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7. 新趋势·材料阅读【阅读理解】
如图,一个降次小魔方可以将二次多项式降次为一次多项式.规则如下:将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘的积作为一次多项式N的一次项系数,将二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项,将二次多项式M的常数项变为0.例如,二次多项式$3x^2+4x+1$经过降次小魔方后,得到一次多项式$6x+4$.
【理解应用】
(1)多项式$6x^2-2x+5$经过降次小魔方后,得到的多项式为
(2)若将多项式$4x^2+3(x-6)$记为A,将多项式$4x^2+3(x-6)$经过降次小魔方后得到的多项式记为B,且$A-mB$的结果中不含一次项,求$m$的值.
【拓展应用】
(3)若将多项式$(a-2)x^2-(4+b)x+1$($a,b$为有理数)经过降次小魔方后得到的多项式记为Q,且方程$Q=3x+5b$有无数个解,分别求$a,b$的值.
如图,一个降次小魔方可以将二次多项式降次为一次多项式.规则如下:将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘的积作为一次多项式N的一次项系数,将二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项,将二次多项式M的常数项变为0.例如,二次多项式$3x^2+4x+1$经过降次小魔方后,得到一次多项式$6x+4$.
【理解应用】
(1)多项式$6x^2-2x+5$经过降次小魔方后,得到的多项式为
12x-2
.(2)若将多项式$4x^2+3(x-6)$记为A,将多项式$4x^2+3(x-6)$经过降次小魔方后得到的多项式记为B,且$A-mB$的结果中不含一次项,求$m$的值.
【拓展应用】
(3)若将多项式$(a-2)x^2-(4+b)x+1$($a,b$为有理数)经过降次小魔方后得到的多项式记为Q,且方程$Q=3x+5b$有无数个解,分别求$a,b$的值.
答案
7. 解:(1)12x-2
(2)由题意得 B 为 8x+3,
所以 A-mB=4x²+3(x-6)-m(8x+3)=4x²+(3-8m)x-(18+3m).
因为 A-mB 的结果中不含一次项,
所以 3-8m=0. 所以 $m=\frac{3}{8}$.
(3)由题意得 Q 为 2(a-2)x-(4+b).
因为 Q=3x+5b,
所以 2(a-2)x-(4+b)=3x+5b.
整理,得 (2a-7)x=6b+4.
因为方程 Q=3x+5b 有无数个解,
所以方程(2a-7)x=6b+4 有无数个解.
所以 2a-7=0 且 6b+4=0. 所以 $a=\frac{7}{2},b=-\frac{2}{3}$.
(2)由题意得 B 为 8x+3,
所以 A-mB=4x²+3(x-6)-m(8x+3)=4x²+(3-8m)x-(18+3m).
因为 A-mB 的结果中不含一次项,
所以 3-8m=0. 所以 $m=\frac{3}{8}$.
(3)由题意得 Q 为 2(a-2)x-(4+b).
因为 Q=3x+5b,
所以 2(a-2)x-(4+b)=3x+5b.
整理,得 (2a-7)x=6b+4.
因为方程 Q=3x+5b 有无数个解,
所以方程(2a-7)x=6b+4 有无数个解.
