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15.如图4,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+bx+3$与x轴相交于点A,B,点B的坐标为$(3,0)$.若点C$(2,3)$在抛物线上,则AB的长为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先已知抛物线上B、C两点的坐标，且抛物线解析式含未知参数a、b，我们可以通过待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值确定抛物线解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，最后根据两点横坐标计算AB的长度即可。
【解析】
将点$B(3,0)$、$C(2,3)$代入抛物线$y=ax^2+bx+3$，可得方程组：
$\begin{cases}9a+3b+3=0 \\4a+2b+3=3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a+b=-1 \ \ \ ① \\2a+b=0 \ \ \ \ \ \ ② \end{cases}$
用①-②得：$a=-1$，将$a=-1$代入②得：$-2+b=0$，解得$b=2$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
即点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，所以$AB=3-(-1)=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与x轴交点；数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础应用题，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，结合一元二次方程的解法求出函数与x轴交点即可解题，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先已知抛物线上B、C两点的坐标，且抛物线解析式含未知参数a、b，我们可以通过待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于a、b的二元一次方程组，求解得到a、b的值确定抛物线解析式；再令解析式中y=0，解一元二次方程得到抛物线与x轴两个交点的横坐标，最后根据两点横坐标计算AB的长度即可。
【解析】
将点$B(3,0)$、$C(2,3)$代入抛物线$y=ax^2+bx+3$，可得方程组：
$\begin{cases}9a+3b+3=0 \\4a+2b+3=3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}3a+b=-1 \ \ \ ① \\2a+b=0 \ \ \ \ \ \ ② \end{cases}$
用①-②得：$a=-1$，将$a=-1$代入②得：$-2+b=0$，解得$b=2$。
因此抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，则$-x^2+2x+3=0$，整理得$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
即点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，所以$AB=3-(-1)=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数与x轴交点；数轴上两点距离计算
【点评】
本题是二次函数基础应用题，核心是掌握待定系数法求解析式的方法，结合一元二次方程的解法求出函数与x轴交点即可解题，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)(1)解一元二次方程:$x^2 -4x +3=0$;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
16. (8分)(1)解一元二次方程:$x^2 -4x +3=0$;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
答案
解：
(1) 对方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由(1)可知直角三角形的两边长分别为1和3，分两种情况计算：
① 当1和3均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
② 当长为3的边为斜边长时，第三边长为$\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$。
(1) 对方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由(1)可知直角三角形的两边长分别为1和3，分两种情况计算：
① 当1和3均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
② 当长为3的边为斜边长时，第三边长为$\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
第(1)问解一元二次方程，观察方程左边的二次三项式，可优先选用因式分解法求解：将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，即可得到方程的两个根。第(2)问已知直角三角形的两边长为第(1)问的两个根，需注意题目未明确两边是直角边还是斜边，因此要分类讨论：①两根均为直角边；②较长的根3为斜边，1为直角边，再分别根据勾股定理计算第三边的长度，注意边长为正，舍去不符合实际的结果。
【解析】
(1) 对方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由(1)可知直角三角形的两边长分别为1和3，分两种情况计算：
① 当1和3均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
② 当长为3的边为斜边长时，第三边长为$\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=3$；(2) $\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程的解法和勾股定理的应用，易错点是第二问未对已知边的类型进行分类讨论，忽略3作为斜边的情况，导致漏解。解题时要注意审题，充分考虑所有可能的情况，确保答案完整。
【难度系数】
0.7
第(1)问解一元二次方程，观察方程左边的二次三项式，可优先选用因式分解法求解：将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，即可得到方程的两个根。第(2)问已知直角三角形的两边长为第(1)问的两个根，需注意题目未明确两边是直角边还是斜边，因此要分类讨论：①两根均为直角边；②较长的根3为斜边，1为直角边，再分别根据勾股定理计算第三边的长度，注意边长为正，舍去不符合实际的结果。
【解析】
(1) 对方程$x^2 -4x +3=0$因式分解，得
$(x-1)(x-3)=0$
则$x-1=0$或$x-3=0$
解得$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由(1)可知直角三角形的两边长分别为1和3，分两种情况计算：
① 当1和3均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为$\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
② 当长为3的边为斜边长时，第三边长为$\sqrt{3^2 - 1^2}=2\sqrt{2}$。
