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1.下列方程中，有两个相等的实数根的是
（
A.$x^2 +5x=0$
B.$x^2 -4=0$
C.$x^2 -2x +1=0$
D.$x^2 -x -12=0$
（
C
）.A.$x^2 +5x=0$
B.$x^2 -4=0$
C.$x^2 -2x +1=0$
D.$x^2 -x -12=0$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断哪个方程有两个相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的性质：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。解题思路为：先将每个选项的方程对应到一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），确定各方程中a、b、c的取值，再分别代入判别式计算Δ的数值，最终选出Δ=0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
分别计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2 +5x=0$中，$a=1$，$b=5$，$c=0$，$\Delta=5^2-4×1×0=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2 -4=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-4$，$\Delta=0^2-4×1×(-4)=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2 -2x +1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
D. 方程$x^2 -x -12=0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-12$，$\Delta=(-1)^2-4×1×(-12)=49＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查根的判别式的基础应用，解题关键是牢记判别式取值与一元二次方程根的情况的对应关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个方程有两个相等的实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac的性质：当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。解题思路为：先将每个选项的方程对应到一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），确定各方程中a、b、c的取值，再分别代入判别式计算Δ的数值，最终选出Δ=0的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
分别计算各选项的判别式：
A. 方程$x^2 +5x=0$中，$a=1$，$b=5$，$c=0$，$\Delta=5^2-4×1×0=25＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
B. 方程$x^2 -4=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-4$，$\Delta=0^2-4×1×(-4)=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
C. 方程$x^2 -2x +1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，符合要求；
D. 方程$x^2 -x -12=0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=-12$，$\Delta=(-1)^2-4×1×(-12)=49＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查根的判别式的基础应用，解题关键是牢记判别式取值与一元二次方程根的情况的对应关系，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2.关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k - 3)x - k + 1 = 0$的根的情况，下列说法正确的是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
）.A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
2. A
解析
【分析】
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时首先确定方程中$a、b、c$的取值，再代入判别式公式化简，最后通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - (k - 3)x - k + 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k-3)$，常数项$c=-k+1$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&= k^2 -6k +9 +4k -4 \\&= k^2 -2k +5 \\&= (k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 平方具有非负性，即$(k-1)^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = (k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是正确代入系数计算判别式，再通过配方转化为非负数加正数的形式，即可快速判断判别式的正负，掌握根的判别式的意义是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
判断一元二次方程根的情况的核心依据是根的判别式$\Delta=b^2-4ac$的符号：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程无实数根。解题时首先确定方程中$a、b、c$的取值，再代入判别式公式化简，最后通过配方结合平方的非负性判断$\Delta$的符号，即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - (k - 3)x - k + 1 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k-3)$，常数项$c=-k+1$。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2 - 4ac \\&= [-(k-3)]^2 - 4×1×(-k+1) \\&= k^2 -6k +9 +4k -4 \\&= k^2 -2k +5 \\&= (k-1)^2 +4\end{aligned}$
∵ 平方具有非负性，即$(k-1)^2 ≥ 0$，
∴ $\Delta = (k-1)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.完全平方的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的关键是正确代入系数计算判别式，再通过配方转化为非负数加正数的形式，即可快速判断判别式的正负，掌握根的判别式的意义是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.8
3.关于$x$的一元二次方程$x^2 - kx -1=0$的根的情况是
有两个不相等的实数根
.答案
3. 有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$解题：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意符号不要出错；第二步将系数代入判别式公式化简得到$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性，最后根据判别式的意义（$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根、$\Delta=0$对应两个相等的实数根、$\Delta＜0$对应无实数根）得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - kx -1=0$中：$a=1$，$b=-k$，$c=-1$，
代入得$\Delta = (-k)^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$。
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴ $k^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
根的判别式的应用；平方的非负性
【点评】
本题属于根的判别式的基础考查题，解题关键是正确提取方程各项系数，准确计算判别式并判断其符号，掌握判别式和根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$解题：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的取值，注意符号不要出错；第二步将系数代入判别式公式化简得到$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负性，最后根据判别式的意义（$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根、$\Delta=0$对应两个相等的实数根、$\Delta＜0$对应无实数根）得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2 - kx -1=0$中：$a=1$，$b=-k$，$c=-1$，
