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1.(2026·河南)已知$x=2$是关于$x$的方程$x^2 - mx=6$的一个根，则$m$的值为（）
A.5
B.-5
C.1
D.-1
A.5
B.-5
C.1
D.-1
答案
D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根的定义，解题核心思路是利用“方程的根代入方程可使等式左右两边相等”的性质，将已知的根$x=2$代入原方程，把原方程转化为只含有未知数$m$的一元一次方程，再求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：$\because x=2$是方程$x^2 - mx=6$的一个根
$\therefore$将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$2^2 - 2m = 6$
计算得：$4 - 2m = 6$
移项得：$-2m = 6 - 4$
合并同类项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键在于理解方程根的含义，将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根的定义，解题核心思路是利用“方程的根代入方程可使等式左右两边相等”的性质，将已知的根$x=2$代入原方程，把原方程转化为只含有未知数$m$的一元一次方程，再求解即可得到$m$的值。
【解析】
解：$\because x=2$是方程$x^2 - mx=6$的一个根
$\therefore$将$x=2$代入方程，等式成立，可得：
$2^2 - 2m = 6$
计算得：$4 - 2m = 6$
移项得：$-2m = 6 - 4$
合并同类项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键在于理解方程根的含义，将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.9
2.（2025·安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程实数根个数的判定，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的对应关系求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需分别计算四个选项方程的判别式，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，熟记判别式和一元二次方程实数根个数的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程实数根个数的判定，解题核心是运用一元二次方程根的判别式与根的对应关系求解：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。我们只需分别计算四个选项方程的判别式，找到$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项方程的判别式：
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，重点考查根的判别式的应用，熟记判别式和一元二次方程实数根个数的对应关系就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.已知电灯电路两端的电压U为220 V,通过灯泡的电流强度I(单位:A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(单位:Ω),下列说法正确的是 ()
A.R至少2 000 Ω
B.R至多2 000 Ω
C.R至少24.2 Ω
D.R至多24.2 Ω
A.R至少2 000 Ω
B.R至多2 000 Ω
C.R至少24.2 Ω
D.R至多24.2 Ω
答案
A
解析
【分析】
本题是结合物理知识的不等式应用题，解题思路如下：首先回忆欧姆定律的公式，明确电压U、电流I、电阻R三者的关系是$I=\frac{U}{R}$；再根据题目给出的电流上限条件，将其转化为关于R的不等式；最后结合电阻R为正数的实际意义，解不等式得到R的取值范围，对应选项判断即可。
【解析】
根据欧姆定律可得电流和电阻的关系：$I=\frac{U}{R}$
由题意知电流I不得超过0.11A，即$I≤0.11\mathrm{A}$，且$U=220\mathrm{V}$，代入得：
$\frac{220}{R}≤0.11$
由于电阻R为正数，不等式两边同时乘R，不等号方向不变，得：
$220≤0.11R$
不等式两边同时除以0.11，解得：
$R≥2000$
即R至少为2000Ω，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 欧姆定律
2. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于跨学科的实际应用题，解题关键是将物理中的限制条件正确转化为数学不等式，求解时要注意结合实际意义确定变量的正负，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
本题是结合物理知识的不等式应用题，解题思路如下：首先回忆欧姆定律的公式，明确电压U、电流I、电阻R三者的关系是$I=\frac{U}{R}$；再根据题目给出的电流上限条件，将其转化为关于R的不等式；最后结合电阻R为正数的实际意义，解不等式得到R的取值范围，对应选项判断即可。
【解析】
根据欧姆定律可得电流和电阻的关系：$I=\frac{U}{R}$
由题意知电流I不得超过0.11A，即$I≤0.11\mathrm{A}$，且$U=220\mathrm{V}$，代入得：
$\frac{220}{R}≤0.11$
由于电阻R为正数，不等式两边同时乘R，不等号方向不变，得：
$220≤0.11R$
不等式两边同时除以0.11，解得：
$R≥2000$
即R至少为2000Ω，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 欧姆定律
2. 一元一次不等式的应用
【点评】
本题属于跨学科的实际应用题，解题关键是将物理中的限制条件正确转化为数学不等式，求解时要注意结合实际意义确定变量的正负，避免不等号方向判断错误。
【难度系数】
0.7
