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4 从立体图形到平面图形(第2课时)
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
名称 立体图形 表面展开图 底面形状 侧面形状 侧面展开图的形状
正方体 ①
长方体 长方形 ②
五棱柱 五边形 长方形 ③
圆柱 ④
圆锥 圆 曲面 ⑤
课堂精要·梳理内容
常见几何体的表面展开图
名称 立体图形 表面展开图 底面形状 侧面形状 侧面展开图的形状
正方体 ①
正方形
正方形 长方形长方体 长方形 ②
长方形
长方形五棱柱 五边形 长方形 ③
长方形
圆柱 ④
圆
曲面 长方形圆锥 圆 曲面 ⑤
扇形
答案
1. 正方形
2. 长方形
3. 长方形
4. 圆
5. 扇形
2. 长方形
3. 长方形
4. 圆
5. 扇形
解析
【分析】
本题考查常见几何体的基本特征及表面展开图相关知识，解题时可逐个回忆对应几何体的结构：1. 正方体所有面都是正方形，底面自然是正方形；2. 长方体的面以长方形为主，侧面属于长方形范畴；3. n棱柱的侧面是n个长方形，侧面展开后拼接为长方形；4. 圆柱的上下两个底面是大小相等的圆；5. 圆锥侧面沿母线剪开后得到的展开图是扇形，按照这个思路逐一填空即可。
【解析】
①正方体的底面为正方形，故填正方形；
②长方体的侧面形状为长方形，故填长方形；
③五棱柱的侧面由5个长方形组成，侧面展开后整体为长方形，故填长方形；
④圆柱的上下底面都是圆，故填圆；
⑤圆锥的侧面展开图为扇形，故填扇形。
【答案】
①正方形；②长方形；③长方形；④圆；⑤扇形
【知识点】
几何体的基本特征、立体图形的展开图
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对常见立体图形结构和展开图形状的识记，是立体图形入门的核心基础内容，熟练掌握这类知识点可以为后续学习几何体表面积计算、三视图等内容做好铺垫。
【难度系数】
0.9
本题考查常见几何体的基本特征及表面展开图相关知识，解题时可逐个回忆对应几何体的结构：1. 正方体所有面都是正方形，底面自然是正方形；2. 长方体的面以长方形为主，侧面属于长方形范畴；3. n棱柱的侧面是n个长方形，侧面展开后拼接为长方形；4. 圆柱的上下两个底面是大小相等的圆；5. 圆锥侧面沿母线剪开后得到的展开图是扇形，按照这个思路逐一填空即可。
【解析】
①正方体的底面为正方形，故填正方形；
②长方体的侧面形状为长方形，故填长方形；
③五棱柱的侧面由5个长方形组成，侧面展开后整体为长方形，故填长方形；
④圆柱的上下底面都是圆，故填圆；
⑤圆锥的侧面展开图为扇形，故填扇形。
【答案】
①正方形；②长方形；③长方形；④圆；⑤扇形
【知识点】
几何体的基本特征、立体图形的展开图
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对常见立体图形结构和展开图形状的识记，是立体图形入门的核心基础内容，熟练掌握这类知识点可以为后续学习几何体表面积计算、三视图等内容做好铺垫。
【难度系数】
0.9
1.将圆柱的表面展开后得到的平面图形是（
B
）。答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆柱的结构特征：圆柱由2个大小相等的圆形底面和1个侧面组成，侧面沿高展开后是长方形，展开后两个圆形底面应分别在侧面展开得到的长方形的两条对边外侧，才能折叠围成圆柱。接下来逐一对比选项判断即可：先排除没有两个等大圆的选项，再验证剩余选项的结构是否符合要求。
【解析】
我们根据圆柱展开图的特征逐一分析选项：
1. 圆柱表面展开后，包含1个长方形（侧面展开得到）和2个大小完全相等的圆（两个底面）。
2. 选项A：只有1个圆和1个长方形，缺少1个底面，不符合要求，错误。
3. 选项B：由1个长方形和2个等大的圆组成，且圆分别位于长方形的一组对边旁，符合圆柱展开图的特征，正确。
4. 选项C：组成图形都是长方形，没有圆形，不符合圆柱展开图的特征，错误。
5. 选项D：由1个缺角的圆和1个小圆组成，没有长方形，属于圆锥类展开图的特征，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆柱的展开图；立体图形展开与折叠
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题核心是熟记各类常见几何体展开图的构成特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆柱的结构特征：圆柱由2个大小相等的圆形底面和1个侧面组成，侧面沿高展开后是长方形，展开后两个圆形底面应分别在侧面展开得到的长方形的两条对边外侧，才能折叠围成圆柱。接下来逐一对比选项判断即可：先排除没有两个等大圆的选项，再验证剩余选项的结构是否符合要求。
