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17. (9分)一次函数 $y=kx+b$ 的图象经过点 $A(1,4)$,$B(-4,-6)$.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若该一次函数的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于 $C(x_1,y_1)$,$D(x_2,y_2)$ 两点,且 $3x_1=-2x_2$,求 $m$ 的值.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若该一次函数的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于 $C(x_1,y_1)$,$D(x_2,y_2)$ 两点,且 $3x_1=-2x_2$,求 $m$ 的值.
答案
解：
(1) 将点$A(1,4)$，$B(-4,-6)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-4k + b = -6\end{cases}$
两式相减得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=4$，得$b=2$。
因此该一次函数的解析式为$y=2x+2$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2 \\y=\dfrac{m}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$2x^2 + 2x - m = 0$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{2} = -1$。
已知$3x_1=-2x_2$，即$x_2=-\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1+x_2=-1$得：
$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，
解得$x_1=2$，则$x_2=-3$。
将$x_1=2$代入$y=2x+2$，得$y_1=6$，即点$C(2,6)$。
将$C(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=2×6=12$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{12}$。
(1) 将点$A(1,4)$，$B(-4,-6)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-4k + b = -6\end{cases}$
两式相减得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=4$，得$b=2$。
因此该一次函数的解析式为$y=2x+2$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2 \\y=\dfrac{m}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$2x^2 + 2x - m = 0$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{2} = -1$。
已知$3x_1=-2x_2$，即$x_2=-\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1+x_2=-1$得：
$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，
解得$x_1=2$，则$x_2=-3$。
将$x_1=2$代入$y=2x+2$，得$y_1=6$，即点$C(2,6)$。
将$C(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=2×6=12$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{12}$。
解析
【分析】
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知一次函数图象经过两个点，将两点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到一次函数解析式。
(2) 两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立一次函数与反比例函数的解析式，消去$y$后可得到关于$x$的一元二次方程。根据一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根$x_1$、$x_2$的和，再结合题目给出的$3x_1=-2x_2$的数量关系，即可求出$x_1$、$x_2$的具体值，将其中一个交点坐标代入反比例函数解析式就能求出$m$的值。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$，$B(-4,-6)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-4k + b = -6\end{cases}$
两式相减得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=4$，得$b=2$。
因此该一次函数的解析式为$y=2x+2$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2 \\y=\dfrac{m}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$2x^2 + 2x - m = 0$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{2} = -1$。
已知$3x_1=-2x_2$，即$x_2=-\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1+x_2=-1$得：
$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，
解得$x_1=2$，则$x_2=-3$。
将$x_1=2$代入$y=2x+2$，得$y_1=6$，即点$C(2,6)$。
将$C(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=2×6=12$。
【答案】
(1) $y=2x+2$；(2) $12$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；函数交点问题；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于函数综合类常规考题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解函数交点坐标与联立后方程的根的对应关系，能灵活运用根与系数的关系简化计算。
【难度系数】
0.75
(1) 求一次函数解析式可采用待定系数法：已知一次函数图象经过两个点，将两点坐标代入$y=kx+b$，就能得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$k$、$b$的值，即可得到一次函数解析式。
(2) 两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立一次函数与反比例函数的解析式，消去$y$后可得到关于$x$的一元二次方程。根据一元二次方程根与系数的关系可直接得到两根$x_1$、$x_2$的和，再结合题目给出的$3x_1=-2x_2$的数量关系，即可求出$x_1$、$x_2$的具体值，将其中一个交点坐标代入反比例函数解析式就能求出$m$的值。
【解析】
(1) 将点$A(1,4)$，$B(-4,-6)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k + b = 4 \\-4k + b = -6\end{cases}$
两式相减得$5k=10$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=4$，得$b=2$。
因此该一次函数的解析式为$y=2x+2$。
(2) 联立一次函数与反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=2x+2 \\y=\dfrac{m}{x}\end{cases}$
消去$y$并整理，得$2x^2 + 2x - m = 0$。
由一元二次方程根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{2} = -1$。
已知$3x_1=-2x_2$，即$x_2=-\dfrac{3}{2}x_1$，代入$x_1+x_2=-1$得：
$x_1 - \dfrac{3}{2}x_1 = -1$，
解得$x_1=2$，则$x_2=-3$。
将$x_1=2$代入$y=2x+2$，得$y_1=6$，即点$C(2,6)$。
将$C(2,6)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$m=2×6=12$。
【答案】
(1) $y=2x+2$；(2) $12$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；函数交点问题；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于函数综合类常规考题，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解函数交点坐标与联立后方程的根的对应关系，能灵活运用根与系数的关系简化计算。
【难度系数】
0.75
18.(9分)如图10,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$与一次函数$y=mx+2$的图象交于点$A(4,6)$,$B$是反比例函数图象上一点,$BC⊥x$轴于点$C$,交一次函数的图象于点$D$,连接$AB$.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=mx+2$的解析式;
(2)当$OC=8$时,求$△ ABD$的面积.