4. (2026·遂宁)关于x的一元二次方程$x^2+mx-1=0$的根的情况是（）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$分析，解题思路如下：第一步从给定的一元二次方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将三个系数代入判别式公式，计算出$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的符号：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，根据$\Delta$的符号即可确定根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+mx-1=0$中，$a=1$，$b=m$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-1) = m^2 + 4$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$m^2≥0$
∴ $m^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确提取方程各项系数代入判别式，结合平方的非负性判断判别式符号即可得出结论。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$分析，解题思路如下：第一步从给定的一元二次方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$；第二步将三个系数代入判别式公式，计算出$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的符号：$\Delta＞0$对应两个不相等的实数根，$\Delta=0$对应两个相等的实数根，$\Delta＜0$对应没有实数根，根据$\Delta$的符号即可确定根的情况。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$x^2+mx-1=0$中，$a=1$，$b=m$，$c=-1$，代入判别式得：
$\Delta = m^2 - 4×1×(-1) = m^2 + 4$
∵ 任意实数的平方为非负数，即$m^2≥0$
∴ $m^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$
因此该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.平方的非负性
【点评】
本题属于基础题，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是准确提取方程各项系数代入判别式，结合平方的非负性判断判别式符号即可得出结论。
【难度系数】
0.85
5. (2025·广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势. 某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元. 设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为 ()
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
A
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确增长类问题的核心关系：后一期的产值=前一期的产值×(1+月均增长率)；②确定增长的次数：从5月到7月，间隔2个月，共经历2次增长；③排除错误选项：首先是产值增长，所以括号内是“1+x”，排除带减号的B、C选项；其次是逐期增长，每次增长的基数都是前一个月的产值，不是总增长率为2x，排除D选项，即可锁定正确答案。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，月均增长率为x。
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值为：$2500(1+x)$万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上增长x，因此7月产值为：$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
第三步：根据题意，7月产值为9100万元，因此列方程得：$2500(1+x)^2=9100$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题的核心是明确逐期增长的基数，牢记增长率问题的通用公式：$现期量=基期量×(1+增长率)^n$（n为增长次数），避免误将多次增长的总增长率直接当作n倍的增长率。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：①首先明确增长类问题的核心关系：后一期的产值=前一期的产值×(1+月均增长率)；②确定增长的次数：从5月到7月，间隔2个月，共经历2次增长；③排除错误选项：首先是产值增长，所以括号内是“1+x”，排除带减号的B、C选项；其次是逐期增长，每次增长的基数都是前一个月的产值，不是总增长率为2x，排除D选项，即可锁定正确答案。
【解析】
解：已知5月产值为2500万元，月均增长率为x。
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值为：$2500(1+x)$万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上增长x，因此7月产值为：$2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$万元；
第三步：根据题意，7月产值为9100万元，因此列方程得：$2500(1+x)^2=9100$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题的核心是明确逐期增长的基数，牢记增长率问题的通用公式：$现期量=基期量×(1+增长率)^n$（n为增长次数），避免误将多次增长的总增长率直接当作n倍的增长率。
【难度系数】
0.8
6. 已知实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$,则$k$的值为 ()
A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
A.$1$
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：第一步，先明确方程有两个不等实根，因此判别式Δ＞0，可先得到k的取值范围；第二步，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步，将所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知条件列方程求解k；第四步，验证求出的k是否满足判别式的要求，排除增根即可得到结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$有两个不等实根$x_1,x_2$
