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1. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10 m/s，经过t(单位：s)时球距离地面的高度h(单位：m)适用公式$h=10t-5t^2$，那么球弹起后又回到地面所花的时间t(单位：s)是 ()
A.5
B.10
C.1
D.2
A.5
B.10
C.1
D.2
答案
D
解析
【分析】
解题的关键是明确球回到地面时的高度特征：此时球距离地面的高度h为0，因此我们只需将h=0代入给定的高度公式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后，结合实际意义舍去初始时刻t=0的解，剩下的正解就是球弹起后回到地面所花的时间。
【解析】
解：当球回到地面时，距离地面的高度h=0，
将h=0代入公式$h=10t-5t^2$，可得：
$0=10t-5t^2$
整理得：$5t^2-10t=0$
因式分解得：$5t(t-2)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
其中t=0是球刚从地面弹起的初始时刻，不符合题意，舍去，
因此球弹起后又回到地面所花的时间是2s，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际运动的基础应用题，解题的核心是将实际场景的“回到地面”转化为数学中的函数值为0的条件，求解方程后需结合实际意义对解进行取舍，掌握该类转化思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题的关键是明确球回到地面时的高度特征：此时球距离地面的高度h为0，因此我们只需将h=0代入给定的高度公式，得到关于t的一元二次方程，求解方程后，结合实际意义舍去初始时刻t=0的解，剩下的正解就是球弹起后回到地面所花的时间。
【解析】
解：当球回到地面时，距离地面的高度h=0，
将h=0代入公式$h=10t-5t^2$，可得：
$0=10t-5t^2$
整理得：$5t^2-10t=0$
因式分解得：$5t(t-2)=0$
解得：$t_1=0$，$t_2=2$
其中t=0是球刚从地面弹起的初始时刻，不符合题意，舍去，
因此球弹起后又回到地面所花的时间是2s，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数结合实际运动的基础应用题，解题的核心是将实际场景的“回到地面”转化为数学中的函数值为0的条件，求解方程后需结合实际意义对解进行取舍，掌握该类转化思路即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. 如图10是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2.5 m，水面宽度增加（）
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
A.1 m
B.2 m
C.3 m
D.6 m
答案
B
解析
【分析】
这是二次函数解决实际拱桥问题的题型，解题核心是通过建立合适的平面直角坐标系，把实际长度转化为坐标，先利用已知条件求出抛物线解析式，再代入水面下降后的纵坐标求出对应的横坐标，进而得到新的水面宽度，最后计算宽度的增量即可。为了简化计算，我们选择将抛物线的顶点（拱顶）设为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，计算更简便。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设拱顶（抛物线顶点）为原点$(0,0)$，抛物线对称轴为y轴，开口向下，设抛物线解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
由题意知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，此时水面的纵坐标为$y=-2-2.5=-4.5$，将$y=-4.5$代入解析式：
$-4.5=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x^2=9$，即$x=\pm3$。
此时水面宽度为$3-(-3)=6\ \mathrm{m}$，水面宽度增加了$6-4=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，重点考查数学建模思想，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际几何量转化为二次函数中的坐标进行计算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际拱桥问题的题型，解题核心是通过建立合适的平面直角坐标系，把实际长度转化为坐标，先利用已知条件求出抛物线解析式，再代入水面下降后的纵坐标求出对应的横坐标，进而得到新的水面宽度，最后计算宽度的增量即可。为了简化计算，我们选择将抛物线的顶点（拱顶）设为坐标原点，对称轴为y轴建立坐标系，此时抛物线解析式可设为顶点式$y=ax^2$，计算更简便。
【解析】
解：建立平面直角坐标系，设拱顶（抛物线顶点）为原点$(0,0)$，抛物线对称轴为y轴，开口向下，设抛物线解析式为$y=ax^2$（$a≠0$）。
由题意知，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，此时水面与抛物线的交点坐标为$(2,-2)$，将该点代入解析式得：
$-2=a×2^2$
解得$a=-\frac{1}{2}$，即抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$。
水面下降2.5m后，此时水面的纵坐标为$y=-2-2.5=-4.5$，将$y=-4.5$代入解析式：
$-4.5=-\frac{1}{2}x^2$
解得$x^2=9$，即$x=\pm3$。
此时水面宽度为$3-(-3)=6\ \mathrm{m}$，水面宽度增加了$6-4=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，重点考查数学建模思想，解题关键是合理建立平面直角坐标系，将实际几何量转化为二次函数中的坐标进行计算，整体思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.7
3. (2025·内江)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价$a(60≤ a≤ 100)$元,$W$表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求$W$关于$a$的函数表达式,并求出$W$的最大值.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个?
