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5. 在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示,现给出以下结论:①$abc＜0$;②$c+2a＜0$;③$9a-3b+c=0$;④$a-b≥m(am+b)$(m为实数);⑤$4ac-b^2＜0$.其中错误的结论有 ()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解决这类二次函数图象判断结论正误的问题，首先要从图象中提取核心信息：开口方向可确定a的符号，对称轴位置结合“左同右异”确定b的符号，与y轴交点确定c的符号，与x轴交点可得对应x值的函数值为0，判别式与交点个数相关，顶点对应函数最值。结合这些信息，逐个推导每个结论是否成立即可。
【解析】
解：结合二次函数图象分析各结论：
1. 结论①：抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴在y轴左侧，由“左同右异”得$b＞0$，与y轴交于负半轴得$c＜0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 结论③：抛物线过点$(-3,0)$，代入解析式得$9a-3b+c=0$，③正确。
3. 结论⑤：抛物线与x轴有两个交点，故$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$，⑤正确。
4. 结论②：由图象可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜-1$，得$b＞2a$；$x=1$时函数值$y=a+b+c＞0$，结合$9a-3b+c=0$消去$c$得$c=3b-9a$，代入$x=1$的函数值得$a+b+3b-9a＞0$，即$b＞2a$。进一步推导$c+2a=3b-9a+2a=3b-7a$，由图象可得$b＞\frac{7}{3}a$，因此$c+2a＞0$，②错误。
5. 结论④：抛物线开口向上，$x=-1$时函数取最小值，因此对任意实数$m$，有$a(-1)^2 + b(-1) + c ≤ am^2+bm+c$，两边消去$c$化简得$a-b ≤ m(am+b)$，故$a-b≥m(am+b)$不成立，④错误。
综上，错误的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象与性质的综合常考题，需要熟练掌握系数与图象的对应规律、特殊点函数值的应用、最值性质，解题关键是从图象提取有效信息进行推导。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图象判断结论正误的问题，首先要从图象中提取核心信息：开口方向可确定a的符号，对称轴位置结合“左同右异”确定b的符号，与y轴交点确定c的符号，与x轴交点可得对应x值的函数值为0，判别式与交点个数相关，顶点对应函数最值。结合这些信息，逐个推导每个结论是否成立即可。
【解析】
解：结合二次函数图象分析各结论：
1. 结论①：抛物线开口向上得$a＞0$，对称轴在y轴左侧，由“左同右异”得$b＞0$，与y轴交于负半轴得$c＜0$，因此$abc＜0$，①正确。
2. 结论③：抛物线过点$(-3,0)$，代入解析式得$9a-3b+c=0$，③正确。
3. 结论⑤：抛物线与x轴有两个交点，故$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$，⑤正确。
4. 结论②：由图象可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜-1$，得$b＞2a$；$x=1$时函数值$y=a+b+c＞0$，结合$9a-3b+c=0$消去$c$得$c=3b-9a$，代入$x=1$的函数值得$a+b+3b-9a＞0$，即$b＞2a$。进一步推导$c+2a=3b-9a+2a=3b-7a$，由图象可得$b＞\frac{7}{3}a$，因此$c+2a＞0$，②错误。
5. 结论④：抛物线开口向上，$x=-1$时函数取最小值，因此对任意实数$m$，有$a(-1)^2 + b(-1) + c ≤ am^2+bm+c$，两边消去$c$化简得$a-b ≤ m(am+b)$，故$a-b≥m(am+b)$不成立，④错误。
综上，错误的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图象与性质的综合常考题，需要熟练掌握系数与图象的对应规律、特殊点函数值的应用、最值性质，解题关键是从图象提取有效信息进行推导。
【难度系数】
0.6
6. 已知点$A(4,y_1)$，$B(\sqrt{2},y_2)$，$C(-2,y_3)$都在二次函数$y=(x-2)^2 -1$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是.
