登录
19.(9分)如图6,一位篮球运动员投篮,球从点A处投出,沿抛物线$y=-0.08x^2+bx+2.57$运动,球运动至点B处达到最高点,此时,水平距离OC为3.5 m.
(1)求b的值.
(2)已知篮筐中心高度DE为3.05 m,投篮出手点A与篮筐中心的水平距离OE为m m.若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心,求m的值.
(1)求b的值.
(2)已知篮筐中心高度DE为3.05 m,投篮出手点A与篮筐中心的水平距离OE为m m.若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心,求m的值.
答案
解：
(1) 由题意可知，抛物线$y=-0.08x^2+bx+2.57$的对称轴为直线$x=3.5$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-0.08$，$x=3.5$代入得：
$3.5=-\frac{b}{2×(-0.08)}$
解得：$b=0.56$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-0.08x^2+0.56x+2.57$。
由题意，篮筐中心的纵坐标为$3.05$，令$y=3.05$，代入解析式得：
$-0.08x^2+0.56x+2.57=3.05$
整理得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=6$。
结合图象可知，篮筐在对称轴右侧，故舍去$x=1$，得$x=6$，即$OE=6\ \mathrm{m}$。
所以$m=6$。
答：$m$的值为6。
(1) 由题意可知，抛物线$y=-0.08x^2+bx+2.57$的对称轴为直线$x=3.5$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-0.08$，$x=3.5$代入得：
$3.5=-\frac{b}{2×(-0.08)}$
解得：$b=0.56$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-0.08x^2+0.56x+2.57$。
由题意，篮筐中心的纵坐标为$3.05$，令$y=3.05$，代入解析式得：
$-0.08x^2+0.56x+2.57=3.05$
整理得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=6$。
结合图象可知，篮筐在对称轴右侧，故舍去$x=1$，得$x=6$，即$OE=6\ \mathrm{m}$。
所以$m=6$。
答：$m$的值为6。
解析
【分析】
(1) 抛物线的最高点对应的水平距离OC为3.5m，说明抛物线的对称轴为直线x=3.5，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，可利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知的a和对称轴的值，即可求出b的值。
(2) 投篮命中篮筐中心说明篮筐中心D在抛物线上，已知D点纵坐标为3.05m，将y=3.05代入第(1)问求出的抛物线解析式，解一元二次方程得到两个横坐标，再结合图象可知篮筐在对称轴右侧，舍去不符合实际的根，剩下的横坐标就是OE的长度即m的值。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线$y=-0.08x^2+bx+2.57$的对称轴为直线$x=3.5$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-0.08$，$x=3.5$代入得：
$3.5=-\frac{b}{2×(-0.08)}$
解得：$b=0.56$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-0.08x^2+0.56x+2.57$。
由题意，篮筐中心的纵坐标为$3.05$，令$y=3.05$，代入解析式得：
$-0.08x^2+0.56x+2.57=3.05$
整理得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=6$。
结合图象可知，篮筐在对称轴右侧，故舍去$x=1$，得$x=6$，即$OE=6\ \mathrm{m}$，所以$m=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=0.56}$；(2) $\boldsymbol{m=6}$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是熟练掌握二次函数的基本性质，明确抛物线上点的坐标满足函数解析式，同时要注意结合实际场景对求出的解进行合理取舍，考查了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 抛物线的最高点对应的水平距离OC为3.5m，说明抛物线的对称轴为直线x=3.5，对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，可利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入已知的a和对称轴的值，即可求出b的值。
(2) 投篮命中篮筐中心说明篮筐中心D在抛物线上，已知D点纵坐标为3.05m，将y=3.05代入第(1)问求出的抛物线解析式，解一元二次方程得到两个横坐标，再结合图象可知篮筐在对称轴右侧，舍去不符合实际的根，剩下的横坐标就是OE的长度即m的值。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线$y=-0.08x^2+bx+2.57$的对称轴为直线$x=3.5$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，将$a=-0.08$，$x=3.5$代入得：
$3.5=-\frac{b}{2×(-0.08)}$
解得：$b=0.56$。
(2) 由(1)得抛物线的解析式为$y=-0.08x^2+0.56x+2.57$。
由题意，篮筐中心的纵坐标为$3.05$，令$y=3.05$，代入解析式得：
$-0.08x^2+0.56x+2.57=3.05$
整理得：$x^2-7x+6=0$
因式分解得：$(x-1)(x-6)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=6$。
结合图象可知，篮筐在对称轴右侧，故舍去$x=1$，得$x=6$，即$OE=6\ \mathrm{m}$，所以$m=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b=0.56}$；(2) $\boldsymbol{m=6}$
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题结合生活中的投篮场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是熟练掌握二次函数的基本性质，明确抛物线上点的坐标满足函数解析式，同时要注意结合实际场景对求出的解进行合理取舍，考查了学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如图7,一次函数$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象交于$A(m,6)$,$B(3,n)$两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使$kx+b＜\dfrac{6}{x}$成立的$x$的取值范围;
(3)求$△ AOB$的面积.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使$kx+b＜\dfrac{6}{x}$成立的$x$的取值范围;
(3)求$△ AOB$的面积.
