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4. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(-3,0) $，对称轴是直线 $ x = -1 $，则 $ a + b + c = $ .
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
【分析】
要求$a+b+c$的值，可观察到该式就是二次函数$y=ax^2+bx+c$当$x=1$时的函数值，因此只需确定抛物线上横坐标为1的点的纵坐标即可。已知抛物线过点$A(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，根据二次函数的对称性：抛物线上关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，横坐标的平均数等于对称轴对应的x值，可先求出点$A$关于对称轴的对称点坐标，再代入解析式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且经过点$A(-3,0)$
∴ 点$A(-3,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点也在抛物线上
设对称点的横坐标为$m$，根据对称轴与对称点横坐标的关系可得：
$\frac{-3+m}{2}=-1$，解得$m=1$
即对称点坐标为$(1,0)$
将$x=1$代入抛物线解析式，得：
$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
∵ 点$(1,0)$在抛物线上，即$x=1$时$y=0$
∴ $a+b+c=0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，不需要逐一求解参数$a、b、c$的具体值，利用对称性找到对应点的坐标即可快速求解，能有效考查对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求$a+b+c$的值，可观察到该式就是二次函数$y=ax^2+bx+c$当$x=1$时的函数值，因此只需确定抛物线上横坐标为1的点的纵坐标即可。已知抛物线过点$A(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，根据二次函数的对称性：抛物线上关于对称轴对称的两个点纵坐标相等，横坐标的平均数等于对称轴对应的x值，可先求出点$A$关于对称轴的对称点坐标，再代入解析式即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且经过点$A(-3,0)$
∴ 点$A(-3,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点也在抛物线上
设对称点的横坐标为$m$，根据对称轴与对称点横坐标的关系可得：
$\frac{-3+m}{2}=-1$，解得$m=1$
即对称点坐标为$(1,0)$
将$x=1$代入抛物线解析式，得：
$y=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$
∵ 点$(1,0)$在抛物线上，即$x=1$时$y=0$
∴ $a+b+c=0$
【答案】
$\boldsymbol{0}$
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，不需要逐一求解参数$a、b、c$的具体值，利用对称性找到对应点的坐标即可快速求解，能有效考查对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 已知二次函数$y=x^2 -4x +3.$
(1)用配方法将其化成顶点式为，顶点坐标是；
(2)选取适当数据填入下表，并在如图8所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象；
(3)结合该二次函数图象，直接写出方程$x^2 -4x +3=0$的根：；
(4)若该抛物线上两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$的横坐标满足$x_1＞x_2＞2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为.
(1)用配方法将其化成顶点式为，顶点坐标是；
(2)选取适当数据填入下表，并在如图8所示平面直角坐标系内描点，画出该函数图象；
(3)结合该二次函数图象，直接写出方程$x^2 -4x +3=0$的根：；
(4)若该抛物线上两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$的横坐标满足$x_1＞x_2＞2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为.
答案
解：
(1) 对二次函数配方：
$y=x^2-4x+3=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
顶点式为 $\boldsymbol{y=(x-2)^2 -1}$，顶点坐标是 $\boldsymbol{(2,-1)}$；
(2) 填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|-----|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $0$ | $-1$| $0$ | $3$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出点$(0,3)$、$(1,0)$、$(2,-1)$、$(3,0)$、$(4,3)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上的抛物线，即为该函数图象。
(3) 方程$x^2-4x+3=0$的根为 $\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$；
(4) 该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，由$x_1＞x_2＞2$可得 $\boldsymbol{y_1＞y_2}$。
(1) 对二次函数配方：
$y=x^2-4x+3=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
顶点式为 $\boldsymbol{y=(x-2)^2 -1}$，顶点坐标是 $\boldsymbol{(2,-1)}$；
(2) 填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|-----|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $0$ | $-1$| $0$ | $3$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系内描出点$(0,3)$、$(1,0)$、$(2,-1)$、$(3,0)$、$(4,3)$，用平滑曲线顺次连接各点，得到开口向上的抛物线，即为该函数图象。
