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8. 如图2,已知在平面直角坐标系中,$Rt△ ABC$的顶点$A(0,3)$,$B(3,0)$,$∠ ABC=90°$. 函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象经过点$C$,则$AC$的长为（）
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$\sqrt{26}$
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$\sqrt{26}$
答案
B
解析
【分析】
要计算AC的长，首先需要求出点C的坐标。已知点C在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，且$∠ ABC=90°$，我们可以通过作辅助线构造相似三角形，结合A、B的坐标推出点C横、纵坐标的数量关系，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，最后用勾股定理（两点间距离公式）计算AC的长度即可。
【解析】
1. 过点C作$CD⊥ x$轴于点D，可得$∠ CDB=90°$。
已知$A(0,3)$，$B(3,0)$，因此$OA=3$，$OB=3$，$∠ AOB=90°$。
因为$∠ ABC=90°$，所以$∠ ABO+∠ CBD=90°$，又$∠ ABO+∠ OAB=90°$，因此$∠ OAB=∠ CBD$。
结合$∠ AOB=∠ CDB=90°$，可得$△ AOB∽△ BDC$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OA}{BD}=\frac{OB}{CD}$。
又$OA=OB=3$，因此$BD=CD$。
2. 设点C的坐标为$(x,\frac{4}{x})(x＞0)$，则D点坐标为$(x,0)$，因此$BD=x-3$，$CD=\frac{4}{x}$。
由$BD=CD$列方程：$x-3=\frac{4}{x}$，两边同乘$x$得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$（舍去，因$x＞0$）。
将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$得$y=1$，因此点C的坐标为$(4,1)$。
3. 根据两点间距离公式，$A(0,3)$，$C(4,1)$，则：
$AC=\sqrt{(4-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，建立点C横纵坐标的等量关系，进而求出点C坐标，这类题型是初中数学的常考类型，需要熟练掌握函数与几何结合的解题思路。
【难度系数】
0.6
要计算AC的长，首先需要求出点C的坐标。已知点C在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，且$∠ ABC=90°$，我们可以通过作辅助线构造相似三角形，结合A、B的坐标推出点C横、纵坐标的数量关系，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，最后用勾股定理（两点间距离公式）计算AC的长度即可。
【解析】
1. 过点C作$CD⊥ x$轴于点D，可得$∠ CDB=90°$。
已知$A(0,3)$，$B(3,0)$，因此$OA=3$，$OB=3$，$∠ AOB=90°$。
因为$∠ ABC=90°$，所以$∠ ABO+∠ CBD=90°$，又$∠ ABO+∠ OAB=90°$，因此$∠ OAB=∠ CBD$。
结合$∠ AOB=∠ CDB=90°$，可得$△ AOB∽△ BDC$，根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{OA}{BD}=\frac{OB}{CD}$。
又$OA=OB=3$，因此$BD=CD$。
2. 设点C的坐标为$(x,\frac{4}{x})(x＞0)$，则D点坐标为$(x,0)$，因此$BD=x-3$，$CD=\frac{4}{x}$。
由$BD=CD$列方程：$x-3=\frac{4}{x}$，两边同乘$x$得$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=4$，$x_2=-1$（舍去，因$x＞0$）。
将$x=4$代入$y=\frac{4}{x}$得$y=1$，因此点C的坐标为$(4,1)$。
3. 根据两点间距离公式，$A(0,3)$，$C(4,1)$，则：
$AC=\sqrt{(4-0)^2+(1-3)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.相似三角形的判定与性质
3.勾股定理的应用
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题的核心是通过作辅助线构造相似三角形，建立点C横纵坐标的等量关系，进而求出点C坐标，这类题型是初中数学的常考类型，需要熟练掌握函数与几何结合的解题思路。
【难度系数】
0.6
9. 已知二次函数$y=x^2-2x(-1≤x≤t-1)$，当$x=-1$时，函数取得最大值；当$x=1$时，函数取得最小值. 则$t$的取值范围是（）
A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
A.$0＜t≤2$
B.$0＜t≤4$
C.$2≤t≤4$
D.$t≥2$
答案
C
解析
【分析】解决本题首先将二次函数化为顶点式，明确其开口方向、对称轴和顶点。首先，要让x=1时取得最小值，x=1必须在给定的自变量取值区间内；其次，要让x=-1时取得最大值，结合二次函数图像，保证区间的右端点对应的函数值不大于x=-1处的函数值，据此列不等式即可求出t的取值范围。
【解析】将二次函数$y=x^2-2x$化为顶点式：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
由此可知，该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
1. 满足“$x=1$时函数取得最小值”的条件：
顶点$x=1$需在区间$[-1, t-1]$内，因此$t-1≥1$，解得$t≥2$。
2. 满足“$x=-1$时函数取得最大值”的条件：
先计算$x=-1$处的函数值：$y=(-1)^2-2×(-1)=3$。
令$y=3$，解方程$x^2-2x=3$，整理得$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因为抛物线开口向上，当$y≤3$时，自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤3$，因此区间右端点需满足$t-1≤3$，解得$t≤4$。
结合两个条件，可得$t$的取值范围是$2≤ t≤4$。
【答案】C