答案
解：
(1) ∵点A(m,6)，B(3,n)在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将A(m,6)代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$6=\dfrac{6}{m}$，解得m=1，
∴A点坐标为(1,6)。
将B(3,n)代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$n=\dfrac{6}{3}=2$，
∴B点坐标为(3,2)。
将A(1,6)，B(3,2)代入一次函数y=kx+b，得：
$\begin{cases}k+b=6\\3k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$∴一次函数的解析式为y=-2x+8。(2) 使kx+b＜\dfrac{6}{x}成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3。(3) 设一次函数y=-2x+8与x轴交于点C，令y=0，则-2x+8=0，解得x=4，∴点C的坐标为(4,0)，OC=4。$\begin{aligned}$
$S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\$
$&=\dfrac{1}{2}× OC× y_A - \dfrac{1}{2}× OC× y_B\$
$&=\dfrac{1}{2}×4×6 - \dfrac{1}{2}×4×2\$
&=12-4\\
&=8
$\end{aligned}$∴△ AOB的面积为8。
(1) ∵点A(m,6)，B(3,n)在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将A(m,6)代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$6=\dfrac{6}{m}$，解得m=1，
∴A点坐标为(1,6)。
将B(3,n)代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$n=\dfrac{6}{3}=2$，
∴B点坐标为(3,2)。
将A(1,6)，B(3,2)代入一次函数y=kx+b，得：
$\begin{cases}k+b=6\\3k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$∴一次函数的解析式为y=-2x+8。(2) 使kx+b＜\dfrac{6}{x}成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3。(3) 设一次函数y=-2x+8与x轴交于点C，令y=0，则-2x+8=0，解得x=4，∴点C的坐标为(4,0)，OC=4。$\begin{aligned}$
$S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\$
$&=\dfrac{1}{2}× OC× y_A - \dfrac{1}{2}× OC× y_B\$
$&=\dfrac{1}{2}×4×6 - \dfrac{1}{2}×4×2\$
&=12-4\\
&=8
$\end{aligned}$∴△ AOB的面积为8。
解析
【分析】
(1)求一次函数解析式需要先得到两个点的坐标：已知A、B两点均在反比例函数图象上，将两点坐标分别代入反比例函数表达式即可求出m、n的值，得到A、B的坐标后，再代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组就能求出k、b的值，进而得到一次函数解析式。
(2)求$kx+b＜\dfrac{6}{x}$的x取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的范围，结合$x＞0$的前提，观察图象交点两侧的位置即可得到结果。
(3)$△ AOB$没有边在坐标轴上，直接计算面积难度较大，可采用割补法：先找到一次函数与x轴的交点C，将$△ AOB$的面积转化为$△ AOC$的面积减去$△ BOC$的面积，利用坐标求出对应底和高计算即可。
【解析】
(1)
∵点$A(m,6)$，$B(3,n)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$A(m,6)$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$6=\dfrac{6}{m}$，解得$m=1$，
∴A点坐标为$(1,6)$。
将$B(3,n)$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$n=\dfrac{6}{3}=2$，
∴B点坐标为$(3,2)$。
将$A(1,6)$，$B(3,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=6\\3k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-2x+8$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应的x取值为$0＜x＜1$或$x＞3$，即$kx+b＜\dfrac{6}{x}$成立的x的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$。
(3) 设一次函数$y=-2x+8$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-2x+8=0$，解得$x=4$，
∴点C的坐标为$(4,0)$，$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\dfrac{1}{2}× OC× y_A - \dfrac{1}{2}× OC× y_B\\&=\dfrac{1}{2}×4×6 - \dfrac{1}{2}×4×2\\&=12-4\\&=8\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为8。
【答案】
(1) $y=-2x+8$
(2) $0＜x＜1$或$x＞3$
(3) $8$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，既考查了函数解析式求解的基础能力，也渗透了数形结合、割补转化的数学思想，能有效检验学生对函数知识的综合运用水平。
【难度系数】
0.7
(1)求一次函数解析式需要先得到两个点的坐标：已知A、B两点均在反比例函数图象上，将两点坐标分别代入反比例函数表达式即可求出m、n的值，得到A、B的坐标后，再代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组就能求出k、b的值，进而得到一次函数解析式。
(2)求$kx+b＜\dfrac{6}{x}$的x取值范围，本质是找一次函数图象位于反比例函数图象下方时对应的x的范围，结合$x＞0$的前提，观察图象交点两侧的位置即可得到结果。
(3)$△ AOB$没有边在坐标轴上，直接计算面积难度较大，可采用割补法：先找到一次函数与x轴的交点C，将$△ AOB$的面积转化为$△ AOC$的面积减去$△ BOC$的面积，利用坐标求出对应底和高计算即可。
【解析】
(1)
∵点$A(m,6)$，$B(3,n)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$的图象上，
将$A(m,6)$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$6=\dfrac{6}{m}$，解得$m=1$，
∴A点坐标为$(1,6)$。
将$B(3,n)$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$n=\dfrac{6}{3}=2$，
∴B点坐标为$(3,2)$。
将$A(1,6)$，$B(3,2)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}k+b=6\\3k+b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2\\b=8\end{cases}$
∴一次函数的解析式为$y=-2x+8$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应的x取值为$0＜x＜1$或$x＞3$，即$kx+b＜\dfrac{6}{x}$成立的x的取值范围是$0＜x＜1$或$x＞3$。
(3) 设一次函数$y=-2x+8$与x轴交于点C，令$y=0$，则$-2x+8=0$，解得$x=4$，
∴点C的坐标为$(4,0)$，$OC=4$。
$\begin{aligned}S_{△ AOB}&=S_{△ AOC}-S_{△ BOC}\\&=\dfrac{1}{2}× OC× y_A - \dfrac{1}{2}× OC× y_B\\&=\dfrac{1}{2}×4×6 - \dfrac{1}{2}×4×2\\&=12-4\\&=8\end{aligned}$
∴$△ AOB$的面积为8。
【答案】
(1) $y=-2x+8$
(2) $0＜x＜1$或$x＞3$
(3) $8$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数与不等式，坐标系图形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，既考查了函数解析式求解的基础能力，也渗透了数形结合、割补转化的数学思想，能有效检验学生对函数知识的综合运用水平。
【难度系数】
0.7
