的典型题型，解题核心是将待求代数式转化为两根之和与两根之积的形式，建立参数方程求解，需特别注意参数取值要满足方程有实根的前提，避免漏验判别式导致错解。
【难度系数】
0.7
8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$。
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为$α,β$，且$α + 2β = 5$，求$m$的值。
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为$α,β$，且$α + 2β = 5$，求$m$的值。
答案
(1) 略
(2) 1或－1
(2) 1或－1
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需通过判别式Δ的正负判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$\Delta=b^2-4ac＞0$，则方程有两个不相等的实数根。本题计算出Δ的表达式后，结合平方的非负性即可证明Δ恒大于0。
（2）已知方程两根满足$α+2β=5$，可先根据根与系数的关系（韦达定理）得到$α+β$的值，联立两个式子求出$α$和$β$的具体值，再利用韦达定理中两根之积的关系建立关于$m$的方程，求解即可得到$m$的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore 12m^2≥0$，$\therefore \Delta=4+12m^2≥4＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，得：
$α+β = -\frac{b}{a} = 2$ ①，
已知$α + 2β = 5$ ②，
用②-①得：$β=3$，
将$β=3$代入①得：$α=2-3=-1$，
再根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = -3m^2$，
将$α=-1$，$β=3$代入得：$(-1)×3 = -3m^2$，
整理得：$-3 = -3m^2$，即$m^2=1$，
解得：$m=1$或$m=-1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $1$或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式的应用，只需牢记判别式和根的对应关系即可求证；第二问需要结合已知条件和韦达定理联立求根，再计算参数，逻辑清晰，计算量小，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，需通过判别式Δ的正负判断：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若$\Delta=b^2-4ac＞0$，则方程有两个不相等的实数根。本题计算出Δ的表达式后，结合平方的非负性即可证明Δ恒大于0。
（2）已知方程两根满足$α+2β=5$，可先根据根与系数的关系（韦达定理）得到$α+β$的值，联立两个式子求出$α$和$β$的具体值，再利用韦达定理中两根之积的关系建立关于$m$的方程，求解即可得到$m$的取值。
【解析】
（1）证明：在一元二次方程$x^2 - 2x - 3m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-3m^2$，
则判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×(-3m^2) = 4 + 12m^2$，
$\because m^2≥0$，$\therefore 12m^2≥0$，$\therefore \Delta=4+12m^2≥4＞0$，
$\therefore$方程总有两个不相等的实数根。
（2）解：根据根与系数的关系，得：
$α+β = -\frac{b}{a} = 2$ ①，
已知$α + 2β = 5$ ②，
用②-①得：$β=3$，
将$β=3$代入①得：$α=2-3=-1$，
再根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = -3m^2$，
将$α=-1$，$β=3$代入得：$(-1)×3 = -3m^2$，
整理得：$-3 = -3m^2$，即$m^2=1$，
解得：$m=1$或$m=-1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $1$或$-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问直接考查判别式的应用，只需牢记判别式和根的对应关系即可求证；第二问需要结合已知条件和韦达定理联立求根，再计算参数，逻辑清晰，计算量小，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7
9.阅读材料.
材料1:若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
材料2:已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
解:由题意,知$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,根据材料1,得$m +n=1,mn=-1$,所以$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m +n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$.
根据上述材料解决以下问题.
(1)材料理解:一元二次方程$5x^2 +10x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2=$
(2)类比探究:已知实数$m,n$满足$7m^2 -7m -1=0,7n^2 -7n -1=0$,且$m≠n$,求$m^2n +mn^2$的值.
(3)思维拓展:已知实数$s,t$分别满足$7s^2 +7s +1=0,t^2 +7t +7=0$,且$st≠1$.求$\frac{2st +7s +2}{t}$的值.
材料1:若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$.
材料2:已知实数$m,n$满足$m^2 - m -1=0,n^2 -n -1=0$,且$m≠n$,求$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$的值.
解:由题意,知$m,n$是方程$x^2 -x -1=0$的两个不相等的实数根,根据材料1,得$m +n=1,mn=-1$,所以$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{m^2 +n^2}{mn}=\frac{(m +n)^2 -2mn}{mn}=\frac{1+2}{-1}=-3$.
根据上述材料解决以下问题.
(1)材料理解:一元二次方程$5x^2 +10x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2=$
$-2$
,$x_1x_2=$$-\frac{1}{5}$
.(2)类比探究:已知实数$m,n$满足$7m^2 -7m -1=0,7n^2 -7n -1=0$,且$m≠n$,求$m^2n +mn^2$的值.
(3)思维拓展:已知实数$s,t$分别满足$7s^2 +7s +1=0,t^2 +7t +7=0$,且$st≠1$.求$\frac{2st +7s +2}{t}$的值.