【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值、解一元一次不等式
【点评】本题是二次函数区间最值的典型题，核心是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点，需要注意区间端点的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
【解析】将二次函数$y=x^2-2x$化为顶点式：
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
由此可知，该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
1. 满足“$x=1$时函数取得最小值”的条件：
顶点$x=1$需在区间$[-1, t-1]$内，因此$t-1≥1$，解得$t≥2$。
2. 满足“$x=-1$时函数取得最大值”的条件：
先计算$x=-1$处的函数值：$y=(-1)^2-2×(-1)=3$。
令$y=3$，解方程$x^2-2x=3$，整理得$x^2-2x-3=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=3$。
因为抛物线开口向上，当$y≤3$时，自变量$x$的取值范围是$-1≤ x≤3$，因此区间右端点需满足$t-1≤3$，解得$t≤4$。
结合两个条件，可得$t$的取值范围是$2≤ t≤4$。
【答案】C
【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值、解一元一次不等式
【点评】本题是二次函数区间最值的典型题，核心是结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点，需要注意区间端点的取值限制，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
10. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位:$\mathrm{m}$)与小球的运动时间$t$(单位:$\mathrm{s}$)之间的关系式是$h=30t-5t^2(0≤ t≤6)$. 有下列结论:①小球从抛出到落地需要$6\ \mathrm{s}$;②小球运动中的高度可以是$30\ \mathrm{m}$;③小球运动$2\ \mathrm{s}$时的高度小于运动$5\ \mathrm{s}$时的高度. 其中,正确结论的个数是 ()
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
C
解析
【分析】
要判断三个结论的正确性，我们可以结合二次函数的实际意义逐个分析：①小球落地时高度h=0，通过解方程h=0即可得到落地时间，判断结论是否正确；②判断高度能否达到30m，只需令h=30，看对应的一元二次方程是否有0≤t≤6范围内的解；③分别计算t=2和t=5时的高度h，比较大小即可判断结论正误。
【解析】
我们逐个验证三个结论：
1. 验证结论①：
小球落地时高度h=0，代入关系式得：
$30t-5t^2=0$
因式分解得：$5t(6-t)=0$
解得$t=0$或$t=6$，其中$t=0$为抛出时间，因此小球从抛出到落地需要6s，结论①正确。
2. 验证结论②：
令$h=30$，代入关系式得：
$30t-5t^2=30$
整理得：$t^2-6t+6=0$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=36-24=12＞0$，方程有两个实数根，解得：
$t=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$
其中$3-\sqrt{3}\approx1.27$，$3+\sqrt{3}\approx4.73$，均满足$0≤ t≤6$，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$t=2$时，$h=30×2 -5×2^2=60-20=40\ \mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 -5×5^2=150-125=25\ \mathrm{m}$
因为$40＞25$，所以小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论有①②共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的解法，二次函数求值
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际意义明确高度与时间的对应关系，计算时需注意判别式的应用和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断三个结论的正确性，我们可以结合二次函数的实际意义逐个分析：①小球落地时高度h=0，通过解方程h=0即可得到落地时间，判断结论是否正确；②判断高度能否达到30m，只需令h=30，看对应的一元二次方程是否有0≤t≤6范围内的解；③分别计算t=2和t=5时的高度h，比较大小即可判断结论正误。
【解析】
我们逐个验证三个结论：
1. 验证结论①：
小球落地时高度h=0，代入关系式得：
$30t-5t^2=0$
因式分解得：$5t(6-t)=0$
解得$t=0$或$t=6$，其中$t=0$为抛出时间，因此小球从抛出到落地需要6s，结论①正确。
2. 验证结论②：
令$h=30$，代入关系式得：
$30t-5t^2=30$
整理得：$t^2-6t+6=0$
判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=36-24=12＞0$，方程有两个实数根，解得：
$t=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$
其中$3-\sqrt{3}\approx1.27$，$3+\sqrt{3}\approx4.73$，均满足$0≤ t≤6$，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$t=2$时，$h=30×2 -5×2^2=60-20=40\ \mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 -5×5^2=150-125=25\ \mathrm{m}$
因为$40＞25$，所以小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论有①②共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的解法，二次函数求值
【点评】
本题结合竖直上抛运动的实际场景考查二次函数的应用，解题的关键是结合实际意义明确高度与时间的对应关系，计算时需注意判别式的应用和数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是.
