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7.若长方体从一个顶点发出的三条棱长分别为2，3，4，则该长方体的表面积为
52
，体积为24
。答案
7. 52 24
解析
【分析】
首先明确长方体从一个顶点发出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，本题已给出这三个棱长分别为2、3、4。解题时只需要分别回忆长方体表面积公式、体积公式，将三个棱长代入公式准确计算即可得到结果。
【解析】
设长方体的长、宽、高分别为$a=2$，$b=3$，$c=4$。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$，代入数值：
$S=2×(2×3 + 2×4 + 3×4)$
$=2×(6 + 8 + 12)$
$=2×26$
$=52$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V=abc$，代入数值：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查对长方体表面积和体积公式的掌握情况，只要熟记公式、计算细心即可拿到满分。
【难度系数】
0.9
首先明确长方体从一个顶点发出的三条棱分别是长方体的长、宽、高，本题已给出这三个棱长分别为2、3、4。解题时只需要分别回忆长方体表面积公式、体积公式，将三个棱长代入公式准确计算即可得到结果。
【解析】
设长方体的长、宽、高分别为$a=2$，$b=3$，$c=4$。
1. 计算表面积：
长方体表面积公式为$S=2(ab+ac+bc)$，代入数值：
$S=2×(2×3 + 2×4 + 3×4)$
$=2×(6 + 8 + 12)$
$=2×26$
$=52$
2. 计算体积：
长方体体积公式为$V=abc$，代入数值：
$V=2×3×4=24$
【答案】
52；24
【知识点】
长方体表面积计算；长方体体积计算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查对长方体表面积和体积公式的掌握情况，只要熟记公式、计算细心即可拿到满分。
【难度系数】
0.9
8.【数学应用】某班数学活动小组的同学们用纸板制作长方体包装盒，其表面展开图和相关尺寸(单位:mm)如下，其中阴影部分为内部粘贴角料，求此长方体包装盒的体积。
答案
解:由题意,知此长方体的长为70 mm，宽为65 mm，高为40 mm，
则此长方体包装盒的体积为 70×65×40=182 000(mm³)。
则此长方体包装盒的体积为 70×65×40=182 000(mm³)。
解析
【分析】
解题时首先需要根据长方体表面展开图的特征，确定折叠后长方体的长、宽、高。观察展开图的尺寸标注，可识别出三个互不相等的棱长分别对应长方体的长、宽、高，再结合长方体体积公式，代入数值计算即可求出包装盒的体积。
【解析】
解：由展开图可得，折叠后长方体包装盒的长为70 mm，宽为65 mm，高为40 mm。
根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据得：
$70×65×40=182000(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$\boxed{182000\ \mathrm{mm}^3}$
【知识点】
长方体展开图的认识；长方体体积计算
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，需要将平面展开图还原为立体图形，准确识别对应棱长后运用体积公式求解，属于立体几何的基础应用题。
【难度系数】
0.75
解题时首先需要根据长方体表面展开图的特征，确定折叠后长方体的长、宽、高。观察展开图的尺寸标注，可识别出三个互不相等的棱长分别对应长方体的长、宽、高，再结合长方体体积公式，代入数值计算即可求出包装盒的体积。
【解析】
解：由展开图可得，折叠后长方体包装盒的长为70 mm，宽为65 mm，高为40 mm。
根据长方体体积公式：体积=长×宽×高，代入数据得：
$70×65×40=182000(\mathrm{mm}^3)$
【答案】
$\boxed{182000\ \mathrm{mm}^3}$
【知识点】
长方体展开图的认识；长方体体积计算
【点评】
本题侧重考查空间想象能力，需要将平面展开图还原为立体图形，准确识别对应棱长后运用体积公式求解，属于立体几何的基础应用题。
【难度系数】
0.75
9.如图所示的长方形是圆柱的侧面展开图,已知这个长方形相邻的两边长分别为6,4π,求圆柱的体积。
答案
解:①以4π 为底面周长,6 为高，
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$，
所以圆柱的体积为 $π×2^2×6=24π$。
②以6 为圆柱的底面周长,4π 为高，
此时圆柱的底面半径为 $\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
所以圆柱的体积为 $π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
所以圆柱的体积为 24π 或 36。
此时圆柱的底面半径为$\frac{4π}{2π}=2$，
所以圆柱的体积为 $π×2^2×6=24π$。
②以6 为圆柱的底面周长,4π 为高，
此时圆柱的底面半径为 $\frac{6}{2π}=\frac{3}{π}$，
所以圆柱的体积为 $π×(\frac{3}{π})^2×4π=36$。
所以圆柱的体积为 24π 或 36。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确圆柱侧面展开图的长方形与圆柱的对应关系：长方形的一条边对应圆柱的高，另一条边对应圆柱底面的周长。题目未指定哪条边是高、哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论，先根据底面周长求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以长$4π$为圆柱的底面周长，宽6为圆柱的高：
底面半径$r = \frac{底面周长}{2π} = \frac{4π}{2π} = 2$，
根据圆柱体积公式$V = π r^2 h$，代入得$V = π × 2^2 × 6 = 24π$。
② 以宽6为圆柱的底面周长，长$4π$为圆柱的高：
底面半径$r = \frac{6}{2π} = \frac{3}{π}$，
代入体积公式得$V = π × (\frac{3}{π})^2 × 4π = π × \frac{9}{π^2} × 4π = 36$。
【答案】
$24π$或$36$
【知识点】
圆柱侧面展开特征；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略分类讨论，默认其中一条边为底面周长导致漏解，解题时要注意结合圆柱的构成特征，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确圆柱侧面展开图的长方形与圆柱的对应关系：长方形的一条边对应圆柱的高，另一条边对应圆柱底面的周长。题目未指定哪条边是高、哪条边是底面周长，因此需要分两种情况讨论，先根据底面周长求出底面半径，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 以长$4π$为圆柱的底面周长，宽6为圆柱的高：
底面半径$r = \frac{底面周长}{2π} = \frac{4π}{2π} = 2$，
根据圆柱体积公式$V = π r^2 h$，代入得$V = π × 2^2 × 6 = 24π$。
② 以宽6为圆柱的底面周长，长$4π$为圆柱的高：
底面半径$r = \frac{6}{2π} = \frac{3}{π}$，
代入体积公式得$V = π × (\frac{3}{π})^2 × 4π = π × \frac{9}{π^2} × 4π = 36$。
【答案】
$24π$或$36$
【知识点】
圆柱侧面展开特征；圆柱体积计算；分类讨论
【点评】
本题的易错点是容易忽略分类讨论，默认其中一条边为底面周长导致漏解，解题时要注意结合圆柱的构成特征，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