(3) 方程$x^2-4x+3=0$的根为 $\boldsymbol{x_1=1,\ x_2=3}$；
(4) 该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，由$x_1＞x_2＞2$可得 $\boldsymbol{y_1＞y_2}$。
解析
【分析】
这道题围绕二次函数基础性质设计，各小问解题思路清晰：
(1) 配方法化顶点式核心是凑完全平方式：本题二次项系数为1，直接将一次项系数除以2后平方，加上该数再减去相同数保证式子值不变，整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应$(h,k)$就是顶点坐标；
(2) 画二次函数图像优先选取顶点、与坐标轴交点这类特殊点，利用抛物线对称性选点后，描点再用平滑曲线连接即可；
(3) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，可直接从图像交点读取结果；
(4) 先判断抛物线开口方向和对称轴，再根据给定横坐标范围判断函数增减性，即可比较两个y值的大小。
【解析】
(1) 对二次函数$y=x^2-4x+3$配方：
一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$，因此：
$y=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
即顶点式为$y=(x-2)^2-1$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 选取顶点、与x轴、y轴交点等对称点填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|-----|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $0$ | $-1$| $0$ | $3$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中依次描出点$(0,3)$、$(1,0)$、$(2,-1)$、$(3,0)$、$(4,3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图像。
(3) 方程$x^2-4x+3=0$的根对应二次函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标，因此根为$x_1=1$，$x_2=3$。
(4) 该二次函数二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，已知$x_1＞x_2＞2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-2)^2-1}$；$\boldsymbol{(2,-1)}$
(2) 填表、画图见解析
(3) $\boldsymbol{x_1=1,x_2=3}$
(4) $\boldsymbol{y_1＞y_2}$
【知识点】
配方法化顶点式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数核心基础考点，难度较低，熟练掌握配方法、二次函数图像性质以及函数与方程的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
这道题围绕二次函数基础性质设计，各小问解题思路清晰：
(1) 配方法化顶点式核心是凑完全平方式：本题二次项系数为1，直接将一次项系数除以2后平方，加上该数再减去相同数保证式子值不变，整理成$y=a(x-h)^2+k$的形式，对应$(h,k)$就是顶点坐标；
(2) 画二次函数图像优先选取顶点、与坐标轴交点这类特殊点，利用抛物线对称性选点后，描点再用平滑曲线连接即可；
(3) 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数图像与x轴交点的横坐标，可直接从图像交点读取结果；
(4) 先判断抛物线开口方向和对称轴，再根据给定横坐标范围判断函数增减性，即可比较两个y值的大小。
【解析】
(1) 对二次函数$y=x^2-4x+3$配方：
一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$，因此：
$y=x^2-4x+4-4+3=(x-2)^2-1$
即顶点式为$y=(x-2)^2-1$，顶点坐标为$(2,-1)$。
(2) 选取顶点、与x轴、y轴交点等对称点填表如下：
| $x$ | $\dots$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $\dots$ |
|-----|---------|-----|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $3$ | $0$ | $-1$| $0$ | $3$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中依次描出点$(0,3)$、$(1,0)$、$(2,-1)$、$(3,0)$、$(4,3)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图像。
(3) 方程$x^2-4x+3=0$的根对应二次函数$y=x^2-4x+3$与x轴交点的横坐标，因此根为$x_1=1$，$x_2=3$。
(4) 该二次函数二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，已知$x_1＞x_2＞2$，因此$y_1＞y_2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=(x-2)^2-1}$；$\boldsymbol{(2,-1)}$
(2) 填表、画图见解析
(3) $\boldsymbol{x_1=1,x_2=3}$
(4) $\boldsymbol{y_1＞y_2}$
【知识点】
配方法化顶点式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数核心基础考点，难度较低，熟练掌握配方法、二次函数图像性质以及函数与方程的对应关系即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图9,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+4x-3$图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时,x的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当$y＞0$时,x的取值范围.