∴首先判别式$\Delta=(2k)^2 - 4× k×1＞0$
化简得：$4k^2-4k＞0$，即$k(k-1)＞0$，解得$k＞1$或$k＜0$
根据韦达定理，可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，代入得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得：$-2k=2$，解得$k=-1$
验证：当$k=-1$时，$\Delta=4×(-1)^2 -4×(-1)×1=8＞0$，符合条件
∴$k=-1$
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，根的判别式，分式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，同时要注意方程有两个不等实根的隐含条件，即判别式大于0，避免求出不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根与系数关系的应用类题目，解题思路如下：第一步，先明确方程有两个不等实根，因此判别式Δ＞0，可先得到k的取值范围；第二步，利用韦达定理求出两根之和与两根之积；第三步，将所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形为用两根和、两根积表示的形式，代入已知条件列方程求解k；第四步，验证求出的k是否满足判别式的要求，排除增根即可得到结果。
【解析】
解：
∵关于x的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$有两个不等实根$x_1,x_2$
∴首先判别式$\Delta=(2k)^2 - 4× k×1＞0$
化简得：$4k^2-4k＞0$，即$k(k-1)＞0$，解得$k＞1$或$k＜0$
根据韦达定理，可得：
$x_1+x_2=-\frac{2k}{k}=-2$，$x_1x_2=\frac{1}{k}$
将$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分可得：$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
已知$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$，代入得：
$\frac{-2}{\frac{1}{k}}=2$
化简得：$-2k=2$，解得$k=-1$
验证：当$k=-1$时，$\Delta=4×(-1)^2 -4×(-1)×1=8＞0$，符合条件
∴$k=-1$
【答案】
B
【知识点】
韦达定理，根的判别式，分式化简
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，同时要注意方程有两个不等实根的隐含条件，即判别式大于0，避免求出不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
7. 如图1，$P_1,P_2,P_3$是双曲线上的三点，过这三点分别作$y$轴的垂线，得到三个三角形$P_1A_1O,P_2A_2O,P_3A_3O$，设它们的面积分别是$S_1,S_2,S_3$，则（）
A.$S_1＜S_2＜S_3$
B.$S_2＜S_1＜S_3$
C.$S_1＜S_3＜S_2$
D.$S_1=S_2=S_3$
A.$S_1＜S_2＜S_3$
B.$S_2＜S_1＜S_3$
C.$S_1＜S_3＜S_2$
D.$S_1=S_2=S_3$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数比例系数$k$的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），过双曲线上任意一点作$x$轴或$y$轴的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，和点在双曲线上的位置无关。我们只需验证三个三角形的面积是否都等于$\frac{1}{2}|k|$，就能判断三者的大小关系。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，因为$P_1$在双曲线上，因此满足$x_1y_1=k$。
由题意可知，$Rt△ P_1A_1O$的两条直角边长度分别为$|x_1|$、$|y_1|$，因此它的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×|x_1|×|y_1|=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}|k|$
同理可得：$S_2=\frac{1}{2}|k|$，$S_3=\frac{1}{2}|k|$
因此$S_1=S_2=S_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，解题核心是牢记反比例函数中$k$的几何意义，无需复杂计算即可快速得出结论，掌握该规律可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数比例系数$k$的几何意义：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），过双曲线上任意一点作$x$轴或$y$轴的垂线，该点、垂足、原点三点构成的直角三角形面积恒为$\frac{1}{2}|k|$，和点在双曲线上的位置无关。我们只需验证三个三角形的面积是否都等于$\frac{1}{2}|k|$，就能判断三者的大小关系。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
设点$P_1$的坐标为$(x_1,y_1)$，因为$P_1$在双曲线上，因此满足$x_1y_1=k$。
由题意可知，$Rt△ P_1A_1O$的两条直角边长度分别为$|x_1|$、$|y_1|$，因此它的面积为：
$S_1=\frac{1}{2}×|x_1|×|y_1|=\frac{1}{2}|x_1y_1|=\frac{1}{2}|k|$
同理可得：$S_2=\frac{1}{2}|k|$，$S_3=\frac{1}{2}|k|$
因此$S_1=S_2=S_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数$k$的几何意义
【点评】
本题是反比例函数性质的基础常考题，解题核心是牢记反比例函数中$k$的几何意义，无需复杂计算即可快速得出结论，掌握该规律可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
