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4. (2025·青岛)小磊和小明练习打网球. 在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.
信息一:在如图11所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(单位:米)与时间$t$(单位:秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为2,纵坐标$y$大于等于1.8时,求$p$的取值范围.
信息一:在如图11所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(单位:米)与时间$t$(单位:秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(单位:米)是球的高度,$x$(单位:米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为2,纵坐标$y$大于等于1.8时,求$p$的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$代入$y=ax^2+bx+1.8$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.8 = 3.2 \\16a + 4b + 1.8 = 4.2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.7 \\4a + b = 0.6\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-0.05 \\ b=0.8\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为：$\boldsymbol{y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8}$。
(2) 设$x$与$t$的一次函数关系式为$x=kt+n$，将$(0,0)$、$(0.4,4)$代入得：
$n=0$，$0.4k=4$，解得$k=10$，即$x=10t$，验证$t=0.6$时$x=6$符合题意。
将$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$配方得：
$y=-0.05(x-8)^2 + 5$
当$x=8$时，$y$取得最大值$5$，
将$x=8$代入$x=10t$，得$t=0.8$。
答：网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$得：
$y=-0.05×16^2 + 0.8×16 + 1.8=1.8$，
即二次函数$y=-0.02x^2+px+m$过点$(16,1.8)$，代入得：
$-0.02×16^2 + 16p + m = 1.8$，整理得$m=6.92-16p$。
当$x=2$时，$y\ge1.8$，代入得：
$-0.02×2^2 + 2p + m \ge 1.8$，
将$m=6.92-16p$代入上式：
$-0.08 + 2p + 6.92 -16p \ge 1.8$，
化简得$6.84 -14p \ge 1.8$，解得$p\le0.36$。
答：$p$的取值范围是$\boldsymbol{p\le0.36}$。
(1) 将点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$代入$y=ax^2+bx+1.8$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.8 = 3.2 \\16a + 4b + 1.8 = 4.2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.7 \\4a + b = 0.6\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=-0.05 \\ b=0.8\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为：$\boldsymbol{y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8}$。
(2) 设$x$与$t$的一次函数关系式为$x=kt+n$，将$(0,0)$、$(0.4,4)$代入得：
$n=0$，$0.4k=4$，解得$k=10$，即$x=10t$，验证$t=0.6$时$x=6$符合题意。
将$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$配方得：
$y=-0.05(x-8)^2 + 5$
当$x=8$时，$y$取得最大值$5$，
将$x=8$代入$x=10t$，得$t=0.8$。
答：网球被击出后经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$得：
$y=-0.05×16^2 + 0.8×16 + 1.8=1.8$，
即二次函数$y=-0.02x^2+px+m$过点$(16,1.8)$，代入得：
$-0.02×16^2 + 16p + m = 1.8$，整理得$m=6.92-16p$。
当$x=2$时，$y\ge1.8$，代入得：
$-0.02×2^2 + 2p + m \ge 1.8$，
将$m=6.92-16p$代入上式：
$-0.08 + 2p + 6.92 -16p \ge 1.8$，
化简得$6.84 -14p \ge 1.8$，解得$p\le0.36$。
答：$p$的取值范围是$\boldsymbol{p\le0.36}$。
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数关系式时，已知二次函数解析式的形式为$y=ax^2+bx+1.8$，且图象经过两个已知点，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可确定函数关系式。
(2) 求网球达到最大高度的时间和最大高度，首先要根据x与t的对应数据，用待定系数法求出x与t的一次函数关系式；再将(1)中的二次函数配方，求出最大高度对应的水平距离x，最后将x代入一次函数换算为时间t即可。
