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20. (9分)如图12,一次函数$y=-x+b$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(m,3)$和$B(3,1)$.
(1)填空:一次函数的解析式为________;反比例函数的解析式为________.
(2)$P$是线段$AB$上的一点,过点$P$作$PD ⊥ x$轴于点$D$,连接$OP$,若$△ POD$的面积为$S$,求$S$的取值范围.
(1)填空:一次函数的解析式为________;反比例函数的解析式为________.
(2)$P$是线段$AB$上的一点,过点$P$作$PD ⊥ x$轴于点$D$,连接$OP$,若$△ POD$的面积为$S$,求$S$的取值范围.
答案
解：
(1) 将点$B(3,1)$代入$y=-x+b$，得$1=-3+b$，解得$b=4$，因此一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-x+4}$；
将点$B(3,1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，因此反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$。
(2) 将点$A(m,3)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$3=\dfrac{3}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,3)$。
设点$P$的坐标为$(x,y)$，因为$P$是线段$AB$上的点，所以$1≤ x≤ 3$，且$y=-x+4$。
由$PD⊥ x$轴，得$OD=x$，$PD=y$，因此$△ POD$的面积：
$S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}xy$
将$y=-x+4$代入上式，得：
$S=\dfrac{1}{2}x(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
因为二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，所以当$x=2$时，$S$取得最大值$2$；
当$x=1$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(1-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(3-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$。
因此$S$的取值范围是$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2}$。
(1) 将点$B(3,1)$代入$y=-x+b$，得$1=-3+b$，解得$b=4$，因此一次函数的解析式为$\boldsymbol{y=-x+4}$；
将点$B(3,1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，因此反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$。
(2) 将点$A(m,3)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$3=\dfrac{3}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,3)$。
设点$P$的坐标为$(x,y)$，因为$P$是线段$AB$上的点，所以$1≤ x≤ 3$，且$y=-x+4$。
由$PD⊥ x$轴，得$OD=x$，$PD=y$，因此$△ POD$的面积：
$S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}xy$
将$y=-x+4$代入上式，得：
$S=\dfrac{1}{2}x(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
因为二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，所以当$x=2$时，$S$取得最大值$2$；
当$x=1$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(1-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(3-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$。
因此$S$的取值范围是$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2}$。
解析
【分析】
（1）求函数解析式可采用待定系数法，已知一次函数与反比例函数均过点$B(3,1)$，将$B$点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数$b$和$k$，进而得到两个函数的解析式。
（2）首先求点$A$的坐标：点$A$在反比例函数图象上，代入$y=3$可求出$m$的值，得到$A$点横坐标后，即可确定线段$AB$上点$P$的横坐标$x$的取值范围为$1≤ x≤3$。设$P$点横坐标为$x$，其纵坐标可由一次函数表达式表示为$y=-x+4$，$△ POD$为直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}× OD× PD=\frac{1}{2}xy$，代入$y$的表达式可将$S$转化为关于$x$的二次函数，结合$x$的取值范围求出二次函数在该区间内的最大值和最小值，即可得到$S$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$B(3,1)$代入$y=-x+b$，得：
$1=-3+b$，解得$b=4$，
因此一次函数的解析式为$y=-x+4$；
将点$B(3,1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
(2) 将点$A(m,3)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得：
$3=\dfrac{3}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,3)$。
因为$P$是线段$AB$上的点，所以$P$的横坐标取值范围为$1≤ x≤ 3$，且$P$的纵坐标满足$y=-x+4$。
由$PD⊥ x$轴，得$OD=x$，$PD=y$，因此$△ POD$的面积：
$S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}xy$
将$y=-x+4$代入上式，得：
$S=\dfrac{1}{2}x(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
因为二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，所以当$x=2$时，$S$取得最大值$2$；
代入区间端点计算：
当$x=1$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(1-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(3-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$。
因此$S$的取值范围是$\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；$y=\dfrac{3}{x}$
