二、填空题(每小题3分,共15分)
11.已知反比例函数$y=\frac{3k-1}{x}$的图象经过点(1,2),则k的值为.

$\boldsymbol{1}$

【分析】
要解决这道题，核心依据是“函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式”。已知反比例函数图象经过点(1,2)，我们只需将点的横、纵坐标代入反比例函数解析式，就能得到关于k的一元一次方程，解此方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{3k-1}{x}$的图象经过点$(1,2)$
∴ 将$x=1$，$y=2$代入函数解析式，可得：
$2=\frac{3k-1}{1}$
化简得：$3k-1=2$
移项计算得：$3k=3$
解得：$k=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查函数图象上的点与解析式的对应关系，解题关键是熟练运用代入法建立方程，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9

12. (2025·南京)已知反比例函数$y=\frac{6}{x}$,则当$1≤x≤3$时,$\frac{y}{x}$的最小值是.

$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$

【分析】
要计算$1≤x≤3$时$\frac{y}{x}$的最小值，首先可利用已知的反比例函数解析式，将$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$，消去y得到仅含x的代数式；再分析该代数式在x的取值范围内的增减性，根据增减性找到取最小值时对应的x值，代入计算即可得到结果。
【解析】
1. 化简$\frac{y}{x}$的表达式：
将$y=\frac{6}{x}$代入$\frac{y}{x}$，可得：
$\frac{y}{x}=\frac{\frac{6}{x}}{x}=\frac{6}{x^2}$
2. 分析增减性：
当$x＞0$时，$x^2$随x的增大而增大，因此$\frac{6}{x^2}$随x的增大而减小。
3. 求最小值：
已知$1≤x≤3$，当x取最大值3时，$\frac{y}{x}$取得最小值，将x=3代入得：
最小值为$\frac{6}{3^2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 函数增减性的应用
3. 代数式化简求值
【点评】
本题属于基础类题型，解题的核心是将双变量的待求式转化为单变量的表达式，再结合函数的增减性快速锁定最值对应的自变量取值，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7

13. 如图6,已知一次函数$y=kx-3(k≠0)$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,与反比例函数$y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$交于$C$点,且$AB=AC$,则$k$的值为.

$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$

【分析】
解题思路如下：①先求一次函数与y轴的交点B的坐标，令x=0代入一次函数解析式即可得到；②由AB=AC且A、B、C三点共线，可知A是线段BC的中点；③利用中点坐标的性质，结合A点在x轴上（纵坐标为0），可求出点C的纵坐标；④将C点纵坐标代入反比例函数解析式，求出C点的横坐标，得到C点完整坐标；⑤最后将C点坐标代入一次函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
解：1. 求点B的坐标：
对于一次函数$y=kx-3$，令$x=0$，得$y=-3$，所以B点坐标为$(0,-3)$。
2. 推导点C的纵坐标：
因为A是一次函数与x轴的交点，所以A点纵坐标为0。
又因为$AB=AC$，且A、B、C三点在同一直线上，所以A为线段BC的中点。
根据中点坐标公式，中点纵坐标为$\frac{y_B + y_C}{2}$，代入已知得$0=\frac{-3 + y_C}{2}$，解得$y_C=3$。
3. 求点C的坐标：
因为点C在反比例函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$上，将$y_C=3$代入得$3=\frac{12}{x}$，解得$x=4$，所以C点坐标为$(4,3)$。
4. 求k的值：
将C$(4,3)$代入一次函数$y=kx-3$，得$3=4k - 3$，解得$4k=6$，即$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}}$
【知识点】
一次函数的图象与性质；反比例函数的图象与性质；中点坐标公式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题的突破口是利用线段相等且共线的条件判断出A为BC中点，进而快速求出C点坐标，较好地考察了数形结合的思想和代数与几何知识结合应用的能力。
【难度系数】
0.6

14. 如图7,正方形ABCD的边长为2,AD边在x轴负半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点B和CD边的中点E,则k的值为.

图6 图7 图8

$\boldsymbol{-4}$

【分析】
本题是反比例函数与正方形结合的坐标求解问题，解题核心是利用正方形的性质表示出反比例函数上两个点的坐标，再结合反比例函数的性质列方程求解。首先根据正方形边长为2，可确定点B的纵坐标为2，我们设点B的横坐标为t（t＜0），即可写出B点坐标；再结合AD的长度和方向、E是CD中点的条件，推导出E点的坐标表达式；最后根据两点都在反比例函数图象上，横纵坐标的乘积都等于k，列方程求出t后即可计算k值。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，
∴点B的纵坐标为2，设点B的坐标为$(t,2)$（$t＜0$），
∴点A的坐标为$(t,0)$，
∵AD长为2，沿x轴负方向延伸，
∴点D的坐标为$(t-2,0)$，点C的坐标为$(t-2,2)$，
∵E是CD边的中点，CD垂直于x轴，
∴E点的纵坐标为$\frac{0+2}{2}=1$，横坐标与C、D一致，即$E(t-2,1)$，
∵点B和E都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，由$k=xy$可得：
$\begin{cases}k=2t \\ k=1×(t-2) \end{cases}$
联立方程得：$2t = t - 2$，
解得$t=-2$，
代入得$k=2t=2×(-2)=-4$。
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
反比例函数的性质，正方形的性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，需要学生熟练掌握正方形的边长、边的位置关系和反比例函数$k=xy$的性质，学会用未知数表示动点坐标，再列方程求解，是中考常考的题型。
【难度系数】
0.7

15. 如图8,点$A(-2,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,点$M$在$x$轴的正半轴上,点$N$在$y$轴的负半轴上,且$OM=ON=5$. 点$P(x,y)$是线段$MN$上一动点,过点$A$和$P$分别作$x$轴的垂线,垂足分别为点$D$和$E$,连接$OA,OP$. 当$S_{△ OAD}＜S_{△ OPE}$时,$x$的取值范围是.

