登录
9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$，$x_2$，且$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$，求实数$m$的值.
答案
9. 3
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围，避免后续出现增根；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和x₁+x₂、两根之积x₁x₂关于m的表达式；第三步，将表达式代入已知等式x₁+x₂+x₁x₂=2求解m的取值，再结合第一步得到的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
已知方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个不相等的实数根：
1. 先计算根的判别式确定$m$的取值范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m + 2$
$\Delta=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0$
展开化简：$4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 ＞ 0$，即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$
2. 根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
3. 代入$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m-3)=0$
解得$m=0$或$m=3$
4. 结合$m＞2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去，故$m=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的综合应用，解题的易错点是忽略根据根的个数先确定参数的取值范围，直接求解后未检验导致出现增根，求解此类问题时要注意取值范围的约束。
【难度系数】
0.6
解题思路分为三步：第一步，先根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式Δ＞0求出m的取值范围，避免后续出现增根；第二步，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和x₁+x₂、两根之积x₁x₂关于m的表达式；第三步，将表达式代入已知等式x₁+x₂+x₁x₂=2求解m的取值，再结合第一步得到的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终m的值。
【解析】
已知方程$x^2 + 2mx + m^2 - m + 2 = 0$是关于$x$的一元二次方程，且有两个不相等的实数根：
1. 先计算根的判别式确定$m$的取值范围：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，$\Delta = b^2-4ac$，本题中$a=1$，$b=2m$，$c=m^2 - m + 2$
$\Delta=(2m)^2 - 4×1×(m^2 - m + 2) ＞ 0$
展开化简：$4m^2 - 4m^2 + 4m - 8 ＞ 0$，即$4m - 8 ＞ 0$，解得$m ＞ 2$
2. 根据根与系数的关系得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 - m + 2$
3. 代入$x_1 + x_2 + x_1x_2 = 2$得：
$-2m + m^2 - m + 2 = 2$
整理得$m^2 - 3m = 0$，因式分解得$m(m-3)=0$
解得$m=0$或$m=3$
4. 结合$m＞2$的取值范围，$m=0$不符合要求，舍去，故$m=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根相关性质的综合应用，解题的易错点是忽略根据根的个数先确定参数的取值范围，直接求解后未检验导致出现增根，求解此类问题时要注意取值范围的约束。
【难度系数】
0.6
10.关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为$α,β$，且$k^2 = αβ + 3k$，求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为$α,β$，且$k^2 = αβ + 3k$，求$k$的值.
答案
10. (1)$k＞2$
(2)3
(2)3
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，因此先写出该方程对应的判别式表达式，列不等式求解即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出了两根之积与$k$的关系式，可利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之积$αβ$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，解方程后结合第(1)问求出的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到$k$的正确值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1, b=2, c=3-k$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) ＞ 0$
化简：$4 - 12 + 4k ＞ 0$
$4k ＞ 8$
解得：$k ＞ 2$
(2)
∵ 方程的两个实数根为$α, β$
根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得：$k_1 = 3, k_2 = -1$
由(1)知$k ＞ 2$，故$k = -1$不符合题意，舍去
∴ $k = 3$
【答案】
(1)$k ＞ 2$
(2)$3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，解题时要注意：利用根的判别式求参数范围是解决此类问题的前提，求出参数的解后一定要结合参数的取值范围验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，因此先写出该方程对应的判别式表达式，列不等式求解即可得到$k$的取值范围。
（2）题目给出了两根之积与$k$的关系式，可利用根与系数的关系（韦达定理）求出两根之积$αβ$的表达式，代入已知等式得到关于$k$的一元二次方程，解方程后结合第(1)问求出的$k$的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到$k$的正确值。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
其中$a=1, b=2, c=3-k$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) ＞ 0$
化简：$4 - 12 + 4k ＞ 0$
$4k ＞ 8$
解得：$k ＞ 2$
(2)
∵ 方程的两个实数根为$α, β$
根据根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得：$k_1 = 3, k_2 = -1$
由(1)知$k ＞ 2$，故$k = -1$不符合题意，舍去
∴ $k = 3$
【答案】
(1)$k ＞ 2$
(2)$3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根的相关性质的基础综合题，解题时要注意：利用根的判别式求参数范围是解决此类问题的前提，求出参数的解后一定要结合参数的取值范围验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11.已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 - 2bx - a + c = 0$，其中$a,b,c$为$△ ABC$的三边长.