(2) $\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数交点的应用以及闭区间内二次函数的最值求解，属于函数模块的常规综合题型，熟练掌握各类函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.65
（1）求函数解析式可采用待定系数法，已知一次函数与反比例函数均过点$B(3,1)$，将$B$点坐标分别代入两个函数表达式，即可求出未知参数$b$和$k$，进而得到两个函数的解析式。
（2）首先求点$A$的坐标：点$A$在反比例函数图象上，代入$y=3$可求出$m$的值，得到$A$点横坐标后，即可确定线段$AB$上点$P$的横坐标$x$的取值范围为$1≤ x≤3$。设$P$点横坐标为$x$，其纵坐标可由一次函数表达式表示为$y=-x+4$，$△ POD$为直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}× OD× PD=\frac{1}{2}xy$，代入$y$的表达式可将$S$转化为关于$x$的二次函数，结合$x$的取值范围求出二次函数在该区间内的最大值和最小值，即可得到$S$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$B(3,1)$代入$y=-x+b$，得：
$1=-3+b$，解得$b=4$，
因此一次函数的解析式为$y=-x+4$；
将点$B(3,1)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=3$，
因此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}$。
(2) 将点$A(m,3)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得：
$3=\dfrac{3}{m}$，解得$m=1$，即$A(1,3)$。
因为$P$是线段$AB$上的点，所以$P$的横坐标取值范围为$1≤ x≤ 3$，且$P$的纵坐标满足$y=-x+4$。
由$PD⊥ x$轴，得$OD=x$，$PD=y$，因此$△ POD$的面积：
$S=\dfrac{1}{2}· OD· PD=\dfrac{1}{2}xy$
将$y=-x+4$代入上式，得：
$S=\dfrac{1}{2}x(-x+4)=-\dfrac{1}{2}x^2+2x=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
因为二次项系数$-\dfrac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，所以当$x=2$时，$S$取得最大值$2$；
代入区间端点计算：
当$x=1$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(1-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$；
当$x=3$时，$S=-\dfrac{1}{2}×(3-2)^2+2=\dfrac{3}{2}$。
因此$S$的取值范围是$\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2$。
【答案】
(1) $y=-x+4$；$y=\dfrac{3}{x}$
(2) $\dfrac{3}{2}≤ S≤ 2$
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是一次函数、反比例函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数交点的应用以及闭区间内二次函数的最值求解，属于函数模块的常规综合题型，熟练掌握各类函数的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.65
21. (10分)通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化,上课开始时,学生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标y随时间x(单位:分)变化的函数图象如图13所示,当0≤x＜10和10≤x＜20时,图象是线段;当20≤x≤45时,图象是反比例函数的一部分.
(1)求点A对应的指标值.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36?请说明理由.
(1)求点A对应的指标值.
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标都不低于36?请说明理由.
答案
解：
(1) 当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $。
将点$ C(20, 45) $代入解析式，得：
$ 45 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 900 $，
因此反比例函数的解析式为$ y = \frac{900}{x} $。
将$ x = 45 $代入$ y = \frac{900}{x} $，得$ y = \frac{900}{45} = 20 $，
即点$ D $的坐标为$ (45, 20) $。
由图可知点$ A $与点$ D $的纵坐标相等，且点$ A $在$ x=0 $处，
因此点$ A $对应的指标值为20。
(2) 张老师能经过适当安排，使学生听题时注意力指标都不低于36，理由如下：
当$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，设线段$ AB $对应的函数解析式为$ y = mx + n $。
将$ A(0, 20) $、$ B(10, 45) $代入，得：
$\begin{cases}n = 20 \\10m + n = 45\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ n = 20 \end{cases} $，
即$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，函数解析式为$ y = \frac{5}{2}x + 20 $。
令$ y = 36 $，则$ \frac{5}{2}x + 20 = 36 $，解得$ x = 6.4 $。
当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，在反比例函数$ y = \frac{900}{x} $中令$ y = 36 $，
得$ 36 = \frac{900}{x} $，解得$ x = 25 $。
因此注意力指标不低于36对应的时间范围是$ 6.4 ≤ x ≤ 25 $，
该区间的时长为$ 25 - 6.4 = 18.6 $分钟，
因为$ 18.6 ＞ 17 $，所以张老师可以适当安排，使学生听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
(1) 当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $。
将点$ C(20, 45) $代入解析式，得：
$ 45 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 900 $，
因此反比例函数的解析式为$ y = \frac{900}{x} $。
将$ x = 45 $代入$ y = \frac{900}{x} $，得$ y = \frac{900}{45} = 20 $，
即点$ D $的坐标为$ (45, 20) $。
由图可知点$ A $与点$ D $的纵坐标相等，且点$ A $在$ x=0 $处，
因此点$ A $对应的指标值为20。
(2) 张老师能经过适当安排，使学生听题时注意力指标都不低于36，理由如下：
当$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，设线段$ AB $对应的函数解析式为$ y = mx + n $。