所以 2a-7=0 且 6b+4=0. 所以 $a=\frac{7}{2},b=-\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
解题前首先明确降次小魔方的运算规则：对二次多项式，一次项系数为原二次项系数乘2（二次项指数为2），常数项为原一次项系数，原常数项直接舍去。
(1) 直接套用降次规则计算即可；
(2) 先化简多项式A，再按规则得到B，将A、B代入$A-mB$合并同类项，“不含一次项”即一次项系数为0，据此列方程求m；
(3) 先按规则得到Q，代入$Q=3x+5b$整理为标准一元一次方程形式，一元一次方程有无数个解的条件是x的系数为0，且等号右侧常数项也为0，据此列方程组求解a、b即可。
【解析】
(1) 多项式$6x^2-2x+5$的二次项系数为6，一次项系数为-2，按规则得一次项系数为$6×2=12$，常数项为-2，因此得到的多项式为$12x-2$。
(2) 先化简A：$A=4x^2+3(x-6)=4x^2+3x-18$，
按降次规则，B的一次项系数为$4×2=8$，常数项为3，即$B=8x+3$，
代入得：$A-mB=4x^2+3x-18-m(8x+3)=4x^2+(3-8m)x-(18+3m)$，
因为结果不含一次项，所以$3-8m=0$，解得$m=\frac{3}{8}$。
(3) 按降次规则，多项式$(a-2)x^2-(4+b)x+1$降次后，Q的一次项系数为$2(a-2)$，常数项为$-(4+b)$，即$Q=2(a-2)x-(4+b)$，
代入$Q=3x+5b$得：$2(a-2)x-(4+b)=3x+5b$，
移项合并同类项得：$(2a-7)x=6b+4$，
因为方程有无数个解，所以$\begin{cases}2a-7=0\\6b+4=0\end{cases}$，
解得$a=\frac{7}{2}$，$b=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{12x-2}$；(2) $\boxed{m=\frac{3}{8}}$；(3) $\boxed{a=\frac{7}{2},b=-\frac{2}{3}}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，含参一元一次方程解的判定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解给定的降次运算规则，结合整式加减、一元一次方程解的性质逐步推导，侧重考查阅读理解能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
解题前首先明确降次小魔方的运算规则：对二次多项式，一次项系数为原二次项系数乘2（二次项指数为2），常数项为原一次项系数，原常数项直接舍去。
(1) 直接套用降次规则计算即可；
(2) 先化简多项式A，再按规则得到B，将A、B代入$A-mB$合并同类项，“不含一次项”即一次项系数为0，据此列方程求m；
(3) 先按规则得到Q，代入$Q=3x+5b$整理为标准一元一次方程形式，一元一次方程有无数个解的条件是x的系数为0，且等号右侧常数项也为0，据此列方程组求解a、b即可。
【解析】
(1) 多项式$6x^2-2x+5$的二次项系数为6，一次项系数为-2，按规则得一次项系数为$6×2=12$，常数项为-2，因此得到的多项式为$12x-2$。
(2) 先化简A：$A=4x^2+3(x-6)=4x^2+3x-18$，
按降次规则，B的一次项系数为$4×2=8$，常数项为3，即$B=8x+3$，
代入得：$A-mB=4x^2+3x-18-m(8x+3)=4x^2+(3-8m)x-(18+3m)$，
因为结果不含一次项，所以$3-8m=0$，解得$m=\frac{3}{8}$。
(3) 按降次规则，多项式$(a-2)x^2-(4+b)x+1$降次后，Q的一次项系数为$2(a-2)$，常数项为$-(4+b)$，即$Q=2(a-2)x-(4+b)$，
代入$Q=3x+5b$得：$2(a-2)x-(4+b)=3x+5b$，
移项合并同类项得：$(2a-7)x=6b+4$，
因为方程有无数个解，所以$\begin{cases}2a-7=0\\6b+4=0\end{cases}$，
解得$a=\frac{7}{2}$，$b=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{12x-2}$；(2) $\boxed{m=\frac{3}{8}}$；(3) $\boxed{a=\frac{7}{2},b=-\frac{2}{3}}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，含参一元一次方程解的判定
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解给定的降次运算规则，结合整式加减、一元一次方程解的性质逐步推导，侧重考查阅读理解能力和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.6
8. 新趋势·跨生物学学科 生物学中,描述、解释和预测种群数量的变化,常常需要建立数学模型.在营养和生存空间都没有限制的情况下,某种单细胞生物可通过细胞分裂来繁殖后代,我们用数学模型$2^n$来表示,$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32······$,则$2^{2026}$的个位上的数字是 (
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
8. C
解析
【分析】
要确定$2^{2026}$的个位数字，直接计算这个极大的数显然不现实，因此我们可以先从较小的指数入手，观察2的正整数次幂的个位数字的变化规律，找到其循环周期后，再用指数2026除以周期，根据余数就能对应找到$2^{2026}$的个位数字。
【解析】
先计算2的前几次幂的个位数字，总结规律：
$2^1=2$，个位数字为2；
$2^2=4$，个位数字为4；
$2^3=8$，个位数字为8；
$2^4=16$，个位数字为6；
$2^5=32$，个位数字回到2；
$2^6=64$，个位数字回到4；
……
可得出规律：2的正整数次幂的个位数字按2、4、8、6的顺序，每4个为一个周期循环。