(1)求反比例函数$y=\frac{k}{x}$与一次函数$y=mx+2$的解析式;
(2)当$OC=8$时,求$△ ABD$的面积.
答案
解：
(1) 将点$A(4,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{4}$，
解得$k=24$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$。
将点$A(4,6)$代入一次函数$y=mx+2$，得
$6=4m+2$，
解得$m=1$，
因此一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 由$OC=8$，$BC⊥ x$轴可知，点$B$、$D$的横坐标均为8。
将$x=8$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{8}=3$，即$B(8,3)$。
将$x=8$代入$y=x+2$，得$y=8+2=10$，即$D(8,10)$。
因此$BD=10-3=7$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$8-4=4$，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×7×4=14$。
综上，(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$，一次函数解析式为$y=x+2$；(2) $△ ABD$的面积为14。
(1) 将点$A(4,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{4}$，
解得$k=24$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$。
将点$A(4,6)$代入一次函数$y=mx+2$，得
$6=4m+2$，
解得$m=1$，
因此一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 由$OC=8$，$BC⊥ x$轴可知，点$B$、$D$的横坐标均为8。
将$x=8$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{8}=3$，即$B(8,3)$。
将$x=8$代入$y=x+2$，得$y=8+2=10$，即$D(8,10)$。
因此$BD=10-3=7$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$8-4=4$，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×7×4=14$。
综上，(1) 反比例函数解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$，一次函数解析式为$y=x+2$；(2) $△ ABD$的面积为14。
解析
【分析】
（1）求函数解析式可采用待定系数法，已知反比例函数和一次函数均经过点A(4,6)，将A点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数k和m，进而得到两个函数的解析式。
（2）由OC=8且BC垂直x轴可知，点B和点D的横坐标均为8，将x=8分别代入两个函数解析式可求出B、D的坐标，进而得到竖直线段BD的长度；△ABD以BD为底，点A到直线BD的水平距离就是三角形的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 将点$A(4,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{4}$，
解得$k=24$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$。
将点$A(4,6)$代入一次函数$y=mx+2$，得
$6=4m+2$，
解得$m=1$，
因此一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 由$OC=8$，$BC⊥ x$轴可知，点$B$、$D$的横坐标均为8。
将$x=8$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{8}=3$，即$B(8,3)$。
将$x=8$代入$y=x+2$，得$y=8+2=10$，即$D(8,10)$。
因此$BD=10-3=7$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$8-4=4$，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×7×4=14$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{24}{x}(x＞0)}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) $△ ABD$的面积为$\boldsymbol{14}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心考查待定系数法的应用以及平面直角坐标系中线段长度、三角形面积的计算方法，解题的关键是明确函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，竖直线段的长度为两点纵坐标之差，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式可采用待定系数法，已知反比例函数和一次函数均经过点A(4,6)，将A点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数k和m，进而得到两个函数的解析式。
（2）由OC=8且BC垂直x轴可知，点B和点D的横坐标均为8，将x=8分别代入两个函数解析式可求出B、D的坐标，进而得到竖直线段BD的长度；△ABD以BD为底，点A到直线BD的水平距离就是三角形的高，代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 将点$A(4,6)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$6=\frac{k}{4}$，
解得$k=24$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{24}{x}(x＞0)$。
将点$A(4,6)$代入一次函数$y=mx+2$，得
$6=4m+2$，
解得$m=1$，
因此一次函数的解析式为$y=x+2$。
(2) 由$OC=8$，$BC⊥ x$轴可知，点$B$、$D$的横坐标均为8。
将$x=8$代入$y=\frac{24}{x}$，得$y=\frac{24}{8}=3$，即$B(8,3)$。
将$x=8$代入$y=x+2$，得$y=8+2=10$，即$D(8,10)$。
因此$BD=10-3=7$。
点$A$到直线$BD$的水平距离为$8-4=4$，
则$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD × 4=\frac{1}{2}×7×4=14$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{24}{x}(x＞0)}$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) $△ ABD$的面积为$\boldsymbol{14}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数综合，坐标系中三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，核心考查待定系数法的应用以及平面直角坐标系中线段长度、三角形面积的计算方法，解题的关键是明确函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，竖直线段的长度为两点纵坐标之差，熟练掌握基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
19. (9分)如图 
,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点E,与AB交于点F.