答案
解：
将各点的横坐标分别代入二次函数解析式计算对应的函数值：
当$x=4$时，$y_1=(4-2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y_2=(\sqrt{2}-2)^2 -1=2-4\sqrt{2}+4-1=5-4\sqrt{2}$；
当$x=-2$时，$y_3=(-2-2)^2 -1=16-1=15$。
因为$5-4\sqrt{2}＜3＜15$，
所以$y_3＞y_1＞y_2$。
将各点的横坐标分别代入二次函数解析式计算对应的函数值：
当$x=4$时，$y_1=(4-2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y_2=(\sqrt{2}-2)^2 -1=2-4\sqrt{2}+4-1=5-4\sqrt{2}$；
当$x=-2$时，$y_3=(-2-2)^2 -1=16-1=15$。
因为$5-4\sqrt{2}＜3＜15$，
所以$y_3＞y_1＞y_2$。
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，首先明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可以直接将三个点的横坐标分别代入解析式，求出对应的y值后比较大小；也可以先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大的规律判断大小，两种方法均适用，本题代入计算更直观。
【解析】
将各点的横坐标分别代入二次函数$y=(x-2)^2 -1$计算对应的函数值：
当$x=4$时，$y_1=(4-2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y_2=(\sqrt{2}-2)^2 -1=2-4\sqrt{2}+4-1=5-4\sqrt{2}$；
当$x=-2$时，$y_3=(-2-2)^2 -1=16-1=15$。
因为$5-4\sqrt{2}＜3＜15$，因此可推导出三者的大小关系。
【答案】
$y_3＞y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题方式灵活，既可以代入计算直接比较，也可以借助二次函数的增减性、对称性快速判断，重点考查学生对二次函数基本性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
要比较三个函数值的大小，首先明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可以直接将三个点的横坐标分别代入解析式，求出对应的y值后比较大小；也可以先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大的规律判断大小，两种方法均适用，本题代入计算更直观。
【解析】
将各点的横坐标分别代入二次函数$y=(x-2)^2 -1$计算对应的函数值：
当$x=4$时，$y_1=(4-2)^2 -1=4-1=3$；
当$x=\sqrt{2}$时，$y_2=(\sqrt{2}-2)^2 -1=2-4\sqrt{2}+4-1=5-4\sqrt{2}$；
当$x=-2$时，$y_3=(-2-2)^2 -1=16-1=15$。
因为$5-4\sqrt{2}＜3＜15$，因此可推导出三者的大小关系。
【答案】
$y_3＞y_1＞y_2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，实数大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题方式灵活，既可以代入计算直接比较，也可以借助二次函数的增减性、对称性快速判断，重点考查学生对二次函数基本性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
7. 已知抛物线 $y=-x^2+2mx+m$，当 $-2＜x＜1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，$m$ 的取值范围是.
答案
解：
∵抛物线$y=-x^2+2mx+m$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
该抛物线的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$
即抛物线的递增区间为$x≤ m$。
∵当$-2＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴区间$(-2,1)$是递增区间$x≤ m$的子集，
可得$m≥1$。
$m≥1$
∵抛物线$y=-x^2+2mx+m$的二次项系数$a=-1＜0$，
∴抛物线开口向下，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大。
该抛物线的对称轴为直线：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$
即抛物线的递增区间为$x≤ m$。
∵当$-2＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴区间$(-2,1)$是递增区间$x≤ m$的子集，
可得$m≥1$。
$m≥1$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二次函数增减性的判断规律：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。解题步骤可分为三步：第一步根据二次项系数判断抛物线开口方向；第二步利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；第三步结合题目给出的“-2＜x＜1时y随x增大而增大”的条件，判断给定x的取值范围与对称轴的位置关系，进而推导m的取值范围，注意验证端点值是否可取。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2mx+m$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=2m$，可得对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$，即该抛物线的递增区间为$x≤ m$。
3. 推导$m$的范围：题目要求$-2＜x＜1$时$y$随$x$的增大而增大，说明$-2＜x＜1$这个区间全部落在递增区间$x≤ m$内，因此对称轴$x=m$需大于等于区间的右端点1，即$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题关键是理清开口方向、对称轴与函数增减性的对应逻辑，易错点是容易忽略端点情况，漏写$m=1$的取值。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二次函数增减性的判断规律：二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定。解题步骤可分为三步：第一步根据二次项系数判断抛物线开口方向；第二步利用对称轴公式求出抛物线的对称轴；第三步结合题目给出的“-2＜x＜1时y随x增大而增大”的条件，判断给定x的取值范围与对称轴的位置关系，进而推导m的取值范围，注意验证端点值是否可取。
【解析】
对于抛物线$y=-x^2+2mx+m$：
1. 确定开口方向：二次项系数$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
2. 计算对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$、$b=2m$，可得对称轴为直线$x=-\frac{2m}{2×(-1)}=m$，即该抛物线的递增区间为$x≤ m$。