【解析】
我们根据圆柱展开图的特征逐一分析选项：
1. 圆柱表面展开后，包含1个长方形（侧面展开得到）和2个大小完全相等的圆（两个底面）。
2. 选项A：只有1个圆和1个长方形，缺少1个底面，不符合要求，错误。
3. 选项B：由1个长方形和2个等大的圆组成，且圆分别位于长方形的一组对边旁，符合圆柱展开图的特征，正确。
4. 选项C：组成图形都是长方形，没有圆形，不符合圆柱展开图的特征，错误。
5. 选项D：由1个缺角的圆和1个小圆组成，没有长方形，属于圆锥类展开图的特征，不符合要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
圆柱的展开图；立体图形展开与折叠
【点评】
本题考查常见立体图形展开图的识别，解题核心是熟记各类常见几何体展开图的构成特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.9
2.如图所示的平面图形，不可能围成圆锥的是(
D
)。答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个平面图形不能围成圆锥，首先需要明确圆锥展开图的基本特征：圆锥由曲面侧面和圆形底面组成，对应的平面展开图是1个扇形（侧面展开所得）+1个圆形（底面），且底面圆需要和扇形的弧边相适配，折叠后能贴合围成封闭的圆锥。我们可以先观察各选项的图形组成，判断是否符合上述特征即可得出结论。
【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，底面为圆形，因此围成圆锥的平面图形必须同时包含扇形和圆形，且底面圆可与扇形的弧边贴合：
选项A、B、C均由扇形和圆形组成，满足圆锥展开图的构成要求，正确折叠后可以围成圆锥；
选项D由三角形和圆形组成，三角形的边均为直线段，没有弧形边，无法围成圆锥的曲面侧面，因此不可能围成圆锥。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆锥的展开图
2. 立体图形与展开图的对应
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对圆锥展开图特征的掌握，牢记圆锥展开图由扇形和圆形两部分组成是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要判断哪个平面图形不能围成圆锥，首先需要明确圆锥展开图的基本特征：圆锥由曲面侧面和圆形底面组成，对应的平面展开图是1个扇形（侧面展开所得）+1个圆形（底面），且底面圆需要和扇形的弧边相适配，折叠后能贴合围成封闭的圆锥。我们可以先观察各选项的图形组成，判断是否符合上述特征即可得出结论。
【解析】
圆锥的侧面展开图为扇形，底面为圆形，因此围成圆锥的平面图形必须同时包含扇形和圆形，且底面圆可与扇形的弧边贴合：
选项A、B、C均由扇形和圆形组成，满足圆锥展开图的构成要求，正确折叠后可以围成圆锥；
选项D由三角形和圆形组成，三角形的边均为直线段，没有弧形边，无法围成圆锥的曲面侧面，因此不可能围成圆锥。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆锥的展开图
2. 立体图形与展开图的对应
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查对圆锥展开图特征的掌握，牢记圆锥展开图由扇形和圆形两部分组成是解题的核心。
【难度系数】
0.8
3.下列图形能通过折叠围成一个三棱柱的是（
C
）。答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个图形能折叠成三棱柱，首先要明确三棱柱展开图的基本特征：三棱柱有2个全等的三角形底面，3个矩形侧面，展开后2个三角形必须分别位于3个矩形组成的侧面的两侧，且折叠后所有面不会出现重叠、缺失的情况。解题时我们逐一对照这个特征判断每个选项即可。
【解析】
先明确三棱柱展开图的判断标准：包含2个全等的三角形、3个矩形，且两个三角形分别在矩形组的两侧，折叠后无面重叠。
选项A：三个矩形交于同一点，折叠时面会重叠，且三角形位置不符合要求，无法围成三棱柱，错误；
选项B：两个三角形都在矩形组的同一侧，折叠后两个三角形会重合，无法形成两个独立的底面，错误；
选项C：包含2个全等三角形和3个矩形，两个三角形分别在矩形组的两侧，折叠后各面无重叠，可成功围成三棱柱，正确；
选项D：存在两个矩形折叠后会重合，缺少侧面，无法围成三棱柱，错误。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图；展开图折叠成几何体
【点评】