接下来计算2026除以周期4的余数：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$2^{2026}$的个位数字与周期中第2个数字相同，即为4。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期问题
【点评】
本题结合生物学种群繁殖的场景考查乘方相关的规律探究问题，解题核心是归纳出2的乘方个位数字的循环规律，再结合余数判断结果，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定$2^{2026}$的个位数字，直接计算这个极大的数显然不现实，因此我们可以先从较小的指数入手，观察2的正整数次幂的个位数字的变化规律，找到其循环周期后，再用指数2026除以周期，根据余数就能对应找到$2^{2026}$的个位数字。
【解析】
先计算2的前几次幂的个位数字，总结规律：
$2^1=2$，个位数字为2；
$2^2=4$，个位数字为4；
$2^3=8$，个位数字为8；
$2^4=16$，个位数字为6；
$2^5=32$，个位数字回到2；
$2^6=64$，个位数字回到4；
……
可得出规律：2的正整数次幂的个位数字按2、4、8、6的顺序，每4个为一个周期循环。
接下来计算2026除以周期4的余数：$2026÷4=506······2$，余数为2，说明$2^{2026}$的个位数字与周期中第2个数字相同，即为4。
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方，规律探究，周期问题
【点评】
本题结合生物学种群繁殖的场景考查乘方相关的规律探究问题，解题核心是归纳出2的乘方个位数字的循环规律，再结合余数判断结果，能很好地锻炼学生的归纳推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 新趋势·跨物理学科 物理课上,某同学用自制圆柱形密度计测量液体的密度,当该密度计漂浮在不同的液体中时,其浸在液体中的高度$h$(单位:cm)与液体的密度$\rho$(单位:g/cm³)成反比例关系.当该密度计漂浮在密度为1 g/cm³的水中时,$h=20$ cm,当该密度计漂浮在另一种液体中时,$h=25$ cm,则该液体的密度$\rho$为 (
A.$0.8$ g/cm³
B.$1$ g/cm³
C.$1.2$ g/cm³
D.$2.5$ g/cm³
A
)A.$0.8$ g/cm³
B.$1$ g/cm³
C.$1.2$ g/cm³
D.$2.5$ g/cm³
答案
9. A
解析
【分析】
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据题目给出的“浸在液体中的高度h与液体的密度ρ成反比例关系”，明确两个量的乘积为定值，先设出反比例关系式；第二步，将已知的ρ=1g/cm³、h=20cm代入关系式，求出定值k；第三步，将h=25cm代入求出的关系式，计算得到对应的液体密度ρ即可。
【解析】
已知h与ρ成反比例关系，因此可设两者的关系式为$\rho h = k$（k为常数，$k≠0$）。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入关系式，得：
$k = 1×20 = 20$
因此h与ρ的关系式为$\rho h = 20$，即$\rho=\frac{20}{h}$。
当$h=25\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$\rho=\frac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例关系的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理密度计的测量场景考查反比例关系的实际应用，体现了跨学科命题的趋势，解题的核心是抓住反比例关系中两个变量的乘积为定值，代入已知数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例关系在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，根据题目给出的“浸在液体中的高度h与液体的密度ρ成反比例关系”，明确两个量的乘积为定值，先设出反比例关系式；第二步，将已知的ρ=1g/cm³、h=20cm代入关系式，求出定值k；第三步，将h=25cm代入求出的关系式，计算得到对应的液体密度ρ即可。
【解析】
已知h与ρ成反比例关系，因此可设两者的关系式为$\rho h = k$（k为常数，$k≠0$）。
将$\rho=1\ \mathrm{g/cm}^3$，$h=20\ \mathrm{cm}$代入关系式，得：
$k = 1×20 = 20$
因此h与ρ的关系式为$\rho h = 20$，即$\rho=\frac{20}{h}$。
当$h=25\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$\rho=\frac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm}^3$
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例关系的应用
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题结合物理密度计的测量场景考查反比例关系的实际应用，体现了跨学科命题的趋势，解题的核心是抓住反比例关系中两个变量的乘积为定值，代入已知数值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
10. 新趋势·跨语文学科 在古诗中，绝句由四句组成，其中五言绝句每句都是五个字，七言绝句每句都是七个字. 现有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多12首，但五言绝句的诗句总字数反而比七言绝句的诗句总字数少了240. 这本诗集中的五言绝句和七言绝句各有多少首？
答案
10. 解:设这本诗集中的七言绝句有 x 首,则五言绝句有(x+12)首.
