12. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,点$D$、$E$在$BC$上,且$AB=BD=EC=DE$,求证:
(1) $△ ADE ∽ △ CDA$;
(2) $∠ C + ∠ AEB = 45°$.

(1)
∵∠B=90°, AB=BD,
∴AD=$\sqrt{2}$AB.
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 又
∵∠ADE=∠CDA,
∴△ADE ∽ △CDA
(2)
∵△ADE ∽ △CDA,
∴∠C=∠EAD.
∵∠EAD + ∠AEB=45°,
∴∠C + ∠AEB=45°

13. 如图，点B、D、E在同一条直线上，BE与AC相交于点F，$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$。
（1）求证：$∠ BAD=∠ CAE$；
（2）若$∠ BAD=21°$，求$∠ EBC$的度数；
（3）连结EC，若$AB=AC$，$BD=5$，求EC的长。

（1）
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABC ∽ △ADE.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAF = ∠DAE - ∠DAF, 即∠BAD = ∠CAE
（2）
∵△ABC ∽ △ADE,
∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC, ∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°
（3）如图,连结CE.由(1)知,∠BAD=∠CAE. 又
∵$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,
∴△ABD ∽ △ACE.
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}$.
∵AB=AC, BD=5,
∴CE=BD=5

14. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC的中点，点P在射线AD上，过点P作$PF⊥AE$于点F，垂足为F，连结PE.
（1）求证：$△ PFA ∽ △ ABE$；
（2）当PA为何值时，能使$△ PEF$与$△ ABE$相似.

14. （1）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD // BC，∠B=90°.
∴∠DAE=∠AEB.
∵PF ⊥ AE,
∴∠PFA=90°.
∴∠B=∠PFA.
∴△PFA ∽ △ABE
（2）当△PFE ∽ △ABE时,如图①所示.
∴∠PEF=∠AEB, $\frac{EF}{EB}=\frac{PF}{AB}$. 由题意,得AB=4, BE=$\frac{1}{2}$BC=2.
∴$\frac{EF}{2}=\frac{PF}{4}$.
∴PF=2EF.
∵$AE^2=AB^2+BE^2$,
∴AE=$\sqrt{AB^2+BE^2}=2\sqrt{5}$.
∵∠DAE=∠AEB.
∴∠PAE=∠PEA.
∴PA=PE.
∴△PAE是等腰三角形.
∵PF ⊥ AE,
∴由三线合一,得AF=EF=$\frac{1}{2}$AE=$\sqrt{5}$.
∴PF=2EF=$2\sqrt{5}$.
∴PA=$\sqrt{AF^2+PF^2}=\sqrt{5+20}=5$. 当△EFP ∽ △ABE时,如图②所示.
∴∠PEF=∠EAB.
∴AB // PE.
∴∠PEB=180°−∠B=90°.
∴四边形ABEP是矩形.
∴PA=BE=2. 综上,当PA的值为5或2时,能使△PEF与△ABE相似