3. 推导$m$的范围：题目要求$-2＜x＜1$时$y$随$x$的增大而增大，说明$-2＜x＜1$这个区间全部落在递增区间$x≤ m$内，因此对称轴$x=m$需大于等于区间的右端点1，即$m≥1$。
【答案】
$m≥1$
【知识点】
二次函数的增减性；二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题关键是理清开口方向、对称轴与函数增减性的对应逻辑，易错点是容易忽略端点情况，漏写$m=1$的取值。
【难度系数】
0.7
8. 如图3，抛物线$y=2x^2+bx-2$过点$A(-1,m)$和$B(5,m)$。
(1)求b和m的值；
(2)若抛物线与y轴交于点C，求$△ ABC$的面积。
(1)求b和m的值；
(2)若抛物线与y轴交于点C，求$△ ABC$的面积。
答案
解：
(1) 因为点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
对于抛物线$y=2x^2+bx-2$，其中$a=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$-\frac{b}{2×2}=2$
解得$b=-8$。
因此抛物线解析式为$y=2x^2-8x-2$，将$A(-1,m)$代入解析式：
$m=2×(-1)^2 -8×(-1)-2=2+8-2=8$
即$b=-8$，$m=8$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-2$，所以点$C$的坐标为$(0,-2)$。
$AB$的长度为$5-(-1)=6$，点$C$到线段$AB$的垂直距离为$8-(-2)=10$。
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×10=30$
综上，(1) $b=-8$，$m=8$；(2) $△ ABC$的面积为$30$。
(1) 因为点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，所以抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
对于抛物线$y=2x^2+bx-2$，其中$a=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：
$-\frac{b}{2×2}=2$
解得$b=-8$。
因此抛物线解析式为$y=2x^2-8x-2$，将$A(-1,m)$代入解析式：
$m=2×(-1)^2 -8×(-1)-2=2+8-2=8$
即$b=-8$，$m=8$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-2$，所以点$C$的坐标为$(0,-2)$。
$AB$的长度为$5-(-1)=6$，点$C$到线段$AB$的垂直距离为$8-(-2)=10$。
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×10=30$
综上，(1) $b=-8$，$m=8$；(2) $△ ABC$的面积为$30$。
解析
【分析】
(1) 点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，先通过两点横坐标计算出抛物线对称轴，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出$b$的值，最后将点$A$坐标代入抛物线解析式就能求出$m$的值；
(2) 先令抛物线解析式中$x=0$，求出对应$y$的值得到点$C$的坐标，再计算线段$AB$的长度，以及点$C$到$AB$所在直线的垂直距离，最后利用三角形面积公式即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) $\because$点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
对于抛物线$y=2x^2+bx-2$，其中$a=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$-\frac{b}{2×2}=2$
解得$b=-8$。
因此抛物线解析式为$y=2x^2-8x-2$，将$A(-1,m)$代入解析式：
$m=2×(-1)^2 -8×(-1)-2=2+8-2=8$
即$b=-8$，$m=8$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-2$，所以点$C$的坐标为$(0,-2)$。
$AB$的长度为$5-(-1)=6$，点$C$到线段$AB$的垂直距离为$8-(-2)=10$。
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×10=30$
【答案】
(1) $b=-8$，$m=8$；(2) $△ ABC$的面积为$30$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质快速求出对称轴，再结合二次函数基本性质求解参数和相关点坐标，进而计算三角形面积，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，先通过两点横坐标计算出抛物线对称轴，再结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出$b$的值，最后将点$A$坐标代入抛物线解析式就能求出$m$的值；
(2) 先令抛物线解析式中$x=0$，求出对应$y$的值得到点$C$的坐标，再计算线段$AB$的长度，以及点$C$到$AB$所在直线的垂直距离，最后利用三角形面积公式即可求出$△ ABC$的面积。
【解析】
(1) $\because$点$A(-1,m)$和$B(5,m)$纵坐标相等，$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$。
对于抛物线$y=2x^2+bx-2$，其中$a=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$-\frac{b}{2×2}=2$
解得$b=-8$。
因此抛物线解析式为$y=2x^2-8x-2$，将$A(-1,m)$代入解析式：
$m=2×(-1)^2 -8×(-1)-2=2+8-2=8$
即$b=-8$，$m=8$。
(2) 令$x=0$，代入抛物线解析式得$y=-2$，所以点$C$的坐标为$(0,-2)$。
$AB$的长度为$5-(-1)=6$，点$C$到线段$AB$的垂直距离为$8-(-2)=10$。
因此$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×6×10=30$
【答案】
(1) $b=-8$，$m=8$；(2) $△ ABC$的面积为$30$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积计算
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题核心是利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质快速求出对称轴，再结合二次函数基本性质求解参数和相关点坐标，进而计算三角形面积，解题思路清晰，易于掌握。
【难度系数】
0.7
9. 如图4,小明在一次高尔夫球赛中,从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大竖直高度12米时,球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为$30°$,O和A两点相距$8\sqrt{3}$米.