综上，第三边的长为$\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=1$，$x_2=3$；(2) $\sqrt{10}$或$2\sqrt{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题属于基础题，重点考查一元二次方程的解法和勾股定理的应用，易错点是第二问未对已知边的类型进行分类讨论，忽略3作为斜边的情况，导致漏解。解题时要注意审题，充分考虑所有可能的情况，确保答案完整。
【难度系数】
0.7
17.(9分)如图5,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m²的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m²吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
答案
解：(1) 设垂直于外墙的边AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边BC的长为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理，得$x^2 - 36x + 320 = 0$，
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈。
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$，
$\because \Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
∴该方程无实数根，
∴羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理，得$x^2 - 36x + 320 = 0$，
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 32$。
答：当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成一个面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈。
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$，
$\because \Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
∴该方程无实数根，
∴羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
本题是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 设未知数：选择垂直于外墙的边AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，更容易表示其余边长；
2. 表示平行于外墙的边长：栅栏总长70m，两个垂直于外墙的边共需$2x\ \mathrm{m}$栅栏，BC段有2m宽的门不需要栅栏，因此BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 第(1)问根据矩形面积=长×宽，结合面积为$640\ \mathrm{m}^2$列方程，求解后算出对应的长和宽即可；
4. 第(2)问采用假设法，先假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程后通过计算根的判别式$\Delta$的正负，判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于外墙的边AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边BC的长为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理，得$x^2 - 36x + 320 = 0$，
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 72 - 32 = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 72 - 40 = 32$。
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则可列方程：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$，
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
因此该一元二次方程无实数根，即不存在满足条件的$x$值，所以羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是正确表示出平行于外墙的边的长度，同时需要掌握列方程解应用题的步骤，以及利用根的判别式判断方程实数根的情况来解决存在性问题。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在实际面积问题中的应用，解题思路如下：
1. 设未知数：选择垂直于外墙的边AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，更容易表示其余边长；
2. 表示平行于外墙的边长：栅栏总长70m，两个垂直于外墙的边共需$2x\ \mathrm{m}$栅栏，BC段有2m宽的门不需要栅栏，因此BC的长度为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$；
3. 第(1)问根据矩形面积=长×宽，结合面积为$640\ \mathrm{m}^2$列方程，求解后算出对应的长和宽即可；
4. 第(2)问采用假设法，先假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，列方程后通过计算根的判别式$\Delta$的正负，判断方程是否有实数根，即可得出结论。
【解析】
(1) 设垂直于外墙的边AB的长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边BC的长为$70 - 2x + 2 = (72 - 2x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，由题意得：
$x(72 - 2x) = 640$
整理，得$x^2 - 36x + 320 = 0$，
解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
当$x=16$时，$72 - 2x = 72 - 32 = 40$；
当$x=20$时，$72 - 2x = 72 - 40 = 32$。
(2) 羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
假设面积能达到$650\ \mathrm{m}^2$，则可列方程：
$x(72 - 2x) = 650$
整理得$x^2 - 36x + 325 = 0$，
计算根的判别式：$\Delta = (-36)^2 - 4×1×325 = 1296 - 1300 = -4 ＜ 0$，
因此该一元二次方程无实数根，即不存在满足条件的$x$值，所以羊圈的面积不能达到$650\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 当羊圈的长为40 m、宽为16 m，或长为32 m、宽为20 m时，能围成面积为$640\ \mathrm{m}^2$的羊圈；
(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题的关键是正确表示出平行于外墙的边的长度，同时需要掌握列方程解应用题的步骤，以及利用根的判别式判断方程实数根的情况来解决存在性问题。
【难度系数】
0.7
18. (9分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$有实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_1+x_2+2x_1x_2≥20$,求$m$的取值范围.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$,且$x_1+x_2+2x_1x_2≥20$,求$m$的取值范围.