(3) 求p的取值范围，首先计算t=1.6秒时对应的x值和球的高度，得到击回点的坐标，代入新的二次函数解析式，得到m与p的关系式；再根据x=2时y≥1.8的条件，将m替换为含p的式子，解不等式即可得到p的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$代入$y=ax^2+bx+1.8$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.8 = 3.2 \\16a + 4b + 1.8 = 4.2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.7 \\4a + b = 0.6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2a=-0.1$，解得$a=-0.05$，将$a=-0.05$代入$2a+b=0.7$，解得$b=0.8$。
所以$y$与$x$的函数关系式为：$y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8$。
(2) 设$x$与$t$的一次函数关系式为$x=kt+n$，$t=0$时$x=0$，代入得$n=0$，再将$(0.4,4)$代入得$0.4k=4$，解得$k=10$，即$x=10t$，验证可知该式符合给出的对应数据。
将$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$配方得：
$y=-0.05(x-8)^2 + 5$
∵二次项系数$-0.05＜0$，
∴当$x=8$时，$y$取得最大值$5$米。
将$x=8$代入$x=10t$，得$t=0.8$秒。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$得：
$y=-0.05×16^2 + 0.8×16 + 1.8=1.8$
即二次函数$y=-0.02x^2+px+m$过点$(16,1.8)$，代入得：
$-0.02×16^2 + 16p + m = 1.8$，整理得$m=6.92-16p$。
当$x=2$时，$y\ge1.8$，代入解析式得：
$-0.02×2^2 + 2p + m \ge 1.8$
将$m=6.92-16p$代入上式：
$-0.08 + 2p + 6.92 -16p \ge 1.8$
化简得$6.84 -14p \ge 1.8$，解得$p\le0.36$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8}$
(2) 经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
(3) $\boldsymbol{p\le0.36}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，不等式的应用
【点评】
本题结合网球击球的实际场景，综合考查了一次函数、二次函数的性质及应用，要求学生熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能利用二次函数性质求解最值，同时结合不等式求解参数的取值范围，侧重对逻辑推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 求y与x的函数关系式时，已知二次函数解析式的形式为$y=ax^2+bx+1.8$，且图象经过两个已知点，只需将两点坐标代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b即可确定函数关系式。
(2) 求网球达到最大高度的时间和最大高度，首先要根据x与t的对应数据，用待定系数法求出x与t的一次函数关系式；再将(1)中的二次函数配方，求出最大高度对应的水平距离x，最后将x代入一次函数换算为时间t即可。
(3) 求p的取值范围，首先计算t=1.6秒时对应的x值和球的高度，得到击回点的坐标，代入新的二次函数解析式，得到m与p的关系式；再根据x=2时y≥1.8的条件，将m替换为含p的式子，解不等式即可得到p的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$代入$y=ax^2+bx+1.8$，得：
$\begin{cases}4a + 2b + 1.8 = 3.2 \\16a + 4b + 1.8 = 4.2\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a + b = 0.7 \\4a + b = 0.6\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$2a=-0.1$，解得$a=-0.05$，将$a=-0.05$代入$2a+b=0.7$，解得$b=0.8$。
所以$y$与$x$的函数关系式为：$y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8$。
(2) 设$x$与$t$的一次函数关系式为$x=kt+n$，$t=0$时$x=0$，代入得$n=0$，再将$(0.4,4)$代入得$0.4k=4$，解得$k=10$，即$x=10t$，验证可知该式符合给出的对应数据。
将$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$配方得：
$y=-0.05(x-8)^2 + 5$
∵二次项系数$-0.05＜0$，
∴当$x=8$时，$y$取得最大值$5$米。
将$x=8$代入$x=10t$，得$t=0.8$秒。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$得：
$y=-0.05×16^2 + 0.8×16 + 1.8=1.8$
即二次函数$y=-0.02x^2+px+m$过点$(16,1.8)$，代入得：
$-0.02×16^2 + 16p + m = 1.8$，整理得$m=6.92-16p$。
当$x=2$时，$y\ge1.8$，代入解析式得：
$-0.02×2^2 + 2p + m \ge 1.8$
将$m=6.92-16p$代入上式：
$-0.08 + 2p + 6.92 -16p \ge 1.8$
化简得$6.84 -14p \ge 1.8$，解得$p\le0.36$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-0.05x^2 + 0.8x + 1.8}$
(2) 经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
(3) $\boldsymbol{p\le0.36}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，不等式的应用
【点评】
本题结合网球击球的实际场景，综合考查了一次函数、二次函数的性质及应用，要求学生熟练掌握待定系数法求解析式的方法，能利用二次函数性质求解最值，同时结合不等式求解参数的取值范围，侧重对逻辑推理能力和计算能力的考查。
【难度系数】
0.6