11. 一元二次方程$(x-2)(x+7)=0$的根是.
答案
解：
由$(x-2)(x+7)=0$，可得
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-7$
由$(x-2)(x+7)=0$，可得
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=-7$
解析
【分析】
本题考查利用因式分解法求解一元二次方程的根，解题依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质。我们可以先把原一元二次方程拆分为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，就能得到原方程的根。
【解析】
由$(x-2)(x+7)=0$，根据两数相乘为0则至少其中一个数为0的性质，可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x=2$；
当$x+7=0$时，解得$x=-7$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，考察一元二次方程求解的基础方法，熟练掌握因式分解法的原理和零乘积性质即可快速得出正确答案，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题考查利用因式分解法求解一元二次方程的根，解题依据是“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质。我们可以先把原一元二次方程拆分为两个一元一次方程，再分别求解这两个一元一次方程，就能得到原方程的根。
【解析】
由$(x-2)(x+7)=0$，根据两数相乘为0则至少其中一个数为0的性质，可得：
$x-2=0$ 或 $x+7=0$
分别求解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，解得$x=2$；
当$x+7=0$时，解得$x=-7$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=-7$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；零乘积性质；一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，考察一元二次方程求解的基础方法，熟练掌握因式分解法的原理和零乘积性质即可快速得出正确答案，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.9
12.(2025·成都)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时,用电器的电流$I$(单位:A)与电阻$R$(单位:$\Omega$)之间的函数关系为$I=\frac{36}{R}$,则电流$I$的值随电阻$R$值的增大而(填“增大”或“减小”).
答案
减小
解析
【分析】
本题考查反比例函数的增减性在实际问题中的应用。解题思路如下：第一步，先识别给出的函数$I=\frac{36}{R}$属于反比例函数，符合$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的形式；第二步，确定比例系数$k$的正负，本题中$k=36＞0$；第三步，结合实际意义，电阻$R$的取值一定是正数，符合反比例函数$k＞0$时，第一象限内函数值随自变量增大而减小的性质，即可得出结论。
【解析】
已知电流$I$与电阻$R$的函数关系为$I=\frac{36}{R}$，该函数是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$。结合实际问题可知电阻$R＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量取值为正的范围内，函数值随自变量的增大而减小，因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数增减性的应用，解题时需注意结合实际问题确定自变量的取值范围，熟记反比例函数的增减性规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的增减性在实际问题中的应用。解题思路如下：第一步，先识别给出的函数$I=\frac{36}{R}$属于反比例函数，符合$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的形式；第二步，确定比例系数$k$的正负，本题中$k=36＞0$；第三步，结合实际意义，电阻$R$的取值一定是正数，符合反比例函数$k＞0$时，第一象限内函数值随自变量增大而减小的性质，即可得出结论。
【解析】
已知电流$I$与电阻$R$的函数关系为$I=\frac{36}{R}$，该函数是反比例函数，其中比例系数$k=36＞0$。结合实际问题可知电阻$R＞0$，根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在自变量取值为正的范围内，函数值随自变量的增大而减小，因此电流$I$的值随电阻$R$值的增大而减小。
【答案】
减小
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数增减性的应用，解题时需注意结合实际问题确定自变量的取值范围，熟记反比例函数的增减性规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
13.若二次函数$y=x^2 -2x +m$的图象与x轴有交点，则m的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{m≤ 1}$
解析
【分析】
要确定二次函数图象与x轴有交点时参数m的取值范围，需结合二次函数与一元二次方程的关系分析：二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，此时根的判别式$\Delta ≥ 0$。我们只需先确定二次函数各项系数，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），图象与x轴有交点的充要条件是根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
在二次函数$y=x^2 -2x +m$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ≥ 0$
计算化简得：
$4 - 4m ≥ 0$
移项得：
$-4m ≥ -4$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得：
$m ≤ 1$