本题是几何体展开图的基础判断题，解题核心是牢记三棱柱展开图的结构特点，尤其要注意两个底面三角形的位置，以及折叠后不能出现面重叠的情况。
【难度系数】
0.7
要判断哪个图形能折叠成三棱柱，首先要明确三棱柱展开图的基本特征：三棱柱有2个全等的三角形底面，3个矩形侧面，展开后2个三角形必须分别位于3个矩形组成的侧面的两侧，且折叠后所有面不会出现重叠、缺失的情况。解题时我们逐一对照这个特征判断每个选项即可。
【解析】
先明确三棱柱展开图的判断标准：包含2个全等的三角形、3个矩形，且两个三角形分别在矩形组的两侧，折叠后无面重叠。
选项A：三个矩形交于同一点，折叠时面会重叠，且三角形位置不符合要求，无法围成三棱柱，错误；
选项B：两个三角形都在矩形组的同一侧，折叠后两个三角形会重合，无法形成两个独立的底面，错误；
选项C：包含2个全等三角形和3个矩形，两个三角形分别在矩形组的两侧，折叠后各面无重叠，可成功围成三棱柱，正确；
选项D：存在两个矩形折叠后会重合，缺少侧面，无法围成三棱柱，错误。
【答案】
C
【知识点】
三棱柱展开图；展开图折叠成几何体
【点评】
本题是几何体展开图的基础判断题，解题核心是牢记三棱柱展开图的结构特点，尤其要注意两个底面三角形的位置，以及折叠后不能出现面重叠的情况。
【难度系数】
0.7
4.一个六棱柱的底面边长都是5 cm，侧棱长是4 cm，则它的侧面积是
120 cm²
。答案
4. 120 cm²
解析
【分析】
解题时先回忆棱柱的结构特征：六棱柱有6个形状、大小完全相同的长方形侧面，每个长方形的一组邻边分别对应棱柱的底面边长和侧棱长。我们可以先根据长方形面积公式算出单个侧面的面积，再乘侧面的总数量6，就能得到六棱柱的总侧面积。
【解析】
1. 明确六棱柱的侧面构成：六棱柱共有6个完全相同的长方形侧面，每个长方形的长为底面边长5cm，宽为侧棱长4cm。
2. 计算单个侧面的面积：根据长方形面积公式$S = 长×宽$，单个侧面面积为$5×4 = 20(\mathrm{cm}^2)$。
3. 计算总侧面积：总侧面积为单个侧面面积乘侧面数量，即$20×6 = 120(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
120 cm²
【知识点】
棱柱的特征、长方形面积计算、棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于立体图形侧面积计算的基础题型，解题核心是明确棱柱侧面的数量和形状，结合基础面积公式即可求解，解题时注意区分侧面积和表面积的概念，避免多算底面面积。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆棱柱的结构特征：六棱柱有6个形状、大小完全相同的长方形侧面，每个长方形的一组邻边分别对应棱柱的底面边长和侧棱长。我们可以先根据长方形面积公式算出单个侧面的面积，再乘侧面的总数量6，就能得到六棱柱的总侧面积。
【解析】
1. 明确六棱柱的侧面构成：六棱柱共有6个完全相同的长方形侧面，每个长方形的长为底面边长5cm，宽为侧棱长4cm。
2. 计算单个侧面的面积：根据长方形面积公式$S = 长×宽$，单个侧面面积为$5×4 = 20(\mathrm{cm}^2)$。
3. 计算总侧面积：总侧面积为单个侧面面积乘侧面数量，即$20×6 = 120(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
120 cm²
【知识点】
棱柱的特征、长方形面积计算、棱柱侧面积计算
【点评】
本题属于立体图形侧面积计算的基础题型，解题核心是明确棱柱侧面的数量和形状，结合基础面积公式即可求解，解题时注意区分侧面积和表面积的概念，避免多算底面面积。
【难度系数】
0.9
5.如图,长方形纸片上的阴影部分恰好能围成一个圆柱(阴影部分的四边形是正方形),设圆的半径为R。
(1)用含R的代数式表示圆柱的体积;
(2)当R=8 cm,π≈3.14时,求圆柱的体积(结果精确到0.1 cm³)。
(1)用含R的代数式表示圆柱的体积;
(2)当R=8 cm,π≈3.14时,求圆柱的体积(结果精确到0.1 cm³)。
答案
5. (1) 2π²R³
(2) 10 096.2 cm³
(2) 10 096.2 cm³
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高。第一步需要确定圆柱的底面半径和高：已知圆的半径为R，可得底面圆的周长为$2π R$，又因为阴影四边形是正方形，正方形的边长同时对应圆柱的高和底面圆的周长，因此圆柱的高等于底面圆的周长$2π R$。将底面积和高代入体积公式即可得到含R的体积表达式，第二问直接代入数值计算并按要求保留精度即可。
【解析】
(1) 由题意可知，圆柱的底面半径为R，侧面展开为正方形，因此圆柱的高等于底面圆的周长：