(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
答案
解：
(1) 将点$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$0=a·1^2 + 4×1 -3$
解得$a=-1$，
因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
将解析式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，
所以顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
已知$B(1,0)$，因此点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可知，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 在$y=-x^2+4x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，因此点$D$的坐标为$(0,-3)$。
要使点$D(0,-3)$平移到点$A(2,1)$，需将图象向右平移$2$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度。
根据平移规律，将原顶点式$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移后，所得解析式为：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$
展开得$y=-x^2+8x-11$。
综上，(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，$y＞0$时$1＜x＜3$；(2) 平移后二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-(x-4)^2+5}$（或$y=-x^2+8x-11$）。
(1) 将点$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$0=a·1^2 + 4×1 -3$
解得$a=-1$，
因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
将解析式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，
所以顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
已知$B(1,0)$，因此点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可知，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 在$y=-x^2+4x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，因此点$D$的坐标为$(0,-3)$。
要使点$D(0,-3)$平移到点$A(2,1)$，需将图象向右平移$2$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度。
根据平移规律，将原顶点式$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移后，所得解析式为：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$
展开得$y=-x^2+8x-11$。
综上，(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，$y＞0$时$1＜x＜3$；(2) 平移后二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-(x-4)^2+5}$（或$y=-x^2+8x-11$）。
解析
【分析】
(1) 要解决第一问，首先利用点B在二次函数图象上的条件，将B(1,0)代入解析式求出参数a，得到完整的二次函数表达式；再将一般式配方为顶点式，直接得到顶点A的坐标；接着令y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，结合已知的B点坐标即可确定C点坐标；最后观察图象，抛物线开口向下，y＞0对应图象在x轴上方的部分，x的取值范围在B、C两点横坐标之间。
(2) 第二问先求原抛物线与y轴交点D的坐标，对比D和A的坐标差，确定图象的平移方向和距离：横坐标从0到2是向右平移2个单位，纵坐标从-3到1是向上平移4个单位；再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，对原顶点式进行调整，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$0=a×1^2 + 4×1 -3$
解得$a=-1$，因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
将解析式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，所以顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，已知$B(1,0)$，因此点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可知，抛物线开口向下，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 在$y=-x^2+4x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，因此点$D$的坐标为$(0,-3)$。
要使点$D(0,-3)$平移到点$A(2,1)$，需将图象向右平移$2$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度。
根据“左加右减，上加下减”的平移规律，将原顶点式$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移后，所得解析式为：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$，展开也可写为$y=-x^2+8x-11$。
【答案】
(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，当$y＞0$时$x$的取值范围是$1＜x＜3$；
(2) 平移后图象对应的二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-(x-4)^2+5}$（或$y=-x^2+8x-11$）。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象的平移
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题逻辑清晰，是二次函数章节的常规题型，熟练掌握待定系数法、二次函数与方程的关联以及图象平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要解决第一问，首先利用点B在二次函数图象上的条件，将B(1,0)代入解析式求出参数a，得到完整的二次函数表达式；再将一般式配方为顶点式，直接得到顶点A的坐标；接着令y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，结合已知的B点坐标即可确定C点坐标；最后观察图象，抛物线开口向下，y＞0对应图象在x轴上方的部分，x的取值范围在B、C两点横坐标之间。
(2) 第二问先求原抛物线与y轴交点D的坐标，对比D和A的坐标差，确定图象的平移方向和距离：横坐标从0到2是向右平移2个单位，纵坐标从-3到1是向上平移4个单位；再根据二次函数平移“左加右减、上加下减”的规律，对原顶点式进行调整，即可得到平移后的函数解析式。
【解析】
(1) 将点$B(1,0)$代入$y=ax^2+4x-3$，得：
$0=a×1^2 + 4×1 -3$
解得$a=-1$，因此二次函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
将解析式配方得：$y=-(x-2)^2+1$，所以顶点$A$的坐标为$(2,1)$。
令$y=0$，即$-x^2+4x-3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，已知$B(1,0)$，因此点$C$的坐标为$(3,0)$。
由图象可知，抛物线开口向下，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应$x$的取值范围是$1＜x＜3$。
(2) 在$y=-x^2+4x-3$中，令$x=0$，得$y=-3$，因此点$D$的坐标为$(0,-3)$。
要使点$D(0,-3)$平移到点$A(2,1)$，需将图象向右平移$2$个单位长度，再向上平移$4$个单位长度。
根据“左加右减，上加下减”的平移规律，将原顶点式$y=-(x-2)^2+1$按上述规则平移后，所得解析式为：
$y=-(x-2-2)^2+1+4=-(x-4)^2+5$，展开也可写为$y=-x^2+8x-11$。
【答案】
(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，当$y＞0$时$x$的取值范围是$1＜x＜3$；
(2) 平移后图象对应的二次函数解析式为$\boldsymbol{y=-(x-4)^2+5}$（或$y=-x^2+8x-11$）。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程；二次函数图象的平移
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考查的都是二次函数的核心基础知识点，解题逻辑清晰，是二次函数章节的常规题型，熟练掌握待定系数法、二次函数与方程的关联以及图象平移规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