【答案】
$m≤ 1$
【知识点】
二次函数与x轴交点，根的判别式应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象和一元二次方程的关联，牢记判别式与x轴交点个数的对应规则即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数图象与x轴有交点时参数m的取值范围，需结合二次函数与一元二次方程的关系分析：二次函数图象与x轴有交点，等价于对应的一元二次方程有实数根，此时根的判别式$\Delta ≥ 0$。我们只需先确定二次函数各项系数，代入判别式列出关于m的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），图象与x轴有交点的充要条件是根的判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$。
在二次函数$y=x^2 -2x +m$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$，代入判别式可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m ≥ 0$
计算化简得：
$4 - 4m ≥ 0$
移项得：
$-4m ≥ -4$
两边同时除以$-4$，不等号方向改变，解得：
$m ≤ 1$
【答案】
$m≤ 1$
【知识点】
二次函数与x轴交点，根的判别式应用，解一元一次不等式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查二次函数图象和一元二次方程的关联，牢记判别式与x轴交点个数的对应规则即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
14. 如图3,正比例函数$y=-x$与反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象交于A, C两点,过点A作$AB ⊥ x$轴于点B,过点C作$CD ⊥ x$轴于点D,则$△ ABD$的面积为.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
要计算△ABD的面积，首先需要确定点A、B、D的坐标。第一步先联立正比例函数与反比例函数的解析式，求解得到两个交点A、C的坐标；第二步根据AB⊥x轴、CD⊥x轴的条件，得到B、D两点的坐标；第三步确定△ABD的底BD的长度和对应高的长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
首先联立正比例函数和反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x \\y=-\dfrac{6}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：$-x=-\dfrac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x_1=-\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{6}$。
当$x=-\sqrt{6}$时，$y=-(-\sqrt{6})=\sqrt{6}$，故点A的坐标为$(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；
当$x=\sqrt{6}$时，$y=-\sqrt{6}$，故点C的坐标为$(\sqrt{6},-\sqrt{6})$。
因为$AB⊥ x$轴，点B在x轴上，所以点B的坐标为$(-\sqrt{6},0)$；
因为$CD⊥ x$轴，点D在x轴上，所以点D的坐标为$(\sqrt{6},0)$。
则△ABD的底$BD=\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$，BD边上的高为点A到x轴的距离，即$h=\sqrt{6}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD × h=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
函数交点求解、三角形面积计算、坐标特征
【点评】
本题属于函数几何综合基础题，解题的关键是正确联立函数解析式求出交点坐标，再结合坐标系的性质确定三角形的底和高，计算过程简单，掌握函数交点的求解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要计算△ABD的面积，首先需要确定点A、B、D的坐标。第一步先联立正比例函数与反比例函数的解析式，求解得到两个交点A、C的坐标；第二步根据AB⊥x轴、CD⊥x轴的条件，得到B、D两点的坐标；第三步确定△ABD的底BD的长度和对应高的长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
首先联立正比例函数和反比例函数的解析式：
$\begin{cases}y=-x \\y=-\dfrac{6}{x}\end{cases}$
将$y=-x$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得：$-x=-\dfrac{6}{x}$，整理得$x^2=6$，解得$x_1=-\sqrt{6}$，$x_2=\sqrt{6}$。
当$x=-\sqrt{6}$时，$y=-(-\sqrt{6})=\sqrt{6}$，故点A的坐标为$(-\sqrt{6},\sqrt{6})$；
当$x=\sqrt{6}$时，$y=-\sqrt{6}$，故点C的坐标为$(\sqrt{6},-\sqrt{6})$。
因为$AB⊥ x$轴，点B在x轴上，所以点B的坐标为$(-\sqrt{6},0)$；
因为$CD⊥ x$轴，点D在x轴上，所以点D的坐标为$(\sqrt{6},0)$。
则△ABD的底$BD=\sqrt{6}-(-\sqrt{6})=2\sqrt{6}$，BD边上的高为点A到x轴的距离，即$h=\sqrt{6}$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD × h=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{6}×\sqrt{6}=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
函数交点求解、三角形面积计算、坐标特征
【点评】
本题属于函数几何综合基础题，解题的关键是正确联立函数解析式求出交点坐标，再结合坐标系的性质确定三角形的底和高，计算过程简单，掌握函数交点的求解方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