代入得$\Delta = (-k)^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$。
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴ $k^2+4≥4＞0$，即$\Delta＞0$，
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
根的判别式的应用；平方的非负性
【点评】
本题属于根的判别式的基础考查题，解题关键是正确提取方程各项系数，准确计算判别式并判断其符号，掌握判别式和根的对应关系即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 - (2k - 1)x + k - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则实数$k$的取值范围是(
A.$k ＞ -\frac{1}{4}$
B.$k ＜ \frac{1}{4}$
C.$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k≠0$
D.$k ＜ \frac{1}{4}$且$k≠0$
C
).A.$k ＞ -\frac{1}{4}$
B.$k ＜ \frac{1}{4}$
C.$k ＞ -\frac{1}{4}$且$k≠0$
D.$k ＜ \frac{1}{4}$且$k≠0$
答案
4. C
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的定义和根的判别式共同求解，解题思路如下：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数计算Δ的表达式，解不等式得到k的取值范围，最后将两个限制条件结合，即可得到最终的k的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - (2k - 1)x + k - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=-(2k-1)$，$c=k-2$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2k-1)]^2 - 4× k × (k-2)\\&=4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k\\&=4k +1\end{aligned}$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$4k+1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得$k$的取值范围是$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提，遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，做题时要注意审题，抓住题干的隐含条件。
【难度系数】
0.65
本题需结合一元二次方程的定义和根的判别式共同求解，解题思路如下：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；其次，方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数计算Δ的表达式，解不等式得到k的取值范围，最后将两个限制条件结合，即可得到最终的k的取值范围，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵ 方程$kx^2 - (2k - 1)x + k - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=k$，$b=-(2k-1)$，$c=k-2$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(2k-1)]^2 - 4× k × (k-2)\\&=4k^2 -4k +1 -4k^2 +8k\\&=4k +1\end{aligned}$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ $\Delta＞0$，即$4k+1＞0$，解得$k＞-\frac{1}{4}$
结合$k≠0$的条件，可得$k$的取值范围是$k＞-\frac{1}{4}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是根的判别式的基础题型，易错点是容易忽略“一元二次方程”的前提，遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选A选项，做题时要注意审题，抓住题干的隐含条件。
【难度系数】
0.65
5.若关于x的一元二次方程$9x^2 -6x +c=0$有两个相等的实数根，则c的值为
1
。答案
5. 1
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。我们只需要先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的取值，代入判别式令其等于0，解关于$c$的方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$9x^2 -6x +c=0$中，$a=9$，$b=-6$，常数项为$c$，代入判别式得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×9× c = 36 - 36c$
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$36 - 36c = 0$
解得$c=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式取值的对应关系，计算难度低，只要熟练掌握判别式的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况和判别式的对应关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式$\Delta=0$。我们只需要先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的取值，代入判别式令其等于0，解关于$c$的方程即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$9x^2 -6x +c=0$中，$a=9$，$b=-6$，常数项为$c$，代入判别式得：
$\Delta=(-6)^2 - 4×9× c = 36 - 36c$
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，即：
$36 - 36c = 0$
解得$c=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式取值的对应关系，计算难度低，只要熟练掌握判别式的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
6.已知关于x的方程$(m-2)x^2 + x - 2 = 0$有实数根，则m的取值范围是
$m≥ \frac{15}{8}$
.答案
6. $m≥ \frac{15}{8}$
解析
【分析】
解题时首先要注意题目未明确方程是一元一次还是一元二次，需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，验证是否有实根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据有实根的条件：根的判别式Δ≥0，列式求解m的范围，最后合并两种情况的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-2=0$，即$m=2$时，原方程化为$x-2=0$，解得$x=2$，有实数根，符合题意；
2. 当$m-2≠0$，即$m≠2$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式$\Delta≥0$。
其中$a=m-2$，$b=1$，$c=-2$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×(m-2)×(-2) = 1 + 8(m-2) = 8m - 15$
令$\Delta≥0$，即$8m -15≥0$，解得$m≥\frac{15}{8}$，结合$m≠2$，此时$m$的取值范围是$m≥\frac{15}{8}$且$m≠2$。
综合两种情况，$m=2$也满足$m≥\frac{15}{8}$，因此$m$的取值范围是$m≥\frac{15}{8}$。
【答案】
$m≥ \frac{15}{8}$
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略方程为一元一次方程的情况，直接默认方程是一元二次方程求解，导致漏解。遇到未明确类型的含参方程，要注意分类讨论，最后合并取值范围。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意题目未明确方程是一元一次还是一元二次，需分两种情况讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，验证是否有实根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，根据有实根的条件：根的判别式Δ≥0，列式求解m的范围，最后合并两种情况的取值范围即可得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$m-2=0$，即$m=2$时，原方程化为$x-2=0$，解得$x=2$，有实数根，符合题意；