解：
把点$A(-2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-2}$，解得$k=-4$。
因此$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×4=2$。
由$OM=ON=5$，点$M$在$x$轴正半轴，点$N$在$y$轴负半轴，得$M(5,0)$，$N(0,-5)$。
设直线$MN$的解析式为$y=ax+b$，将$M$、$N$坐标代入得：
$\begin{cases}5a + b = 0\\b = -5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-5\end{cases}$，即直线$MN$的解析式为$y=x-5$。
点$P(x,y)$在线段$MN$上，故$0≤ x≤5$，$y=x-5＜0$。
$OE=x$，$PE=|y|=5-x$，因此：
$S_{△ OPE}=\frac{1}{2}· OE· PE=\frac{1}{2}x(5-x)$
由$S_{△ OAD}＜S_{△ OPE}$，得：
$2 ＜ \frac{1}{2}x(5-x)$
整理得$x^2 -5x +4 ＜0$，因式分解得$(x-1)(x-4)＜0$，解得$1＜x＜4$，符合$0≤ x≤5$的取值范围。
故$x$的取值范围是$\boldsymbol{1＜x＜4}$。

【分析】
解题可按以下思路逐步推进：①首先利用点A在反比例函数图象上的条件求出k值，再结合反比例函数k的几何意义算出△OAD的面积；②根据OM=ON=5以及M、N的坐标轴位置确定两点坐标，用待定系数法求出线段MN所在直线的解析式；③由于点P在线段MN上，可将P的纵坐标用含x的式子表示，结合P的位置表示出△OPE的面积；④根据题目给出的面积不等关系列不等式，求解后结合线段MN上x的取值范围筛选得到最终结果。
【解析】
1. 求反比例函数参数及△OAD的面积
把点$A(-2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{-2}$，解得$k=-4$。
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ OAD}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 求直线MN的解析式
由$OM=ON=5$，点M在x轴正半轴、点N在y轴负半轴，得$M(5,0)$，$N(0,-5)$。
设直线MN的解析式为$y=ax+b$，将M、N坐标代入得方程组：
$\begin{cases}5a + b = 0\\b = -5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-5\end{cases}$，即直线MN的解析式为$y=x-5$。
3. 用x表示△OPE的面积
点$P(x,y)$在线段MN上，故x的取值范围为$0≤x≤5$，且$y=x-5＜0$。
则$OE=x$，$PE=|y|=5-x$，因此$S_{△ OPE}=\frac{1}{2}·OE·PE=\frac{1}{2}x(5-x)$。
4. 解不等式求x的范围
由$S_{△ OAD}＜S_{△ OPE}$，得$2 ＜ \frac{1}{2}x(5-x)$。
整理得$x^2 -5x +4 ＜0$，因式分解得$(x-1)(x-4)＜0$，解得$1＜x＜4$，符合$0≤ x≤5$的取值限制。
【答案】
$\boldsymbol{1＜x＜4}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；待定系数法求一次函数解析式；一元二次不等式的解法
【点评】
本题是函数与不等式结合的综合题，既考查了函数基本性质的应用，也考查了运算求解能力，解题核心是用含x的代数式表示出△OPE的面积，再结合不等关系建立不等式求解，属于中档常考题。
【难度系数】
0.6

三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图9所示.
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围).
(2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I.

解：
(1) 设这个反比例函数的解析式为 $I=\frac{k}{R}(k≠0)$。
将图象上的点 $(9,4)$ 代入解析式，得：
$4=\frac{k}{9}$
解得 $k=36$。
所以这个反比例函数的解析式为 $I=\frac{36}{R}$。
(2) 把 $R=3$ 代入 $I=\frac{36}{R}$，得：
$I=\frac{36}{3}=12$
答：此时的电流 $I$ 为 $12\ \mathrm{A}$。

【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：(1) 已知电流I与电阻R是反比例函数关系，首先设出反比例函数的一般形式$I=\frac{k}{R}(k≠0)$，再结合图象给出的点坐标$(9,4)$，利用待定系数法将点代入解析式，即可求出未知系数$k$，得到函数解析式；(2) 要求$R=3\ \Omega$时的电流$I$，只需将$R=3$代入第一问求出的解析式中，计算即可得到对应的$I$值。
【解析】
(1) 设这个反比例函数的解析式为 $I=\frac{k}{R}(k≠0)$。
将图象上的点 $(9,4)$ 代入解析式，得：
$4=\frac{k}{9}$
解得 $k=36$。
所以这个反比例函数的解析式为 $I=\frac{36}{R}$。
(2) 把 $R=3$ 代入 $I=\frac{36}{R}$，得：
$I=\frac{36}{3}=12$
即此时的电流I为12 A。
【答案】
(1) $I=\frac{36}{R}$；
(2) $12\ \mathrm{A}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；代入法求函数值
【点评】
本题是反比例函数与电学知识结合的跨学科基础题，解题的核心是从图象中提取有效坐标信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入自变量计算对应函数值，整体计算量小，逻辑清晰，只要掌握反比例函数的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8