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22. (10分)(2025·河南)小军将一副三角板按如图14方式摆放在平面直角坐标系xOy中,其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上,含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数$y=\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点C.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标.
答案
解：
(1) 将点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
所以反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$。
(2) 过点$C$作$CE⊥ y$轴于点$E$。
因为三角板$OAC$是含$45°$角的等腰直角三角形，直角顶点为$C$，所以$∠ OAC=45°$，$CE=2$，可得$AE=CE=2$，因此$OA=OE+AE=2+2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$。
由题意，$△ OAB$中$∠ OAB=90°$，$OA$在$y$轴上，因此$AB// x$轴，$AB$边上所有点的纵坐标均为$4$。
设旋转前点$D$的坐标为$(d,4)$，将点$D$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后，得到对应点$D'$的坐标为$(4,-d)$。
因为点$D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=1$，即$D'(4,1)$，因此$-d=1$，解得$d=-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ AOB=30°$，$OA=4$，所以$AB=OA·\tan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，点$B$坐标为$(-\frac{4\sqrt{3}}{3},4)$，满足$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜-1＜0$，点$D(-1,4)$在边$AB$上，符合题意。
所以旋转前点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$。
(1) 将点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
所以反比例函数的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$。
(2) 过点$C$作$CE⊥ y$轴于点$E$。
因为三角板$OAC$是含$45°$角的等腰直角三角形，直角顶点为$C$，所以$∠ OAC=45°$，$CE=2$，可得$AE=CE=2$，因此$OA=OE+AE=2+2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$。
由题意，$△ OAB$中$∠ OAB=90°$，$OA$在$y$轴上，因此$AB// x$轴，$AB$边上所有点的纵坐标均为$4$。
设旋转前点$D$的坐标为$(d,4)$，将点$D$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后，得到对应点$D'$的坐标为$(4,-d)$。
因为点$D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$，得$y=1$，即$D'(4,1)$，因此$-d=1$，解得$d=-1$。
在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ AOB=30°$，$OA=4$，所以$AB=OA·\tan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，点$B$坐标为$(-\frac{4\sqrt{3}}{3},4)$，满足$-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜-1＜0$，点$D(-1,4)$在边$AB$上，符合题意。
所以旋转前点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-1,4)}$。
解析
【分析】
(1) 求反比例函数解析式只需确定待定系数k，已知反比例函数图象过点C(2,2)，直接将点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值，得到解析式。
(2) 解题分三步：第一步先求OA的长度，利用等腰直角三角板OAC的性质，结合C点坐标求出OA长，得到A点坐标，再根据直角三角板OAB的直角在A、OA在y轴，可知AB平行于x轴，AB上所有点纵坐标均为4，可设旋转前D点坐标为$(d,4)$；第二步运用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$顺时针旋转90°后对应点为$(y,-x)$，得到D旋转后的坐标；第三步将旋转后的点坐标代入反比例函数解析式求出d，最后验证所得点是否在AB边上，确保结果符合题意。
【解析】
(1) 把点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$C$作$CE⊥y$轴于点$E$，
∵ 三角板$OAC$是含45°角的等腰直角三角形，直角顶点为$C$，
∴ $∠OAC=45°$，$CE=2$，则$AE=CE=2$，
∴ $OA=OE+AE=2+2=4$，即点$A$的坐标为$(0,4)$。
∵ $Rt△OAB$中$∠OAB=90°$，$OA$在y轴上，
∴ $AB// x$轴，$AB$边上所有点的纵坐标均为4。
设旋转前点$D$的坐标为$(d,4)$，根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，旋转后对应点$D'$的坐标为$(4,-d)$。
∵ 点$D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$x=4$代入解析式得：
$y=\frac{4}{4}=1$，即$D'(4,1)$，
∴ $-d=1$，解得$d=-1$。
验证：在$Rt△OAB$中，$∠AOB=30°$，$OA=4$，
∴ $AB=OA·\tan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，点$B$坐标为$(-\frac{4\sqrt{3}}{3},4)$，
∵ $-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜-1＜0$，
∴ 点$D(-1,4)$在边$AB$上，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$；(2) $\boldsymbol{(-1,4)}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形旋转；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合三角板的几何特征，考查反比例函数与图形旋转的综合运用，难度适中，解题核心是熟练掌握旋转前后点的坐标变化规律，求解后注意验证点的位置是否符合题目的限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数解析式只需确定待定系数k，已知反比例函数图象过点C(2,2)，直接将点坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值，得到解析式。
(2) 解题分三步：第一步先求OA的长度，利用等腰直角三角板OAC的性质，结合C点坐标求出OA长，得到A点坐标，再根据直角三角板OAB的直角在A、OA在y轴，可知AB平行于x轴，AB上所有点纵坐标均为4，可设旋转前D点坐标为$(d,4)$；第二步运用点绕原点顺时针旋转90°的坐标变化规律：点$(x,y)$顺时针旋转90°后对应点为$(y,-x)$，得到D旋转后的坐标；第三步将旋转后的点坐标代入反比例函数解析式求出d，最后验证所得点是否在AB边上，确保结果符合题意。
【解析】
(1) 把点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