由题意得 4×7×x-5×4×(x+12)=240.
解得 x=60.
进而 x+12=72.
答:这本诗集中的七言绝句有 60 首,五言绝句有72首.
由题意得 4×7×x-5×4×(x+12)=240.
解得 x=60.
进而 x+12=72.
答:这本诗集中的七言绝句有 60 首,五言绝句有72首.
解析
【分析】
解题第一步先梳理题目已知条件和隐含信息：隐含信息是每首绝句都为4句，因此单首七言绝句总字数为4×7=28字，单首五言绝句总字数为4×5=20字；已知条件为①五言绝句数量比七言多12首，②五言总字数比七言总字数少240字。
接下来按照列方程解应用题的步骤思考：首先设未知数，可设数量较少的七言绝句有x首，那么五言绝句数量就是(x+12)首；再根据总字数的差值等量关系列方程，最后解方程求出x的值，再计算五言绝句的数量即可。
【解析】
解：设这本诗集中的七言绝句有x首，则五言绝句有(x+12)首。
根据“五言绝句的诗句总字数比七言绝句的诗句总字数少240”列方程：
$4×7× x - 5×4×(x+12)=240$
化简得：$28x - 20x - 240 = 240$
合并同类项得：$8x=480$
解得：$x=60$
则五言绝句的数量为：$x+12=60+12=72$（首）
答：这本诗集中的七言绝句有60首，五言绝句有72首。
【答案】
七言绝句有60首，五言绝句有72首
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量关系建立
【点评】
本题结合传统文化中的古诗体裁知识考察方程应用，解题的关键是抓住“每首绝句共4句”的隐含条件，准确梳理两类诗的数量关系和总字数关系列方程求解，既考察数学应用能力，也拓展了文化常识。
【难度系数】
0.7
解题第一步先梳理题目已知条件和隐含信息：隐含信息是每首绝句都为4句，因此单首七言绝句总字数为4×7=28字，单首五言绝句总字数为4×5=20字；已知条件为①五言绝句数量比七言多12首，②五言总字数比七言总字数少240字。
接下来按照列方程解应用题的步骤思考：首先设未知数，可设数量较少的七言绝句有x首，那么五言绝句数量就是(x+12)首；再根据总字数的差值等量关系列方程，最后解方程求出x的值，再计算五言绝句的数量即可。
【解析】
解：设这本诗集中的七言绝句有x首，则五言绝句有(x+12)首。
根据“五言绝句的诗句总字数比七言绝句的诗句总字数少240”列方程：
$4×7× x - 5×4×(x+12)=240$
化简得：$28x - 20x - 240 = 240$
合并同类项得：$8x=480$
解得：$x=60$
则五言绝句的数量为：$x+12=60+12=72$（首）
答：这本诗集中的七言绝句有60首，五言绝句有72首。
【答案】
七言绝句有60首，五言绝句有72首
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 实际问题等量关系建立
【点评】
本题结合传统文化中的古诗体裁知识考察方程应用，解题的关键是抓住“每首绝句共4句”的隐含条件，准确梳理两类诗的数量关系和总字数关系列方程求解，既考察数学应用能力，也拓展了文化常识。
【难度系数】
0.7