$h = 2π R$
圆柱的底面积为：
$S_{\mathrm{底}} = π R^2$
根据圆柱体积公式$V = S_{\mathrm{底}} · h$，代入得：
$V = π R^2 · 2π R = 2π^2 R^3$
(2) 当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入体积表达式：
$V = 2×(3.14)^2×8^3$
先计算$8^3=512$，$(3.14)^2=9.8596$，代入得：
$V = 2×9.8596×512 = 19.7192×512 = 10096.2304 \approx 10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $2π^2R^3$
(2) $10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是理解圆柱侧面展开图的特征，明确侧面为正方形时，正方形的边长等于底面圆的周长，也等于圆柱的高，计算时要注意运算顺序，按照要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆圆柱体积的计算公式：圆柱体积=底面积×高。第一步需要确定圆柱的底面半径和高：已知圆的半径为R，可得底面圆的周长为$2π R$，又因为阴影四边形是正方形，正方形的边长同时对应圆柱的高和底面圆的周长，因此圆柱的高等于底面圆的周长$2π R$。将底面积和高代入体积公式即可得到含R的体积表达式，第二问直接代入数值计算并按要求保留精度即可。
【解析】
(1) 由题意可知，圆柱的底面半径为R，侧面展开为正方形，因此圆柱的高等于底面圆的周长：
$h = 2π R$
圆柱的底面积为：
$S_{\mathrm{底}} = π R^2$
根据圆柱体积公式$V = S_{\mathrm{底}} · h$，代入得：
$V = π R^2 · 2π R = 2π^2 R^3$
(2) 当$R=8\ \mathrm{cm}$，$π\approx3.14$时，代入体积表达式：
$V = 2×(3.14)^2×8^3$
先计算$8^3=512$，$(3.14)^2=9.8596$，代入得：
$V = 2×9.8596×512 = 19.7192×512 = 10096.2304 \approx 10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【答案】
(1) $2π^2R^3$
(2) $10096.2\ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
圆柱体积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题解题的核心是理解圆柱侧面展开图的特征，明确侧面为正方形时，正方形的边长等于底面圆的周长，也等于圆柱的高，计算时要注意运算顺序，按照要求对结果取近似值。
【难度系数】
0.7
6.在图中添加一个小正方形,使该图形经过折叠后能围成一个四棱柱,不同的添法共有(
A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
B
)。A.7种
B.4种
C.3种
D.2种
答案
6. B
解析
【分析】解题时首先回忆四棱柱展开图的特征：四棱柱包含4个侧面和2个完全相同的底面，当4个侧面排成一列时，2个底面需分别在这列的两侧，且每个底面可对齐列中任意一个侧面的侧边。观察题干图形，已有4个上下排列的侧面，以及1个底面在最下方侧面的右侧，仅需补充剩下的1个底面，数出符合位置要求的添加点即可得到添法总数。
【解析】四棱柱的展开图中，若4个侧面连为一列，两个底面需分别位于该列的左右两侧，每个底面都可对齐4个侧面中任意一个的侧边放置。
本题图形已经给出4个上下排列的侧面（即4个长方形），且在最下方侧面的右侧已有1个底面（小正方形），因此缺少的另1个底面可分别添加在从上到下4个侧面的左侧位置，共有4种不同的添法。
【答案】B
【知识点】四棱柱展开图；几何体的展开与折叠
【点评】本题重点考查对常见几何体展开图结构的理解，解题时要明确四棱柱侧面和底面的位置关系，按顺序计数避免遗漏。
【难度系数】0.6
【解析】四棱柱的展开图中，若4个侧面连为一列，两个底面需分别位于该列的左右两侧，每个底面都可对齐4个侧面中任意一个的侧边放置。
本题图形已经给出4个上下排列的侧面（即4个长方形），且在最下方侧面的右侧已有1个底面（小正方形），因此缺少的另1个底面可分别添加在从上到下4个侧面的左侧位置，共有4种不同的添法。
【答案】B
【知识点】四棱柱展开图；几何体的展开与折叠
【点评】本题重点考查对常见几何体展开图结构的理解，解题时要明确四棱柱侧面和底面的位置关系，按顺序计数避免遗漏。
【难度系数】0.6