因此反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$C$作$CE⊥y$轴于点$E$，
∵ 三角板$OAC$是含45°角的等腰直角三角形，直角顶点为$C$，
∴ $∠OAC=45°$，$CE=2$，则$AE=CE=2$，
∴ $OA=OE+AE=2+2=4$，即点$A$的坐标为$(0,4)$。
∵ $Rt△OAB$中$∠OAB=90°$，$OA$在y轴上，
∴ $AB// x$轴，$AB$边上所有点的纵坐标均为4。
设旋转前点$D$的坐标为$(d,4)$，根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，旋转后对应点$D'$的坐标为$(4,-d)$。
∵ 点$D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，将$x=4$代入解析式得：
$y=\frac{4}{4}=1$，即$D'(4,1)$，
∴ $-d=1$，解得$d=-1$。
验证：在$Rt△OAB$中，$∠AOB=30°$，$OA=4$，
∴ $AB=OA·\tan30°=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，点$B$坐标为$(-\frac{4\sqrt{3}}{3},4)$，
∵ $-\frac{4\sqrt{3}}{3}＜-1＜0$，
∴ 点$D(-1,4)$在边$AB$上，符合题意。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{4}{x}(x＞0)}$；(2) $\boldsymbol{(-1,4)}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形旋转；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合三角板的几何特征，考查反比例函数与图形旋转的综合运用，难度适中，解题核心是熟练掌握旋转前后点的坐标变化规律，求解后注意验证点的位置是否符合题目的限制条件，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
23. (11分)如图15,在平面直角坐标系$xOy$中,已知四边形$DOBC$是矩形,且$D(0,4)$,$B(6,0)$.若反比例函数$y=\dfrac{k_1}{x}(x＞0)$的图象经过线段$OC$的中点$A$,交$DC$于点$E$,交$BC$于点$F$.设直线$EF$的解析式为$y=k_2x+b$.
(1)求反比例函数和直线$EF$的解析式；
(2)求$△ OEF$的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式$k_2x+b - \dfrac{k_1}{x} ＞0$的解集.
(1)求反比例函数和直线$EF$的解析式；
(2)求$△ OEF$的面积；
(3)请结合图象直接写出不等式$k_2x+b - \dfrac{k_1}{x} ＞0$的解集.
答案
解：
(1) 因为四边形DOBC是矩形，$D(0,4)$，$B(6,0)$，所以点$C$的坐标为$(6,4)$。
因为$A$是线段$OC$的中点，所以$A$点坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$2=\frac{k_1}{3}$，解得$k_1=6$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
点$E$在$DC$上，$DC$上的点纵坐标均为4，令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$4=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$E(\frac{3}{2},4)$。
点$F$在$BC$上，$BC$上的点横坐标均为6，令$x=6$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{6}=1$，即$F(6,1)$。
将$E(\frac{3}{2},4)$和$F(6,1)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}\frac{3}{2}k_2 + b = 4 \\6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\ b=5\end{cases}$
所以直线$EF$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ ECF}$
$S_{\mathrm{矩形}DOBC}=6×4=24$，
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD × DE=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}× OB × BF=\frac{1}{2}×6×1=3$，
$EC=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$CF=4-1=3$，
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× EC × CF=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
所以$S_{△ OEF}=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
(1) 因为四边形DOBC是矩形，$D(0,4)$，$B(6,0)$，所以点$C$的坐标为$(6,4)$。
因为$A$是线段$OC$的中点，所以$A$点坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$2=\frac{k_1}{3}$，解得$k_1=6$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
点$E$在$DC$上，$DC$上的点纵坐标均为4，令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$4=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$E(\frac{3}{2},4)$。
点$F$在$BC$上，$BC$上的点横坐标均为6，令$x=6$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{6}=1$，即$F(6,1)$。
将$E(\frac{3}{2},4)$和$F(6,1)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}\frac{3}{2}k_2 + b = 4 \\6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\ b=5\end{cases}$
所以直线$EF$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ ECF}$
$S_{\mathrm{矩形}DOBC}=6×4=24$，
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD × DE=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}× OB × BF=\frac{1}{2}×6×1=3$，
$EC=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$CF=4-1=3$，
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× EC × CF=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
所以$S_{△ OEF}=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
解析
【分析】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
(1) 先根据矩形的性质确定点C的坐标，再由中点坐标公式得到点A的坐标，将A代入反比例函数解析式即可求出$k_1$；结合DC、BC上点的坐标特征，分别代入反比例函数求出E、F两点的坐标，最后用待定系数法将E、F坐标代入一次函数解析式，求解即可得到直线EF的解析式。
