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4. 新趋势·回归教材（第188页复习题11题变式）如图,直角三角尺ABP的直角顶点P在直线CD上,点A,B在直线CD的同侧.
(1)如图1,若$∠ APC=40°$,求$∠ BPD$的度数；
(2)如图2,若PM平分$∠ APC$,PN平分$∠ BPD$,求$∠ MPN$的度数.
(1)如图1,若$∠ APC=40°$,求$∠ BPD$的度数；
(2)如图2,若PM平分$∠ APC$,PN平分$∠ BPD$,求$∠ MPN$的度数.
答案
4. 解:(1)由题意得∠APB=90°,
则∠BPD = 180°-∠APC -∠APB = 180°-40°-90°=50°.
(2)因为 PM 平分∠APC,PN 平分∠BPD,
所以∠APM=$\frac{1}{2}$∠APC,∠BPN=$\frac{1}{2}$∠BPD.
因为∠APC+∠BPD=180°-∠APB=180°-90°=90°,
所以 ∠APM + ∠BPN = $\frac{1}{2}$∠APC + $\frac{1}{2}$∠BPD = $\frac{1}{2}$(∠APC+∠BPD) = $\frac{1}{2}$×90°=45°.
所以∠MPN = ∠APM + ∠BPN + ∠APB = 45°+90°=135°.
则∠BPD = 180°-∠APC -∠APB = 180°-40°-90°=50°.
(2)因为 PM 平分∠APC,PN 平分∠BPD,
所以∠APM=$\frac{1}{2}$∠APC,∠BPN=$\frac{1}{2}$∠BPD.
因为∠APC+∠BPD=180°-∠APB=180°-90°=90°,
所以 ∠APM + ∠BPN = $\frac{1}{2}$∠APC + $\frac{1}{2}$∠BPD = $\frac{1}{2}$(∠APC+∠BPD) = $\frac{1}{2}$×90°=45°.
所以∠MPN = ∠APM + ∠BPN + ∠APB = 45°+90°=135°.
解析
【分析】
(1) 首先明确题中隐含条件：直角三角尺的直角$∠ APB=90°$，直线CD上的$∠ CPD$是平角，度数为$180°$。观察图1可知$∠ APC$、$∠ APB$、$∠ BPD$三个角组成平角$∠ CPD$，三个角的和为$180°$，已知$∠ APC$和$∠ APB$的度数，用平角度数减去这两个角的度数即可求出$∠ BPD$。
(2) 第二问先回忆角平分线的性质：角平分线将一个角分为两个相等的角。首先沿用第一问的思路，先求出$∠ APC$与$∠ BPD$的和为$180°-∠ APB$；再根据角平分线的性质，可得$∠ APM$与$∠ BPN$的和是$∠ APC$、$∠ BPD$之和的一半；最后观察图2可知$∠ MPN$由$∠ APM$、$∠ APB$、$∠ BPN$三部分组成，将三部分角度相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得直角三角尺的直角$∠ APB=90°$，
$\because$ 点C、P、D在同一直线上，$∠ CPD$为平角，即$∠ CPD=180°$，
$\therefore ∠ BPD = 180°-∠ APC - ∠ APB = 180°-40°-90°=50°$。
(2) $\because$ PM平分$∠ APC$，PN平分$∠ BPD$，
$\therefore ∠ APM=\frac{1}{2}∠ APC$，$∠ BPN=\frac{1}{2}∠ BPD$，
$\because ∠ APC+∠ BPD=180°-∠ APB=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ APM+∠ BPN=\frac{1}{2}(∠ APC+∠ BPD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ MPN=∠ APM+∠ BPN+∠ APB=45°+90°=135°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{135°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题结合直角三角板的特性考查角度的相关计算，属于基础常考题型，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合平角、直角的固定度数以及角平分线的性质推导角度之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确题中隐含条件：直角三角尺的直角$∠ APB=90°$，直线CD上的$∠ CPD$是平角，度数为$180°$。观察图1可知$∠ APC$、$∠ APB$、$∠ BPD$三个角组成平角$∠ CPD$，三个角的和为$180°$，已知$∠ APC$和$∠ APB$的度数，用平角度数减去这两个角的度数即可求出$∠ BPD$。