答案
(1) -2 $-\frac{1}{5}$
(2) $-\frac{1}{7}$
(3) -1
(2) $-\frac{1}{7}$
(3) -1
解析
【分析】
(1) 本问直接应用根与系数的关系（韦达定理）求解，先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 首先根据m、n满足的方程特征，判断m、n是方程$7x^2-7x-1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将所求代数式因式分解为$mn(m+n)$，代入数值计算即可。
(3) 先对t满足的方程变形：因为t≠0，将$t^2+7t+7=0$两边同时除以$t^2$，整理得$7·(\frac{1}{t})^2 +7·(\frac{1}{t})+1=0$，结合s满足的方程，可知s和$\frac{1}{t}$是方程$7x^2+7x+1=0$的两个不等实根（由$st≠1$得$s≠\frac{1}{t}$），用韦达定理求出$s+\frac{1}{t}$和$\frac{s}{t}$的值，最后将所求代数式拆分变形后代入计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$5x^2+10x-1=0$，$a=5,b=10,c=-1$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{5}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}$。
(2) 由题意得，m、n是方程$7x^2-7x-1=0$的两个不等实根，
根据韦达定理：$m+n=-\frac{-7}{7}=1$，$mn=\frac{-1}{7}=-\frac{1}{7}$，
则$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{7}×1=-\frac{1}{7}$。
(3) 首先$t≠0$（若t=0，代入$t^2+7t+7=0$得7=0，不成立），
将$t^2+7t+7=0$两边同时除以$t^2$，整理得：$7·(\frac{1}{t})^2 +7·(\frac{1}{t})+1=0$，
又s满足$7s^2+7s+1=0$，且$st≠1$即$s≠\frac{1}{t}$，
故s和$\frac{1}{t}$是方程$7x^2+7x+1=0$的两个不等实根，
根据韦达定理：$s+\frac{1}{t}=-\frac{7}{7}=-1$，$s·\frac{1}{t}=\frac{1}{7}$即$\frac{s}{t}=\frac{1}{7}$，
对所求代数式变形：
$\frac{2st+7s+2}{t}=2s+\frac{7s}{t}+\frac{2}{t}=2(s+\frac{1}{t}) +7·\frac{s}{t}$，
代入得：$2×(-1)+7×\frac{1}{7}=-2+1=-1$。
【答案】
(1) $-2$；$-\frac{1}{5}$
(2) $-\frac{1}{7}$
(3) $-1$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，一元二次方程根的定义
【点评】
本题以材料阅读形式考查根与系数关系的灵活应用，难度逐层递进，既考查基础公式的直接套用，也考查方程构造、代数式变形的能力，需要熟练掌握一元二次方程根的定义和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
(1) 本问直接应用根与系数的关系（韦达定理）求解，先确定一元二次方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再代入公式$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算即可。
(2) 首先根据m、n满足的方程特征，判断m、n是方程$7x^2-7x-1=0$的两个不等实根，用韦达定理求出$m+n$和$mn$的值，再将所求代数式因式分解为$mn(m+n)$，代入数值计算即可。
(3) 先对t满足的方程变形：因为t≠0，将$t^2+7t+7=0$两边同时除以$t^2$，整理得$7·(\frac{1}{t})^2 +7·(\frac{1}{t})+1=0$，结合s满足的方程，可知s和$\frac{1}{t}$是方程$7x^2+7x+1=0$的两个不等实根（由$st≠1$得$s≠\frac{1}{t}$），用韦达定理求出$s+\frac{1}{t}$和$\frac{s}{t}$的值，最后将所求代数式拆分变形后代入计算即可。
【解析】
(1) 对于方程$5x^2+10x-1=0$，$a=5,b=10,c=-1$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{10}{5}=-2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}$。
(2) 由题意得，m、n是方程$7x^2-7x-1=0$的两个不等实根，
根据韦达定理：$m+n=-\frac{-7}{7}=1$，$mn=\frac{-1}{7}=-\frac{1}{7}$，
则$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{7}×1=-\frac{1}{7}$。
(3) 首先$t≠0$（若t=0，代入$t^2+7t+7=0$得7=0，不成立），
将$t^2+7t+7=0$两边同时除以$t^2$，整理得：$7·(\frac{1}{t})^2 +7·(\frac{1}{t})+1=0$，
又s满足$7s^2+7s+1=0$，且$st≠1$即$s≠\frac{1}{t}$，
故s和$\frac{1}{t}$是方程$7x^2+7x+1=0$的两个不等实根，
根据韦达定理：$s+\frac{1}{t}=-\frac{7}{7}=-1$，$s·\frac{1}{t}=\frac{1}{7}$即$\frac{s}{t}=\frac{1}{7}$，
对所求代数式变形：
$\frac{2st+7s+2}{t}=2s+\frac{7s}{t}+\frac{2}{t}=2(s+\frac{1}{t}) +7·\frac{s}{t}$，
代入得：$2×(-1)+7×\frac{1}{7}=-2+1=-1$。
【答案】
(1) $-2$；$-\frac{1}{5}$
(2) $-\frac{1}{7}$
(3) $-1$
【知识点】
韦达定理，代数式化简，一元二次方程根的定义
【点评】
本题以材料阅读形式考查根与系数关系的灵活应用，难度逐层递进，既考查基础公式的直接套用，也考查方程构造、代数式变形的能力，需要熟练掌握一元二次方程根的定义和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