(1)若点B的坐标为$(-6,0)$,求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的解析式;
(2)若$AF - AE = 2$,求反比例函数的解析式.
,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点E,与AB交于点F.(1)若点B的坐标为$(-6,0)$,求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的解析式;
(2)若$AF - AE = 2$,求反比例函数的解析式.
答案
解：
(1) 由矩形ABCD，点B坐标为(-6,0)，AD=3，AB=8，可得：
A(-6,8)，C(-6+3,0)即C(-3,0)，D(-3,8)。
∵E是DC的中点，
∴E(-3,4)。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$经过点E，
∴$4=\frac{m}{-3}$，解得m=-12。
设经过A,E两点的一次函数解析式为y=kx+b，将A(-6,8)，E(-3,4)代入得：
$\begin{cases}-6k + b = 8 \\-3k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3} \\b=0 \end{cases}$∴一次函数的解析式为$y=-\frac{4}{3}x$。(2) 在Rt△ ADE中，AD=3，$DE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=4$，∴$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。∵AF - AE = 2，∴AF=5+2=7。设点B的坐标为(t,0)，则A(t,8)，F(t,8-7)即F(t,1)，C(t+3,0)，E(t+3,4)。∵点F,E都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，∴t×1=(t+3)×4，解得t=-4。∴m = t×1 = -4，∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
(1) 由矩形ABCD，点B坐标为(-6,0)，AD=3，AB=8，可得：
A(-6,8)，C(-6+3,0)即C(-3,0)，D(-3,8)。
∵E是DC的中点，
∴E(-3,4)。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$经过点E，
∴$4=\frac{m}{-3}$，解得m=-12。
设经过A,E两点的一次函数解析式为y=kx+b，将A(-6,8)，E(-3,4)代入得：
$\begin{cases}-6k + b = 8 \\-3k + b = 4 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3} \\b=0 \end{cases}$∴一次函数的解析式为$y=-\frac{4}{3}x$。(2) 在Rt△ ADE中，AD=3，$DE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=4$，∴$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。∵AF - AE = 2，∴AF=5+2=7。设点B的坐标为(t,0)，则A(t,8)，F(t,8-7)即F(t,1)，C(t+3,0)，E(t+3,4)。∵点F,E都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，∴t×1=(t+3)×4，解得t=-4。∴m = t×1 = -4，∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
解析
【分析】
(1) 先根据矩形的边长和点B的坐标，依次求出点A、C、D的坐标，再结合E是DC中点求出E的坐标；将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值；最后利用待定系数法，把A、E两点坐标代入一次函数一般式，解方程组得到一次函数解析式。
(2) 首先在Rt△ADE中用勾股定理求出AE的长度，结合AF-AE=2求出AF的长度；设点B的坐标为(t,0)，用含t的式子表示出F、E两点的坐标，再根据F、E都在反比例函数图象上，两点的横纵坐标乘积相等（都等于m）列方程，解出t的值后即可求出m，得到反比例函数解析式。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，点B坐标为$(-6,0)$，$AD=3$，$AB=8$，
∴$A(-6,8)$，$C(-6+3,0)=(-3,0)$，$D(-3,8)$。
∵E是DC的中点，
∴E点纵坐标为DC长度的一半，即$E(-3,4)$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点E，
∴将$E(-3,4)$代入得：$4=\frac{m}{-3}$，解得$m=-12$。
设经过A、E两点的一次函数解析式为$y=kx+b$，将$A(-6,8)$、$E(-3,4)$代入得：
$\begin{cases}-6k + b = 8 \\-3k + b = 4 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=-4$，解得$k=-\frac{4}{3}$，
