登录
10. 如图5,若抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线$y=x-3$经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作$PH⊥x$轴于点H,交BC于点M,连接PC.
①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由.
②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使$△ PCM$是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点,过点P作$PH⊥x$轴于点H,交BC于点M,连接PC.
①线段PM是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由.
②在点P运动的过程中,是否存在点M,恰好使$△ PCM$是以PM为腰的等腰三角形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 对于直线y=x-3，
令x=0，得y=-3，所以C(0,-3)；
令y=0，得x=3，所以B(3,0)。
将B(3,0)、C(0,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=-3 \\ 9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$所以抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。(2)① 设点M的横坐标为t（0＜t＜3），则M(t, t-3)，$P(t, t^2-2t-3)$，$PM=(t-3)-(t^2-2t-3) = -t^2+3t = -(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$因为二次项系数-1＜0，且0＜t＜3，所以当$t=\frac{3}{2}$时，PM取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。即线段PM有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。② 存在，点P的坐标为(2,-3)和$(3-\sqrt{2}, 2-4\sqrt{2})$。
(1) 对于直线y=x-3，
令x=0，得y=-3，所以C(0,-3)；
令y=0，得x=3，所以B(3,0)。
将B(3,0)、C(0,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=-3 \\ 9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$所以抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。(2)① 设点M的横坐标为t（0＜t＜3），则M(t, t-3)，$P(t, t^2-2t-3)$，$PM=(t-3)-(t^2-2t-3) = -t^2+3t = -(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$因为二次项系数-1＜0，且0＜t＜3，所以当$t=\frac{3}{2}$时，PM取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。即线段PM有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。② 存在，点P的坐标为(2,-3)和$(3-\sqrt{2}, 2-4\sqrt{2})$。
解析
【分析】
第(1)问解题思路：先根据直线$y=x-3$经过B、C两点，分别令x=0、y=0求出C、B的坐标，再将两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组得到b、c的值，即可确定抛物线解析式。
第(2)问①解题思路：因为PH垂直x轴，所以P、M横坐标相同，设横坐标为t，用含t的代数式分别表示M、P的纵坐标，PM长度等于M的纵坐标减去P的纵坐标（M在P上方），得到关于t的二次函数，利用配方法结合二次函数性质求最大值即可。
第(2)问②解题思路：△PCM以PM为腰，分两种情况讨论：PM=PC、PM=MC，分别根据两点间距离公式列方程求解，舍去不符合取值范围的解，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求B、C两点坐标：
对于直线$y=x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，即$C(0,-3)$；
令$y=0$，得$x=3$，即$B(3,0)$。
将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=-3 \\ 9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) ① 设点M的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），
因为$PH⊥x$轴，所以P点横坐标也为t，可得$M(t, t-3)$，$P(t, t^2-2t-3)$，
则$PM=(t-3)-(t^2-2t-3) = -t^2+3t = -(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$，
因为二次项系数$-1＜0$，且$0＜t＜3$，
所以当$t=\frac{3}{2}$时，PM取得最大值$\frac{9}{4}$，即线段PM有最大值。
② 存在符合条件的点P。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) ① 有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$；② 点P的坐标为$(2,-3)$和$(3-\sqrt{2}, 2-4\sqrt{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数最值、等腰三角形存在性
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常考综合题，解题关键是利用竖直线段两点横坐标相同的特点，将线段长度转化为二次函数求最值；处理等腰三角形存在性问题时要注意分类讨论，避免漏解，同时要验证解是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6
第(1)问解题思路：先根据直线$y=x-3$经过B、C两点，分别令x=0、y=0求出C、B的坐标，再将两点坐标代入抛物线一般式，解二元一次方程组得到b、c的值，即可确定抛物线解析式。
第(2)问①解题思路：因为PH垂直x轴，所以P、M横坐标相同，设横坐标为t，用含t的代数式分别表示M、P的纵坐标，PM长度等于M的纵坐标减去P的纵坐标（M在P上方），得到关于t的二次函数，利用配方法结合二次函数性质求最大值即可。
第(2)问②解题思路：△PCM以PM为腰，分两种情况讨论：PM=PC、PM=MC，分别根据两点间距离公式列方程求解，舍去不符合取值范围的解，即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求B、C两点坐标：
对于直线$y=x-3$，
令$x=0$，得$y=-3$，即$C(0,-3)$；
令$y=0$，得$x=3$，即$B(3,0)$。
将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=-3 \\ 9+3b+c=0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=-2 \\ c=-3 \end{cases}$，因此抛物线解析式为$y=x^2-2x-3$。
(2) ① 设点M的横坐标为$t$（$0＜t＜3$），
因为$PH⊥x$轴，所以P点横坐标也为t，可得$M(t, t-3)$，$P(t, t^2-2t-3)$，
则$PM=(t-3)-(t^2-2t-3) = -t^2+3t = -(t-\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$，
因为二次项系数$-1＜0$，且$0＜t＜3$，
所以当$t=\frac{3}{2}$时，PM取得最大值$\frac{9}{4}$，即线段PM有最大值。
② 存在符合条件的点P。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$
(2) ① 有最大值，最大值为$\frac{9}{4}$；② 点P的坐标为$(2,-3)$和$(3-\sqrt{2}, 2-4\sqrt{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数最值、等腰三角形存在性
【点评】
本题是二次函数与一次函数结合的常考综合题，解题关键是利用竖直线段两点横坐标相同的特点，将线段长度转化为二次函数求最值；处理等腰三角形存在性问题时要注意分类讨论，避免漏解，同时要验证解是否符合取值范围。
【难度系数】
0.6
1. 根据表格中二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的对应值,可以判断方程$ax^2+bx+c=0$的一个解$x$的范围是（）