答案
解：
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
即$36 - 8m -4 ≥ 0$，
化简得$32 - 8m ≥ 0$，
解得$m ≤ 4$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$，
将其代入不等式$x_1+x_2+2x_1x_2 ≥ 20$，得：
$6 + 2(2m+1) ≥ 20$，
展开计算得$6 + 4m + 2 ≥ 20$，
即$4m ≥ 12$，解得$m ≥ 3$。
结合(1)中$m ≤ 4$，可得$m$的取值范围是$3 ≤ m ≤ 4$。
(1) ∵ 一元二次方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$有实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) ≥ 0$，
即$36 - 8m -4 ≥ 0$，
化简得$32 - 8m ≥ 0$，
解得$m ≤ 4$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$，
将其代入不等式$x_1+x_2+2x_1x_2 ≥ 20$，得：
$6 + 2(2m+1) ≥ 20$，
展开计算得$6 + 4m + 2 ≥ 20$，
即$4m ≥ 12$，解得$m ≥ 3$。
结合(1)中$m ≤ 4$，可得$m$的取值范围是$3 ≤ m ≤ 4$。
解析
【分析】
(1) 遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到根的判别式$\Delta \ge 0$的性质：先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式列关于$m$的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 题目给出包含两根之和、两根之积的不等式，优先使用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，代入不等式解出$m$的范围，再结合第(1)问中方程有实根的前提条件，取两个范围的交集即为最终$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) \ge 0$，
即$36 - 8m -4 \ge 0$，
化简得$32 - 8m \ge 0$，
解得$m \le 4$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$，
将其代入不等式$x_1+x_2+2x_1x_2 \ge 20$，得：
$6 + 2(2m+1) \ge 20$，
展开计算得$6 + 4m + 2 \ge 20$，
即$4m \ge 12$，解得$m \ge 3$。
结合(1)中$m \le 4$的结论，可得$m$的取值范围是$3 \le m \le 4$。
【答案】
(1) $m \le 4$；(2) $3 \le m \le 4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接考察判别式的基础应用，难度较低；第二问结合根与系数的关系求解不等式，解题时需注意方程有实根是前提，不能忽略第一问的取值范围限制，避免出现取值范围偏大的错误。
【难度系数】
0.75
(1) 遇到一元二次方程有实数根的问题，首先想到根的判别式$\Delta \ge 0$的性质：先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式列关于$m$的不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
(2) 题目给出包含两根之和、两根之积的不等式，优先使用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于$m$的表达式，代入不等式解出$m$的范围，再结合第(1)问中方程有实根的前提条件，取两个范围的交集即为最终$m$的取值范围。
【解析】
(1) $\because$ 一元二次方程$x^2 -6x+(2m+1)=0$有实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(2m+1) \ge 0$，
即$36 - 8m -4 \ge 0$，
化简得$32 - 8m \ge 0$，
解得$m \le 4$。
(2) 由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 6$，$x_1x_2 = 2m + 1$，
将其代入不等式$x_1+x_2+2x_1x_2 \ge 20$，得：
$6 + 2(2m+1) \ge 20$，
展开计算得$6 + 4m + 2 \ge 20$，
即$4m \ge 12$，解得$m \ge 3$。
结合(1)中$m \le 4$的结论，可得$m$的取值范围是$3 \le m \le 4$。
【答案】
(1) $m \le 4$；(2) $3 \le m \le 4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常考题，第一问直接考察判别式的基础应用，难度较低；第二问结合根与系数的关系求解不等式，解题时需注意方程有实根是前提，不能忽略第一问的取值范围限制，避免出现取值范围偏大的错误。
【难度系数】
0.75