2. 当$m-2≠0$，即$m≠2$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式$\Delta≥0$。
其中$a=m-2$，$b=1$，$c=-2$，代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac = 1^2 - 4×(m-2)×(-2) = 1 + 8(m-2) = 8m - 15$
令$\Delta≥0$，即$8m -15≥0$，解得$m≥\frac{15}{8}$，结合$m≠2$，此时$m$的取值范围是$m≥\frac{15}{8}$且$m≠2$。
综合两种情况，$m=2$也满足$m≥\frac{15}{8}$，因此$m$的取值范围是$m≥\frac{15}{8}$。
【答案】
$m≥ \frac{15}{8}$
【知识点】
根的判别式的应用；一元二次方程的定义；一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是忽略方程为一元一次方程的情况，直接默认方程是一元二次方程求解，导致漏解。遇到未明确类型的含参方程，要注意分类讨论，最后合并取值范围。
【难度系数】
0.6
7.已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$，求证：不论m取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
答案
证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，
$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，可依据一元二次方程根的判别式的性质推导：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，因此只需证明无论m取何值，Δ恒大于0即可。解题思路分为三步：第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值；第二步代入Δ=b²-4ac计算，再通过配方法将Δ的表达式变形为含完全平方式的形式；第三步结合平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
【解析】
证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，
$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)=m^2 -4m +8=(m-2)^2 +4$，
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.配方法 3.非负数的性质
【点评】
本题属于根的判别式的基础考向，核心是掌握判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，通过配方结合平方的非负性判断判别式的符号即可解题，是一元二次方程模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，可依据一元二次方程根的判别式的性质推导：当判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，因此只需证明无论m取何值，Δ恒大于0即可。解题思路分为三步：第一步先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值；第二步代入Δ=b²-4ac计算，再通过配方法将Δ的表达式变形为含完全平方式的形式；第三步结合平方的非负性判断Δ的取值范围，即可完成证明。
【解析】
证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，
$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，
$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)$
$=m^2 -4m +8$
$=(m-2)^2 +4$
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
【答案】
证明：在一元二次方程$x^2 + mx + m - 2 = 0$中，$a=1$，$b=m$，$c=m-2$，$\Delta = b^2 - 4ac = m^2 - 4×1×(m-2)=m^2 -4m +8=(m-2)^2 +4$，
∵ 不论$m$取何实数，$(m-2)^2 ≥ 0$，
∴ $(m-2)^2 +4 ≥ 4 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
∴ 不论$m$取何实数，方程都有两个不相等的实数根。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.配方法 3.非负数的性质
【点评】
本题属于根的判别式的基础考向，核心是掌握判别式与一元二次方程根的情况的对应关系，通过配方结合平方的非负性判断判别式的符号即可解题，是一元二次方程模块的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k - 2)x + k - 3 = 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根为正数,求实数$k$的取值范围.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程有一个根为正数,求实数$k$的取值范围.
答案
(1)略
(2)$k＜3$
(2)$k＜3$
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$即可，先根据方程写出判别式的表达式，化简后判断其符号即可完成证明；(2) 先求解得到方程的两个根，已知其中一个根为-1（负数），要使方程有一个正数根，只需让另一个根大于0，列不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 + (k - 2)x + k - 3 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k-2$，常数项$c=k-3$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (k-2)^2 - 4×1×(k-3)$
$= k^2 -4k +4 -4k +12$
$= k^2 -8k +16$
$=(k-4)^2$
∵ 无论k取任意实数，平方数都具有非负性，即$(k-4)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对$x^2 + (k - 2)x + k - 3 = 0$因式分解，可得$(x+1)(x + k - 3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3 - k$，
∵ 方程有一个根为正数，且$x_1=-1$是负数，
∴ 只需另一个根$x_2=3 - k ＞0$，
解不等式得$k ＜ 3$，即实数k的取值范围为$k＜3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k＜3$
【知识点】
1. 根的判别式 2. 解一元二次方程 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查根的判别式的应用及一元二次方程的求解，解题时抓住判别式和方程根的性质分析即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta≥0$即可，先根据方程写出判别式的表达式，化简后判断其符号即可完成证明；(2) 先求解得到方程的两个根，已知其中一个根为-1（负数），要使方程有一个正数根，只需让另一个根大于0，列不等式求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2 + (k - 2)x + k - 3 = 0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=k-2$，常数项$c=k-3$，
则根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (k-2)^2 - 4×1×(k-3)$
$= k^2 -4k +4 -4k +12$
$= k^2 -8k +16$
$=(k-4)^2$
∵ 无论k取任意实数，平方数都具有非负性，即$(k-4)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$，
∴ 该方程总有两个实数根。
(2) 解：对$x^2 + (k - 2)x + k - 3 = 0$因式分解，可得$(x+1)(x + k - 3)=0$，
解得方程的两个根为$x_1=-1$，$x_2=3 - k$，
∵ 方程有一个根为正数，且$x_1=-1$是负数，
∴ 只需另一个根$x_2=3 - k ＞0$，
解不等式得$k ＜ 3$，即实数k的取值范围为$k＜3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $k＜3$
【知识点】
1. 根的判别式 2. 解一元二次方程 3. 解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查根的判别式的应用及一元二次方程的求解，解题时抓住判别式和方程根的性质分析即可，整体逻辑清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