A.$0＜x＜0.5$
B.$0.5＜x＜1$
C.$1＜x＜1.5$
D.$1.5＜x＜2$
A.$0＜x＜0.5$
B.$0.5＜x＜1$
C.$1＜x＜1.5$
D.$1.5＜x＜2$
答案
B
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确该方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻的$x$值对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个解。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=0.5$时，$y=-0.5＜0$；
当$x=1$时，$y=1＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜1$的范围内，一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$0.5＜x＜1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的内在联系，解题的关键是理解方程的解对应函数值为0的自变量取值，利用函数值的正负变化就能快速确定解的范围，该方法是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确该方程的解对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时的自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当两个相邻的$x$值对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的一个解。接下来只需观察表格中$y$值由负变正对应的$x$区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的解是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=0.5$时，$y=-0.5＜0$；
当$x=1$时，$y=1＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，因此在$0.5＜x＜1$的范围内，一定存在某个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$0.5＜x＜1$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数与一元二次方程的内在联系，解题的关键是理解方程的解对应函数值为0的自变量取值，利用函数值的正负变化就能快速确定解的范围，该方法是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
2. 如图6,点$A(2.18,-0.51),B(2.68,0.54)$在二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象上,则方程$ax^2+bx+c=0$的一个近似值可能是 （）
A.2.18
B.2.68
C.-0.51
D.2.45
A.2.18
B.2.68
C.-0.51
D.2.45
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与一元二次方程的联系：方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。接下来观察已知A、B两点的坐标，两点的y值一负一正，说明两点分别在x轴的下方和上方，而抛物线是连续的曲线，因此两点之间必然存在一处函数图象穿过x轴，即方程的一个根一定在A点横坐标和B点横坐标之间，最后对比选项找出落在该区间内的数值即可。
【解析】
1. 明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
2. 分析已知点的函数值：当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$，对应点在x轴下方；当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$，对应点在x轴上方。
3. 确定根的范围：由于二次函数图象是连续的抛物线，因此在$2.18＜x＜2.68$区间内，必然存在一个x使得$y=0$，即方程的一个根在2.18和2.68之间。
4. 结合选项判断：选项A、B对应的y值均不为0，选项C是y值不是x的取值，只有2.45在2.18~2.68的范围内，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质；估算方程近似根
【点评】
本题考查利用二次函数图象判断对应一元二次方程近似根的方法，属于基础应用型考题，解题核心是建立方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二次函数与一元二次方程的联系：方程$ax^2+bx+c=0$的解就是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。接下来观察已知A、B两点的坐标，两点的y值一负一正，说明两点分别在x轴的下方和上方，而抛物线是连续的曲线，因此两点之间必然存在一处函数图象穿过x轴，即方程的一个根一定在A点横坐标和B点横坐标之间，最后对比选项找出落在该区间内的数值即可。
【解析】
1. 明确对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴交点的横坐标。
2. 分析已知点的函数值：当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$，对应点在x轴下方；当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$，对应点在x轴上方。
3. 确定根的范围：由于二次函数图象是连续的抛物线，因此在$2.18＜x＜2.68$区间内，必然存在一个x使得$y=0$，即方程的一个根在2.18和2.68之间。
4. 结合选项判断：选项A、B对应的y值均不为0，选项C是y值不是x的取值，只有2.45在2.18~2.68的范围内，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数图象性质；估算方程近似根
【点评】
本题考查利用二次函数图象判断对应一元二次方程近似根的方法，属于基础应用型考题，解题核心是建立方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 已知抛物线$y=x^2+bx+c$的部分图象如图7所示，若$y＜0$，则$x$的取值范围是（）
A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
A.$-1＜x＜4$
B.$-1＜x＜3$
C.$x＜-1$或$x＞4$
D.$x＜-1$或$x＞3$
答案
B
解析
【分析】
要确定y＜0时x的取值范围，本质是找抛物线位于x轴下方部分对应的x的区间，需先求出抛物线与x轴的两个交点坐标：①先从图象读取已知的一个交点坐标和对称轴；②利用抛物线关于对称轴对称的性质，计算出另一个与x轴的交点坐标；③结合抛物线的开口方向，判断y＜0对应的x区间：开口向上时，y＜0对应x在两个交点之间；开口向下时，y＜0对应x在两个交点之外。
【解析】
由图象可得，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
∴ 当$y＜0$时，抛物线位于x轴下方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式的典型题型，解题核心是利用二次函数的轴对称性求出未知的交点坐标，再结合开口方向用数形结合思想判断对应自变量的取值范围，熟练掌握二次函数基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要确定y＜0时x的取值范围，本质是找抛物线位于x轴下方部分对应的x的区间，需先求出抛物线与x轴的两个交点坐标：①先从图象读取已知的一个交点坐标和对称轴；②利用抛物线关于对称轴对称的性质，计算出另一个与x轴的交点坐标；③结合抛物线的开口方向，判断y＜0对应的x区间：开口向上时，y＜0对应x在两个交点之间；开口向下时，y＜0对应x在两个交点之外。
【解析】
由图象可得，抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴的一个交点为$(-1,0)$，对称轴为直线$x=1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，根据抛物线的对称性，两个交点关于对称轴对称，因此有：
$\frac{-1+x}{2}=1$
解得$x=3$，即另一个交点坐标为$(3,0)$。
∵ 二次项系数$a=1＞0$，
∴ 抛物线开口向上，
∴ 当$y＜0$时，抛物线位于x轴下方，对应的x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数与不等式的典型题型，解题核心是利用二次函数的轴对称性求出未知的交点坐标，再结合开口方向用数形结合思想判断对应自变量的取值范围，熟练掌握二次函数基本性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7