(2) 第二问先回忆角平分线的性质：角平分线将一个角分为两个相等的角。首先沿用第一问的思路，先求出$∠ APC$与$∠ BPD$的和为$180°-∠ APB$；再根据角平分线的性质，可得$∠ APM$与$∠ BPN$的和是$∠ APC$、$∠ BPD$之和的一半；最后观察图2可知$∠ MPN$由$∠ APM$、$∠ APB$、$∠ BPN$三部分组成，将三部分角度相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得直角三角尺的直角$∠ APB=90°$，
$\because$ 点C、P、D在同一直线上，$∠ CPD$为平角，即$∠ CPD=180°$，
$\therefore ∠ BPD = 180°-∠ APC - ∠ APB = 180°-40°-90°=50°$。
(2) $\because$ PM平分$∠ APC$，PN平分$∠ BPD$，
$\therefore ∠ APM=\frac{1}{2}∠ APC$，$∠ BPN=\frac{1}{2}∠ BPD$，
$\because ∠ APC+∠ BPD=180°-∠ APB=180°-90°=90°$，
$\therefore ∠ APM+∠ BPN=\frac{1}{2}(∠ APC+∠ BPD)=\frac{1}{2}×90°=45°$，
$\therefore ∠ MPN=∠ APM+∠ BPN+∠ APB=45°+90°=135°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{135°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题结合直角三角板的特性考查角度的相关计算，属于基础常考题型，解题的关键是准确识别图中各角的位置关系，结合平角、直角的固定度数以及角平分线的性质推导角度之间的数量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
5. 新情境·知识科普 由长江干流葛洲坝、三峡、向家坝、溪洛渡、白鹤滩和乌东德六座梯级水电站构成的世界最大清洁能源走廊的总装机容量达7 169.5万千瓦.“7 169.5万”可以用科学记数法表示为 (
A.$716.95×10^{6}$
B.$7.1695×10^{8}$
C.$71.695×10^{7}$
D.$7.1695×10^{7}$
D
)A.$716.95×10^{6}$
B.$7.1695×10^{8}$
C.$71.695×10^{7}$
D.$7.1695×10^{7}$
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题时第一步先把“7169.5万”转换为统一计数单位的形式，再按照科学记数法的规则变形，最后对比选项选出符合要求的结果即可。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 先换算计数单位：$1万 = 10^4$，因此$7169.5万 = 7169.5 × 10^4$。
2. 把$7169.5$调整为符合$1 ≤ a ＜ 10$的形式：$7169.5 = 7.1695 × 10^3$。
3. 合并同底数幂的指数：$7169.5万 = 7.1695 × 10^3 × 10^4 = 7.1695 × 10^7$。
对比选项，只有D选项符合科学记数法的规范要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 科学记数法
2. 计数单位换算
【点评】
本题结合清洁能源热点情境考查科学记数法的应用，解题核心是掌握科学记数法的形式要求，同时注意“万”这类特殊计数单位的换算，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式是$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。解题时第一步先把“7169.5万”转换为统一计数单位的形式，再按照科学记数法的规则变形，最后对比选项选出符合要求的结果即可。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
1. 先换算计数单位：$1万 = 10^4$，因此$7169.5万 = 7169.5 × 10^4$。
2. 把$7169.5$调整为符合$1 ≤ a ＜ 10$的形式：$7169.5 = 7.1695 × 10^3$。
3. 合并同底数幂的指数：$7169.5万 = 7.1695 × 10^3 × 10^4 = 7.1695 × 10^7$。
对比选项，只有D选项符合科学记数法的规范要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 科学记数法
2. 计数单位换算
【点评】
本题结合清洁能源热点情境考查科学记数法的应用，解题核心是掌握科学记数法的形式要求，同时注意“万”这类特殊计数单位的换算，避免指数计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 新情境·生活场景 某市为倡导全民节水，居民生活用水按户收费，并采用阶梯计价的收费方式，收费标准(户内人口不超过4人)如表所示.
注:①公摊水费:每户每月10元;②每月实际应缴水费=阶梯水费+公摊水费;③月用水量是正整数.
(1)已知小明家某月用水18 m³,小明家该月实际应缴水费是多少元?