(1)若$x=1$是方程的根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
(1)若$x=1$是方程的根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由；
(2)若方程有两个相等的实数根，判断$△ ABC$的形状，并说明理由.
答案
11. (1)$△ ABC$ 为等腰三角形. 理由略.
(2)$△ ABC$ 为直角三角形. 理由略.
(2)$△ ABC$ 为直角三角形. 理由略.
解析
【分析】
(1)已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，化简后得到a、b、c的数量关系，即可判断三角形形状；
(2)已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0，代入对应系数化简得到a、b、c的关系，结合特殊三角形的判定方法即可得出结论。
【解析】
(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=1是方程$(a+c)x^2 - 2bx - a + c = 0$的根，
∴将x=1代入方程得：$(a+c)×1^2 - 2b×1 -a + c = 0$，
化简得：$a + c - 2b - a + c = 0$，即$2c - 2b = 0$，
∴$b = c$，
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程$(a+c)x^2 - 2bx - a + c = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = 0$，
其中二次项系数$A=a+c$，一次项系数$B=-2b$，常数项$C=-a+c$，
∴$\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4(a+c)(-a+c) = 0$，
化简得：$4b^2 - 4(c^2 - a^2) = 0$，
两边同时除以4得：$b^2 - c^2 + a^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$，
∴△ABC为直角三角形。
【答案】
(1)$△ ABC$为等腰三角形；
(2)$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题将一元二次方程的性质与三角形形状判定相结合，既考查了方程相关知识点的应用，也考查了特殊三角形的判定方法，解题时要注意计算的准确性，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
(1)已知x=1是方程的根，根据方程根的定义，将x=1代入原方程，化简后得到a、b、c的数量关系，即可判断三角形形状；
(2)已知一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式Δ=0，代入对应系数化简得到a、b、c的关系，结合特殊三角形的判定方法即可得出结论。
【解析】
(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵x=1是方程$(a+c)x^2 - 2bx - a + c = 0$的根，
∴将x=1代入方程得：$(a+c)×1^2 - 2b×1 -a + c = 0$，
化简得：$a + c - 2b - a + c = 0$，即$2c - 2b = 0$，
∴$b = c$，
∴△ABC为等腰三角形。
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵方程$(a+c)x^2 - 2bx - a + c = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = 0$，
其中二次项系数$A=a+c$，一次项系数$B=-2b$，常数项$C=-a+c$，
∴$\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4(a+c)(-a+c) = 0$，
化简得：$4b^2 - 4(c^2 - a^2) = 0$，
两边同时除以4得：$b^2 - c^2 + a^2 = 0$，即$a^2 + b^2 = c^2$，
∴△ABC为直角三角形。
【答案】
(1)$△ ABC$为等腰三角形；
(2)$△ ABC$为直角三角形。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式；勾股定理的逆定理
【点评】
本题将一元二次方程的性质与三角形形状判定相结合，既考查了方程相关知识点的应用，也考查了特殊三角形的判定方法，解题时要注意计算的准确性，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的方程$x^2 - (3k + 1)x + 2k^2 + 2k = 0$.
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=6$,另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个实数根,求此三角形的周长.
(1)求证:无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a=6$,另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个实数根,求此三角形的周长.