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价$a(60≤ a≤ 100)$元,$W$表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求$W$关于$a$的函数表达式,并求出$W$的最大值.
答案
解：
(1) 设A款纪念品每个进价为x元，B款纪念品每个进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}200x + 300y = 14000 \\100x + 200y = 8000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + 3y = 140 \\x + 2y = 80\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=40 \\y=20\end{cases}$
(2) 设购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品$(400 - m)$个。
根据题意得：
$40(400 - m) + 20m ≤ 12000$
$16000 - 40m + 20m ≤ 12000$
$-20m ≤ -4000$
解得：$m ≥ 200$
(3) 根据题意，每个A款纪念品的利润为$(a - 40)$元，
销售量为$200 - 5(a - 60) = 500 - 5a$个，
则$W = (a - 40)(500 - 5a)$
整理得：$W = -5a^2 + 700a - 20000 = -5(a - 70)^2 + 4500$
$\because -5 ＜ 0$，且$60 ≤ a ≤ 100$，
$\therefore$ 当$a = 70$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
答：(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $W$关于$a$的函数表达式为$W=-5a^2+700a-20000(60≤ a≤100)$，$W$的最大值为4500元。
(1) 设A款纪念品每个进价为x元，B款纪念品每个进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}200x + 300y = 14000 \\100x + 200y = 8000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + 3y = 140 \\x + 2y = 80\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=40 \\y=20\end{cases}$
(2) 设购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品$(400 - m)$个。
根据题意得：
$40(400 - m) + 20m ≤ 12000$
$16000 - 40m + 20m ≤ 12000$
$-20m ≤ -4000$
解得：$m ≥ 200$
(3) 根据题意，每个A款纪念品的利润为$(a - 40)$元，
销售量为$200 - 5(a - 60) = 500 - 5a$个，
则$W = (a - 40)(500 - 5a)$
整理得：$W = -5a^2 + 700a - 20000 = -5(a - 70)^2 + 4500$
$\because -5 ＜ 0$，且$60 ≤ a ≤ 100$，
$\therefore$ 当$a = 70$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
答：(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $W$关于$a$的函数表达式为$W=-5a^2+700a-20000(60≤ a≤100)$，$W$的最大值为4500元。
解析
【分析】
(1) 第一问求两款纪念品的进价，属于二元一次方程组应用类问题。我们可分别设A、B两款纪念品的进价为x元、y元，根据题目给出的两种进货组合的总花费找到两个等量关系，列出二元一次方程组化简求解即可。
(2) 第二问是一元一次不等式的实际应用，已知总进货资金上限和总进货数量，求B款的最少进货量。我们设购进B款纪念品m个，那么A款进货量就是(400-m)个，结合两款的进价写出总花费的表达式，令其小于等于12000，解不等式时注意不等号两边同时除以负数时要变号，即可得到m的最小取值。
(3) 第三问是二次函数的利润问题，核心公式为：总利润=单个利润×销售量。单个利润为售价a减去A款进价40元；销量的计算：售价60元时销量200个，售价每涨1元销量减少5个，售价为a元时相比原价涨了(a-60)元，因此实际销量为200减去减少的销量，将单个利润和销量相乘即可得到W的表达式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向和a的取值范围，就能求出W的最大值。
【解析】