(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式;
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.
(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式;
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.
答案
解：
(1) 在Rt△AOC中，∠AOC=30°，OA=8√3，
∴ AC = OA·sin30° = 8√3 × 1/2 = 4√3，
OC = OA·cos30° = 8√3 × (√3/2) = 12，
∴ 点A的坐标为(12, 4√3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(12,4√3)代入得：
12k = 4√3，解得k=√3/3，
∴ 直线OA的解析式为y = (√3/3)x。
(2) 由题意得抛物线的顶点B坐标为(9,12)，设抛物线的解析式为y=a(x-9)²+12，
将原点O(0,0)代入解析式得：
0 = a·(0-9)² + 12，
解得a = -4/27，
展开得抛物线解析式为y = -4/27(x-9)² + 12，即y = -4/27 x² + 8/3 x。
(3) 将x=12代入抛物线解析式：
y = -4/27 × 12² + 8/3 × 12 = 32/3，
∵ 32/3 ≠ 4√3，
∴ 点A不在该抛物线上。
答：小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
(1) 在Rt△AOC中，∠AOC=30°，OA=8√3，
∴ AC = OA·sin30° = 8√3 × 1/2 = 4√3，
OC = OA·cos30° = 8√3 × (√3/2) = 12，
∴ 点A的坐标为(12, 4√3)。
设直线OA的解析式为y=kx，将A(12,4√3)代入得：
12k = 4√3，解得k=√3/3，
∴ 直线OA的解析式为y = (√3/3)x。
(2) 由题意得抛物线的顶点B坐标为(9,12)，设抛物线的解析式为y=a(x-9)²+12，
将原点O(0,0)代入解析式得：
0 = a·(0-9)² + 12，
解得a = -4/27，
展开得抛物线解析式为y = -4/27(x-9)² + 12，即y = -4/27 x² + 8/3 x。
(3) 将x=12代入抛物线解析式：
y = -4/27 × 12² + 8/3 × 12 = 32/3，
∵ 32/3 ≠ 4√3，
∴ 点A不在该抛物线上。
答：小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
解析
【分析】
(1) 求点A坐标：点A的横坐标为OC的长度，纵坐标为AC的长度，在Rt△AOC中，已知OA长度和∠AOC=30°，利用锐角三角函数即可求出AC、OC的长，得到A点坐标；直线OA过原点，属于正比例函数，设解析式为y=kx，代入A点坐标即可求出k值，得到直线OA的解析式。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线的顶点坐标为(9,12)，因此设抛物线的顶点式y=a(x-9)²+12，又因为抛物线过原点O(0,0)，将原点坐标代入顶点式即可求出a的值，整理后得到抛物线解析式。
(3) 判断能否直接打入球洞：只需验证点A是否在抛物线上即可，将点A的横坐标代入抛物线解析式，计算对应的y值，与点A的纵坐标比较，若相等则点A在抛物线上，能打入，反之则不能。
【解析】
(1) 在Rt△AOC中，∠AOC=30°，OA=8√3，
∴ AC = OA·sin30° = 8√3 × 1/2 = 4√3，
OC = OA·cos30° = 8√3 × (√3/2) = 12，
∴ 点A的坐标为(12, 4√3)。
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），将A(12,4√3)代入得：
12k = 4√3，解得k=√3/3，
∴ 直线OA的解析式为$y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。
(2) 由题意可知抛物线的顶点B坐标为(9,12)，设抛物线的解析式为y=a(x-9)²+12（a≠0），
将原点O(0,0)代入解析式得：
$0 = a·(0-9)^2 + 12$，
解得a = -4/27，
∴ 抛物线解析式为$y = -\dfrac{4}{27}(x-9)^2 + 12$，整理为一般式得$y = -\dfrac{4}{27} x^2 + \dfrac{8}{3} x$。
(3) 将x=12代入抛物线解析式：