答案
12. (1)略
(2)16 或 22
(2)16 或 22
解析
【分析】
(1)要证明无论k取何值方程总有实数根，可通过计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ恒为非负数即可。(2)已知等腰三角形一边长为6，另两边是方程的根，需分两种情况讨论：①6为腰长，即x=6是方程的根，代入求出k值后得到方程的另一个根，再验证三边是否满足三角形三边关系，计算周长；②6为底边长，即方程的两个根相等（b=c），此时Δ=0求出k值，得到两根后验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，最终得到符合要求的周长。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (3k + 1)x + 2k^2 + 2k = 0$中，
根的判别式$\Delta = [-(3k+1)]^2 - 4×1×(2k^2+2k)$
$=9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 - 8k$
$=k^2 - 2k + 1$
$=(k-1)^2$
∵ 无论k取何值，$(k-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论k取何值，方程总有实数根。
(2)分两种情况讨论：
① 若$a=6$为腰长，则$x=6$是方程的一个根，将$x=6$代入方程得：
$6^2 - 6(3k+1) + 2k^2 + 2k = 0$
整理得$k^2 - 8k + 15 = 0$，
因式分解得$(k-3)(k-5)=0$，解得$k_1=3$，$k_2=5$。
当$k=3$时，原方程为$x^2 -10x +24=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为6、6、4，满足三角形三边关系，周长为$6+6+4=16$；
当$k=5$时，原方程为$x^2 -16x +60=0$，解得$x_1=6$，$x_2=10$，
此时三角形三边长为6、6、10，满足三角形三边关系，周长为$6+6+10=22$。
② 若$a=6$为底边长，则$b=c$，即方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(k-1)^2=0$，解得$k=1$，
此时原方程为$x^2 -4x +4=0$，解得$x_1=x_2=2$，
∵ $2+2=4＜6$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去。
综上，此三角形的周长为16或22。
【答案】
(1)略；(2)16或22
【知识点】
根的判别式应用；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的典型综合题，解题时需结合等腰三角形的性质分类讨论，求出边长后要先验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
(1)要证明无论k取何值方程总有实数根，可通过计算一元二次方程的根的判别式Δ，证明Δ恒为非负数即可。(2)已知等腰三角形一边长为6，另两边是方程的根，需分两种情况讨论：①6为腰长，即x=6是方程的根，代入求出k值后得到方程的另一个根，再验证三边是否满足三角形三边关系，计算周长；②6为底边长，即方程的两个根相等（b=c），此时Δ=0求出k值，得到两根后验证三边是否满足三角形三边关系，舍去不符合的情况，最终得到符合要求的周长。
【解析】
(1)证明：在方程$x^2 - (3k + 1)x + 2k^2 + 2k = 0$中，
根的判别式$\Delta = [-(3k+1)]^2 - 4×1×(2k^2+2k)$
$=9k^2 + 6k + 1 - 8k^2 - 8k$
$=k^2 - 2k + 1$
$=(k-1)^2$
∵ 无论k取何值，$(k-1)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 无论k取何值，方程总有实数根。
(2)分两种情况讨论：
① 若$a=6$为腰长，则$x=6$是方程的一个根，将$x=6$代入方程得：
$6^2 - 6(3k+1) + 2k^2 + 2k = 0$
整理得$k^2 - 8k + 15 = 0$，
因式分解得$(k-3)(k-5)=0$，解得$k_1=3$，$k_2=5$。
当$k=3$时，原方程为$x^2 -10x +24=0$，解得$x_1=4$，$x_2=6$，
此时三角形三边长为6、6、4，满足三角形三边关系，周长为$6+6+4=16$；
当$k=5$时，原方程为$x^2 -16x +60=0$，解得$x_1=6$，$x_2=10$，
此时三角形三边长为6、6、10，满足三角形三边关系，周长为$6+6+10=22$。
② 若$a=6$为底边长，则$b=c$，即方程有两个相等的实数根，
∴ $\Delta=(k-1)^2=0$，解得$k=1$，
此时原方程为$x^2 -4x +4=0$，解得$x_1=x_2=2$，
∵ $2+2=4＜6$，不满足三角形三边关系，故该情况舍去。
综上，此三角形的周长为16或22。
【答案】
(1)略；(2)16或22
【知识点】
根的判别式应用；等腰三角形性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的典型综合题，解题时需结合等腰三角形的性质分类讨论，求出边长后要先验证是否满足三角形三边关系，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