(2)已知某户居民某月的实际应缴水费为187.5元,这户居民该月的用水量是多少立方米?
(3)若某户居民某月的实际应缴水费平均每立方米6.5元,求这户居民该月的用水量.
注:①公摊水费:每户每月10元;②每月实际应缴水费=阶梯水费+公摊水费;③月用水量是正整数.
(1)已知小明家某月用水18 m³,小明家该月实际应缴水费是多少元?
(2)已知某户居民某月的实际应缴水费为187.5元,这户居民该月的用水量是多少立方米?
(3)若某户居民某月的实际应缴水费平均每立方米6.5元,求这户居民该月的用水量.
答案
6. 解:(1)15×4.5+(18-15)×6+10=95.5(元).
答:小明家该月实际应缴水费是95.5元.
(2)设这户居民该月的用水量是 x m³.
因为 15×4.5+(20-15)×6+10=107.5(元),107.5＜187.5,
所以 x＞20.
由题意得 15×4.5+(20-15)×6+8(x-20)+10=187.5.
解得 x=30.
答:这户居民该月的用水量是 30 m³.
(3)设这户居民该月的用水量是 y m³.
当 0＜y≤15 时,
由题意得 4.5y+10=6.5y.
解得 y=5.
当 15＜y≤20 时,
由题意得 15×4.5+6(y-15)+10=6.5y.
解得 y=-25(不合题意,舍去).
当 y＞20 时,
由题意得 15×4.5+(20-15)×6+8(y-20)+10=6.5y.
解得 y=35.
答:这户居民该月的用水量是 5 m³ 或 35 m³.
答:小明家该月实际应缴水费是95.5元.
(2)设这户居民该月的用水量是 x m³.
因为 15×4.5+(20-15)×6+10=107.5(元),107.5＜187.5,
所以 x＞20.
由题意得 15×4.5+(20-15)×6+8(x-20)+10=187.5.
解得 x=30.
答:这户居民该月的用水量是 30 m³.
(3)设这户居民该月的用水量是 y m³.
当 0＜y≤15 时,
由题意得 4.5y+10=6.5y.
解得 y=5.
当 15＜y≤20 时,
由题意得 15×4.5+6(y-15)+10=6.5y.
解得 y=-25(不合题意,舍去).
当 y＞20 时,
由题意得 15×4.5+(20-15)×6+8(y-20)+10=6.5y.
解得 y=35.
答:这户居民该月的用水量是 5 m³ 或 35 m³.
解析
【分析】
这是一道分段阶梯计费的实际应用题，解题核心是明确不同用水量区间对应的收费标准，牢记实际应缴水费=阶梯水费+固定10元公摊水费。(1)问已知用水量为18m³，先判断其处于第二阶梯，因此分段计算15m³以内的第一阶梯水费、超出15m³部分的第二阶梯水费，再加公摊水费即可得到总费用；(2)问已知总水费求用水量，先计算用水量达到20m³时的总水费，对比已知的187.5元，判断用水量超过20m³，属于第三阶梯，据此列一元一次方程求解即可；(3)问已知平均水价求用水量，由于平均水价在不同阶梯区间的计算方式不同，因此需要分0＜y≤15、15＜y≤20、y＞20三种情况分别列方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 小明家用水18m³，其中15m³按第一阶梯4.5元/m³收费，超出15m³的3m³按第二阶梯6元/m³收费，加10元公摊水费：
总费用 = $15×4.5 + (18-15)×6 + 10 = 67.5 + 18 + 10 = 95.5$（元）
(2) 设该户居民该月的用水量是$x\ \mathrm{m}^3$。
先计算用水量为20m³时的总水费：$15×4.5 + (20-15)×6 +10 = 67.5 +30 +10 =107.5$（元）
∵$107.5 ＜ 187.5$，
∴$x＞20$，超出20m³的部分按第三阶梯8元/m³收费，列方程得：
$15×4.5 + (20-15)×6 + 8(x-20) +10 = 187.5$
化简得：$8x -52.5 =187.5$
解得$x=30$
(3) 设该户居民该月的用水量是$y\ \mathrm{m}^3$，分三种情况讨论：
① 当$0＜y≤15$时，所有用水量按第一阶梯收费，列方程：
$4.5y +10 =6.5y$
解得$y=5$，符合区间要求；
② 当$15＜y≤20$时，15m³按第一阶梯收费，超出15m³的$(y-15)\mathrm{m}^3$按第二阶梯收费，列方程：