(2) 求$△ OEF$的面积可采用割补法，用矩形DOBC的面积减去周围三个直角三角形（$△ ODE$、$△ OBF$、$△ ECF$）的面积，即可得到$△ OEF$的面积，避免直接求高的繁琐步骤。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$等价于$k_2x+b＞\frac{k_1}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标以及$x＞0$的范围，直接写出解集即可。
【解析】
(1) 因为四边形DOBC是矩形，$D(0,4)$，$B(6,0)$，所以点$C$的坐标为$(6,4)$。
因为$A$是线段$OC$的中点，所以$A$点坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$2=\frac{k_1}{3}$，解得$k_1=6$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
点$E$在$DC$上，$DC$上的点纵坐标均为4，令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$4=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$E(\frac{3}{2},4)$。
点$F$在$BC$上，$BC$上的点横坐标均为6，令$x=6$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{6}=1$，即$F(6,1)$。
将$E(\frac{3}{2},4)$和$F(6,1)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}\frac{3}{2}k_2 + b = 4 \\6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\ b=5\end{cases}$
所以直线$EF$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ ECF}$
$S_{\mathrm{矩形}DOBC}=6×4=24$，
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD × DE=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}× OB × BF=\frac{1}{2}×6×1=3$，
$EC=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$CF=4-1=3$，
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× EC × CF=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
所以$S_{△ OEF}=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}(x＞0)}$，直线EF的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$；
(3) 不等式的解集为$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}＜x＜6}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 坐标系中图形面积计算
3. 函数与不等式的关系
【点评】
本题属于函数综合常规题型，考查了矩形的性质、中点坐标公式、反比例函数与一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，掌握割补法求解不规则图形面积的技巧，以及能通过函数图象的位置关系求解不等式。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数与反比例函数的综合题，解题思路如下：
(1) 先根据矩形的性质确定点C的坐标，再由中点坐标公式得到点A的坐标，将A代入反比例函数解析式即可求出$k_1$；结合DC、BC上点的坐标特征，分别代入反比例函数求出E、F两点的坐标，最后用待定系数法将E、F坐标代入一次函数解析式，求解即可得到直线EF的解析式。
(2) 求$△ OEF$的面积可采用割补法，用矩形DOBC的面积减去周围三个直角三角形（$△ ODE$、$△ OBF$、$△ ECF$）的面积，即可得到$△ OEF$的面积，避免直接求高的繁琐步骤。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$等价于$k_2x+b＞\frac{k_1}{x}$，即一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标以及$x＞0$的范围，直接写出解集即可。
【解析】
(1) 因为四边形DOBC是矩形，$D(0,4)$，$B(6,0)$，所以点$C$的坐标为$(6,4)$。
因为$A$是线段$OC$的中点，所以$A$点坐标为$(3,2)$。
将$A(3,2)$代入反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$，得$2=\frac{k_1}{3}$，解得$k_1=6$。
所以反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
点$E$在$DC$上，$DC$上的点纵坐标均为4，令$y=4$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$4=\frac{6}{x}$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$E(\frac{3}{2},4)$。
点$F$在$BC$上，$BC$上的点横坐标均为6，令$x=6$，代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{6}=1$，即$F(6,1)$。
将$E(\frac{3}{2},4)$和$F(6,1)$代入$y=k_2x+b$，得：
$\begin{cases}\frac{3}{2}k_2 + b = 4 \\6k_2 + b = 1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\ b=5\end{cases}$
所以直线$EF$的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+5$。
(2) $S_{△ OEF}=S_{\mathrm{矩形}DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ ECF}$
$S_{\mathrm{矩形}DOBC}=6×4=24$，
$S_{△ ODE}=\frac{1}{2}× OD × DE=\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}=3$，
$S_{△ OBF}=\frac{1}{2}× OB × BF=\frac{1}{2}×6×1=3$，
$EC=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$，$CF=4-1=3$，
$S_{△ ECF}=\frac{1}{2}× EC × CF=\frac{1}{2}×\frac{9}{2}×3=\frac{27}{4}$，
所以$S_{△ OEF}=24-3-3-\frac{27}{4}=\frac{45}{4}$。
(3) 不等式$k_2x+b-\frac{k_1}{x}＞0$的解集为$\frac{3}{2}＜x＜6$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}(x＞0)}$，直线EF的解析式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{2}{3}x+5}$；
(2) $△ OEF$的面积为$\boldsymbol{\dfrac{45}{4}}$；
(3) 不等式的解集为$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}＜x＜6}$。
【知识点】
1. 待定系数法求函数解析式
2. 坐标系中图形面积计算
3. 函数与不等式的关系
【点评】
本题属于函数综合常规题型，考查了矩形的性质、中点坐标公式、反比例函数与一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，掌握割补法求解不规则图形面积的技巧，以及能通过函数图象的位置关系求解不等式。
【难度系数】
0.6