(1) 设A款纪念品每个进价为x元，B款纪念品每个进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}200x + 300y = 14000 \\100x + 200y = 8000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + 3y = 140 \\x + 2y = 80\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=40 \\y=20\end{cases}$
(2) 设购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品$(400 - m)$个。
根据题意得：
$40(400 - m) + 20m ≤ 12000$
$16000 - 40m + 20m ≤ 12000$
$-20m ≤ -4000$
解得：$m ≥ 200$
(3) 根据题意，每个A款纪念品的利润为$(a - 40)$元，
销售量为$200 - 5(a - 60) = 500 - 5a$个，
则$W = (a - 40)(500 - 5a)$
整理得：$W = -5a^2 + 700a - 20000 = -5(a - 70)^2 + 4500$
$\because -5 ＜ 0$，且$60 ≤ a ≤ 100$，
$\therefore$ 当$a = 70$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $W$关于$a$的函数表达式为$W=-5a^2+700a-20000(60≤ a≤100)$，$W$的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，二次函数利润问题
【点评】
本题结合生活热点设置问题，综合考查了方程、不等式、二次函数三类核心代数知识的实际应用，要求学生能够将实际问题转化为对应的数学模型，熟练掌握相关计算方法和二次函数最值的求解技巧，是应用型题目的典型考法。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问求两款纪念品的进价，属于二元一次方程组应用类问题。我们可分别设A、B两款纪念品的进价为x元、y元，根据题目给出的两种进货组合的总花费找到两个等量关系，列出二元一次方程组化简求解即可。
(2) 第二问是一元一次不等式的实际应用，已知总进货资金上限和总进货数量，求B款的最少进货量。我们设购进B款纪念品m个，那么A款进货量就是(400-m)个，结合两款的进价写出总花费的表达式，令其小于等于12000，解不等式时注意不等号两边同时除以负数时要变号，即可得到m的最小取值。
(3) 第三问是二次函数的利润问题，核心公式为：总利润=单个利润×销售量。单个利润为售价a减去A款进价40元；销量的计算：售价60元时销量200个，售价每涨1元销量减少5个，售价为a元时相比原价涨了(a-60)元，因此实际销量为200减去减少的销量，将单个利润和销量相乘即可得到W的表达式，整理为顶点式后结合二次函数开口方向和a的取值范围，就能求出W的最大值。
【解析】
(1) 设A款纪念品每个进价为x元，B款纪念品每个进价为y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}200x + 300y = 14000 \\100x + 200y = 8000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2x + 3y = 140 \\x + 2y = 80\end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=40 \\y=20\end{cases}$
(2) 设购进B款纪念品m个，则购进A款纪念品$(400 - m)$个。
根据题意得：
$40(400 - m) + 20m ≤ 12000$
$16000 - 40m + 20m ≤ 12000$
$-20m ≤ -4000$
解得：$m ≥ 200$
(3) 根据题意，每个A款纪念品的利润为$(a - 40)$元，
销售量为$200 - 5(a - 60) = 500 - 5a$个，
则$W = (a - 40)(500 - 5a)$
整理得：$W = -5a^2 + 700a - 20000 = -5(a - 70)^2 + 4500$
$\because -5 ＜ 0$，且$60 ≤ a ≤ 100$，
$\therefore$ 当$a = 70$时，$W$取得最大值，最大值为4500元。
【答案】
(1) A款纪念品每个进价为40元，B款纪念品每个进价为20元；
(2) 至少需要购进B款纪念品200个；
(3) $W$关于$a$的函数表达式为$W=-5a^2+700a-20000(60≤ a≤100)$，$W$的最大值为4500元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，二次函数利润问题
【点评】
本题结合生活热点设置问题，综合考查了方程、不等式、二次函数三类核心代数知识的实际应用，要求学生能够将实际问题转化为对应的数学模型，熟练掌握相关计算方法和二次函数最值的求解技巧，是应用型题目的典型考法。
【难度系数】
0.65