$15×4.5 +6(y-15)+10 =6.5y$
解得$y=-25$，用水量不能为负数，不符合题意，舍去；
③ 当$y＞20$时，15m³按第一阶梯、16~20m³共5m³按第二阶梯、超出20的$(y-20)\mathrm{m}^3$按第三阶梯收费，列方程：
$15×4.5 + (20-15)×6 +8(y-20)+10 =6.5y$
解得$y=35$，符合区间要求。
【答案】
(1) 小明家该月实际应缴水费是95.5元；
(2) 这户居民该月的用水量是30$\mathrm{m}^3$；
(3) 这户居民该月的用水量是5$\mathrm{m}^3$或35$\mathrm{m}^3$。
【知识点】
阶梯计费问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中居民阶梯水费的实际场景，考查分段计费的计算和一元一次方程的实际应用，解题关键是明确不同用水量对应的收费标准，在未知用水量所属区间时要分类讨论，注意检验解是否符合实际意义，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道分段阶梯计费的实际应用题，解题核心是明确不同用水量区间对应的收费标准，牢记实际应缴水费=阶梯水费+固定10元公摊水费。(1)问已知用水量为18m³，先判断其处于第二阶梯，因此分段计算15m³以内的第一阶梯水费、超出15m³部分的第二阶梯水费，再加公摊水费即可得到总费用；(2)问已知总水费求用水量，先计算用水量达到20m³时的总水费，对比已知的187.5元，判断用水量超过20m³，属于第三阶梯，据此列一元一次方程求解即可；(3)问已知平均水价求用水量，由于平均水价在不同阶梯区间的计算方式不同，因此需要分0＜y≤15、15＜y≤20、y＞20三种情况分别列方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不合题意的解。
【解析】
(1) 小明家用水18m³，其中15m³按第一阶梯4.5元/m³收费，超出15m³的3m³按第二阶梯6元/m³收费，加10元公摊水费：
总费用 = $15×4.5 + (18-15)×6 + 10 = 67.5 + 18 + 10 = 95.5$（元）
(2) 设该户居民该月的用水量是$x\ \mathrm{m}^3$。
先计算用水量为20m³时的总水费：$15×4.5 + (20-15)×6 +10 = 67.5 +30 +10 =107.5$（元）
∵$107.5 ＜ 187.5$，
∴$x＞20$，超出20m³的部分按第三阶梯8元/m³收费，列方程得：
$15×4.5 + (20-15)×6 + 8(x-20) +10 = 187.5$
化简得：$8x -52.5 =187.5$
解得$x=30$
(3) 设该户居民该月的用水量是$y\ \mathrm{m}^3$，分三种情况讨论：
① 当$0＜y≤15$时，所有用水量按第一阶梯收费，列方程：
$4.5y +10 =6.5y$
解得$y=5$，符合区间要求；
② 当$15＜y≤20$时，15m³按第一阶梯收费，超出15m³的$(y-15)\mathrm{m}^3$按第二阶梯收费，列方程：
$15×4.5 +6(y-15)+10 =6.5y$
解得$y=-25$，用水量不能为负数，不符合题意，舍去；
③ 当$y＞20$时，15m³按第一阶梯、16~20m³共5m³按第二阶梯、超出20的$(y-20)\mathrm{m}^3$按第三阶梯收费，列方程：
$15×4.5 + (20-15)×6 +8(y-20)+10 =6.5y$
解得$y=35$，符合区间要求。
【答案】
(1) 小明家该月实际应缴水费是95.5元；
(2) 这户居民该月的用水量是30$\mathrm{m}^3$；
(3) 这户居民该月的用水量是5$\mathrm{m}^3$或35$\mathrm{m}^3$。
【知识点】
阶梯计费问题，一元一次方程的应用，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中居民阶梯水费的实际场景，考查分段计费的计算和一元一次方程的实际应用，解题关键是明确不同用水量对应的收费标准，在未知用水量所属区间时要分类讨论，注意检验解是否符合实际意义，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