将$ A(0, 20) $、$ B(10, 45) $代入，得：
$\begin{cases}n = 20 \\10m + n = 45\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ n = 20 \end{cases} $，
即$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，函数解析式为$ y = \frac{5}{2}x + 20 $。
令$ y = 36 $，则$ \frac{5}{2}x + 20 = 36 $，解得$ x = 6.4 $。
当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，在反比例函数$ y = \frac{900}{x} $中令$ y = 36 $，
得$ 36 = \frac{900}{x} $，解得$ x = 25 $。
因此注意力指标不低于36对应的时间范围是$ 6.4 ≤ x ≤ 25 $，
该区间的时长为$ 25 - 6.4 = 18.6 $分钟，
因为$ 18.6 ＞ 17 $，所以张老师可以适当安排，使学生听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
解析
【分析】
(1) 观察图象可知点A与点D的纵坐标相等，因此先求解20≤x≤45段的反比例函数解析式：已知该段过点C(20,45)，代入反比例函数一般式求出k值，再将x=45代入解析式得到D点纵坐标，即为点A对应的指标值。
(2) 要判断17分钟的讲解能否保证注意力指标都不低于36，需先求出注意力指标不低于36的时间区间：首先求解0≤x＜10段线段AB的一次函数解析式，分别在一次函数和反比例函数中令y=36，求出对应的x值，计算两个x值的差得到符合要求的最长时长，与17分钟比较即可得出结论。
【解析】
(1) 当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $。
将点$ C(20, 45) $代入解析式，得：
$ 45 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 900 $，
因此反比例函数的解析式为$ y = \frac{900}{x} $。
将$ x = 45 $代入$ y = \frac{900}{x} $，得$ y = \frac{900}{45} = 20 $，
即点$ D $的坐标为$ (45, 20) $。
由图可知点$ A $与点$ D $的纵坐标相等，且点$ A $在$ x=0 $处，
因此点$ A $对应的指标值为20。
(2) 张老师能经过适当安排，使学生听题时注意力指标都不低于36，理由如下：
当$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，设线段$ AB $对应的函数解析式为$ y = mx + n $。
将$ A(0, 20) $、$ B(10, 45) $代入，得：
$\begin{cases}n = 20 \\10m + n = 45\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ n = 20 \end{cases} $，
即$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，函数解析式为$ y = \frac{5}{2}x + 20 $。
令$ y = 36 $，则$ \frac{5}{2}x + 20 = 36 $，解得$ x = 6.4 $。
当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，在反比例函数$ y = \frac{900}{x} $中令$ y = 36 $，
得$ 36 = \frac{900}{x} $，解得$ x = 25 $。
因此注意力指标不低于36对应的时间范围是$ 6.4 ≤ x ≤ 25 $，
该区间的时长为$ 25 - 6.4 = 18.6 $分钟，
因为$ 18.6 ＞ 17 $，所以张老师可以适当安排，使学生听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{能}$，理由：注意力指标不低于36的最长连续时长为18.6分钟，大于需要的17分钟，因此可以适当安排。
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 反比例函数的应用
3. 分段函数的应用
【点评】
本题结合课堂注意力变化的实际场景，考查分段函数的实际应用，要求学生能够从函数图象中提取有效信息，熟练求解一次函数和反比例函数的解析式，通过计算临界值解决实际问题，兼顾了对读图能力、计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知点A与点D的纵坐标相等，因此先求解20≤x≤45段的反比例函数解析式：已知该段过点C(20,45)，代入反比例函数一般式求出k值，再将x=45代入解析式得到D点纵坐标，即为点A对应的指标值。
(2) 要判断17分钟的讲解能否保证注意力指标都不低于36，需先求出注意力指标不低于36的时间区间：首先求解0≤x＜10段线段AB的一次函数解析式，分别在一次函数和反比例函数中令y=36，求出对应的x值，计算两个x值的差得到符合要求的最长时长，与17分钟比较即可得出结论。
【解析】
(1) 当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，设反比例函数的解析式为$ y = \frac{k}{x} $。
将点$ C(20, 45) $代入解析式，得：
$ 45 = \frac{k}{20} $，解得$ k = 900 $，
因此反比例函数的解析式为$ y = \frac{900}{x} $。
将$ x = 45 $代入$ y = \frac{900}{x} $，得$ y = \frac{900}{45} = 20 $，
即点$ D $的坐标为$ (45, 20) $。
由图可知点$ A $与点$ D $的纵坐标相等，且点$ A $在$ x=0 $处，
因此点$ A $对应的指标值为20。
(2) 张老师能经过适当安排，使学生听题时注意力指标都不低于36，理由如下：
当$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，设线段$ AB $对应的函数解析式为$ y = mx + n $。
将$ A(0, 20) $、$ B(10, 45) $代入，得：
$\begin{cases}n = 20 \\10m + n = 45\end{cases}$
解得$ \begin{cases} m = \frac{5}{2} \\ n = 20 \end{cases} $，
即$ 0 ≤ x ＜ 10 $时，函数解析式为$ y = \frac{5}{2}x + 20 $。
令$ y = 36 $，则$ \frac{5}{2}x + 20 = 36 $，解得$ x = 6.4 $。
当$ 20 ≤ x ≤ 45 $时，在反比例函数$ y = \frac{900}{x} $中令$ y = 36 $，
得$ 36 = \frac{900}{x} $，解得$ x = 25 $。
因此注意力指标不低于36对应的时间范围是$ 6.4 ≤ x ≤ 25 $，
该区间的时长为$ 25 - 6.4 = 18.6 $分钟，
因为$ 18.6 ＞ 17 $，所以张老师可以适当安排，使学生听这道综合题的17分钟内注意力指标都不低于36。
【答案】
(1) $\boxed{20}$
(2) $\boxed{能}$，理由：注意力指标不低于36的最长连续时长为18.6分钟，大于需要的17分钟，因此可以适当安排。
【知识点】
1. 一次函数的应用
2. 反比例函数的应用
3. 分段函数的应用
【点评】
本题结合课堂注意力变化的实际场景，考查分段函数的实际应用，要求学生能够从函数图象中提取有效信息，熟练求解一次函数和反比例函数的解析式，通过计算临界值解决实际问题，兼顾了对读图能力、计算能力和应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