$y = -\dfrac{4}{27} × 12^2 + \dfrac{8}{3} × 12 = \dfrac{32}{3}$，
∵ $\dfrac{32}{3} ≠ 4\sqrt{3}$，
∴ 点A不在该抛物线上，即小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
【答案】
(1) 点A坐标为$\boldsymbol{(12,4\sqrt{3})}$，直线OA的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}$；
(2) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{27}x^2+\dfrac{8}{3}x}$（或$y=-\dfrac{4}{27}(x-9)^2+12$）；
(3) 小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
【知识点】
1. 锐角三角函数应用
2. 一次函数解析式求解
3. 二次函数的应用
【点评】
本题以高尔夫击球为实际背景，综合考查了直角三角形边角关系、一次函数与二次函数解析式的求法，以及点与函数图象的判定，解题时结合图形特征选择合适的函数解析式形式代入计算即可，注重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求点A坐标：点A的横坐标为OC的长度，纵坐标为AC的长度，在Rt△AOC中，已知OA长度和∠AOC=30°，利用锐角三角函数即可求出AC、OC的长，得到A点坐标；直线OA过原点，属于正比例函数，设解析式为y=kx，代入A点坐标即可求出k值，得到直线OA的解析式。
(2) 求抛物线解析式：已知抛物线的顶点坐标为(9,12)，因此设抛物线的顶点式y=a(x-9)²+12，又因为抛物线过原点O(0,0)，将原点坐标代入顶点式即可求出a的值，整理后得到抛物线解析式。
(3) 判断能否直接打入球洞：只需验证点A是否在抛物线上即可，将点A的横坐标代入抛物线解析式，计算对应的y值，与点A的纵坐标比较，若相等则点A在抛物线上，能打入，反之则不能。
【解析】
(1) 在Rt△AOC中，∠AOC=30°，OA=8√3，
∴ AC = OA·sin30° = 8√3 × 1/2 = 4√3，
OC = OA·cos30° = 8√3 × (√3/2) = 12，
∴ 点A的坐标为(12, 4√3)。
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），将A(12,4√3)代入得：
12k = 4√3，解得k=√3/3，
∴ 直线OA的解析式为$y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$。
(2) 由题意可知抛物线的顶点B坐标为(9,12)，设抛物线的解析式为y=a(x-9)²+12（a≠0），
将原点O(0,0)代入解析式得：
$0 = a·(0-9)^2 + 12$，
解得a = -4/27，
∴ 抛物线解析式为$y = -\dfrac{4}{27}(x-9)^2 + 12$，整理为一般式得$y = -\dfrac{4}{27} x^2 + \dfrac{8}{3} x$。
(3) 将x=12代入抛物线解析式：
$y = -\dfrac{4}{27} × 12^2 + \dfrac{8}{3} × 12 = \dfrac{32}{3}$，
∵ $\dfrac{32}{3} ≠ 4\sqrt{3}$，
∴ 点A不在该抛物线上，即小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
【答案】
(1) 点A坐标为$\boldsymbol{(12,4\sqrt{3})}$，直线OA的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x}$；
(2) 抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{27}x^2+\dfrac{8}{3}x}$（或$y=-\dfrac{4}{27}(x-9)^2+12$）；
(3) 小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点。
【知识点】
1. 锐角三角函数应用
2. 一次函数解析式求解
3. 二次函数的应用
【点评】
本题以高尔夫击球为实际背景，综合考查了直角三角形边角关系、一次函数与二次函数解析式的求法，以及点与函数图象的判定，解题时结合图形特征选择合适的函数解析式形式代入计算即可，注重对基础知识综合应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