将$k=-\frac{4}{3}$代入$-3k + b = 4$得：$4 + b = 4$，解得$b=0$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{4}{3}x$。
(2) 在Rt△ADE中，$AD=3$，$DE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$AF - AE = 2$，
∴$AF=5+2=7$，则点F的纵坐标为$8-7=1$。
设点B的坐标为$(t,0)$，则$A(t,8)$，$F(t,1)$，$C(t+3,0)$，$E(t+3,4)$。
∵点F、E都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴两点横纵坐标的乘积相等，即$t×1=(t+3)×4$，
解方程得：$t=4t+12$，$-3t=12$，解得$t=-4$。
∴$m = t×1 = -4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) $m=-12$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x}$；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{x}}$。
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的常规综合题，既考查了平面直角坐标系中坐标的表示、勾股定理的应用，也考查了利用函数图象上点的坐标特征列方程求解的方法，解题的关键是正确表示出各点的坐标，灵活运用反比例函数$k=xy$的性质。
【难度系数】
0.65
(1) 先根据矩形的边长和点B的坐标，依次求出点A、C、D的坐标，再结合E是DC中点求出E的坐标；将E点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值；最后利用待定系数法，把A、E两点坐标代入一次函数一般式，解方程组得到一次函数解析式。
(2) 首先在Rt△ADE中用勾股定理求出AE的长度，结合AF-AE=2求出AF的长度；设点B的坐标为(t,0)，用含t的式子表示出F、E两点的坐标，再根据F、E都在反比例函数图象上，两点的横纵坐标乘积相等（都等于m）列方程，解出t的值后即可求出m，得到反比例函数解析式。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，点B坐标为$(-6,0)$，$AD=3$，$AB=8$，
∴$A(-6,8)$，$C(-6+3,0)=(-3,0)$，$D(-3,8)$。
∵E是DC的中点，
∴E点纵坐标为DC长度的一半，即$E(-3,4)$。
∵反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象经过点E，
∴将$E(-3,4)$代入得：$4=\frac{m}{-3}$，解得$m=-12$。
设经过A、E两点的一次函数解析式为$y=kx+b$，将$A(-6,8)$、$E(-3,4)$代入得：
$\begin{cases}-6k + b = 8 \\-3k + b = 4 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=-4$，解得$k=-\frac{4}{3}$，
将$k=-\frac{4}{3}$代入$-3k + b = 4$得：$4 + b = 4$，解得$b=0$，
∴一次函数的解析式为$y=-\frac{4}{3}x$。
(2) 在Rt△ADE中，$AD=3$，$DE=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=4$，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AD^2 + DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵$AF - AE = 2$，
∴$AF=5+2=7$，则点F的纵坐标为$8-7=1$。
设点B的坐标为$(t,0)$，则$A(t,8)$，$F(t,1)$，$C(t+3,0)$，$E(t+3,4)$。
∵点F、E都在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
∴两点横纵坐标的乘积相等，即$t×1=(t+3)×4$，
解方程得：$t=4t+12$，$-3t=12$，解得$t=-4$。
∴$m = t×1 = -4$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{4}{x}$。
【答案】
(1) $m=-12$，一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x}$；
(2) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{x}}$。
【知识点】
矩形的性质；反比例函数的性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是反比例函数与矩形结合的常规综合题，既考查了平面直角坐标系中坐标的表示、勾股定理的应用，也考查了利用函数图象上点的坐标特征列方程求解的方法，解题的关键是正确表示出各点的坐标，灵活运用反比例函数$k=xy$的性质。
【难度系数】
0.65
