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21. (10分)某超市销售一种文具,进价为5元/件.售价为6元/件时,当天的销售量为100件.在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x元/件(x≥6,且x是按0.5元的倍数上涨),当天销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围.
(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元? 请求出最大利润.
(1)求y与x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围).
(2)要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围.
(3)若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元? 请求出最大利润.
答案
解：
(1) 由题意得，每件文具的利润为$(x-5)$元，
当天的销售量为：$100 - \frac{x-6}{0.5} × 5 = 160 - 10x$，
则总利润$y=(x-5)(160-10x)$，
展开整理得：$y=-10x^2+210x-800$。
(2) 令$y≥240$，即：
$-10x^2+210x-800≥240$
整理得：$x^2-21x+104≤0$，
解方程$x^2-21x+104=0$，得$x_1=8$，$x_2=13$。
因为二次函数$y=-10x^2+210x-800$开口向下，
所以不等式的解集为$8≤ x≤13$，
即当天销售单价所在的范围为$8$元/件$≤ x≤13$元/件。
(3) 由题意得：$\frac{x-5}{5}≤80\%$，
解得$x≤9$，结合已知$x≥6$，得$6≤ x≤9$。
将二次函数$y=-10x^2+210x-800$配方得：
$y=-10(x-10.5)^2+302.5$
该函数图象开口向下，对称轴为$x=10.5$，
在$6≤ x≤9$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=9$时，$y$取得最大值，
$y_{\mathrm{max}}=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
答：每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元。
(1) 由题意得，每件文具的利润为$(x-5)$元，
当天的销售量为：$100 - \frac{x-6}{0.5} × 5 = 160 - 10x$，
则总利润$y=(x-5)(160-10x)$，
展开整理得：$y=-10x^2+210x-800$。
(2) 令$y≥240$，即：
$-10x^2+210x-800≥240$
整理得：$x^2-21x+104≤0$，
解方程$x^2-21x+104=0$，得$x_1=8$，$x_2=13$。
因为二次函数$y=-10x^2+210x-800$开口向下，
所以不等式的解集为$8≤ x≤13$，
即当天销售单价所在的范围为$8$元/件$≤ x≤13$元/件。
(3) 由题意得：$\frac{x-5}{5}≤80\%$，
解得$x≤9$，结合已知$x≥6$，得$6≤ x≤9$。
将二次函数$y=-10x^2+210x-800$配方得：
$y=-10(x-10.5)^2+302.5$
该函数图象开口向下，对称轴为$x=10.5$，
在$6≤ x≤9$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=9$时，$y$取得最大值，
$y_{\mathrm{max}}=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
答：每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元。
解析
【分析】
本题为销售利润类应用题，可按照以下思路解题：
(1) 依据“总利润=单件利润×销售量”的核心关系求解：单件利润为售价x减去进价5元；销售量在100件的基础上，售价每上涨0.5元减少5件，因此先计算上涨的金额(x-6)里包含多少个0.5，再乘5得到减少的销量，用原销量减去减少的销量得到实际销量，两者相乘后化简即可得到函数关系式。
(2) 利润不低于240元即y≥240，代入(1)的函数式得到一元二次不等式，先求解对应一元二次方程的两个根，结合二次函数开口向下的性质，即可得到不等式的解集，也就是售价的取值范围。
(3) 先根据“每件利润不超过80%”列不等式，结合x≥6的条件得到x的取值范围；再将二次函数配方找到对称轴，根据二次函数的增减性，在x的允许范围内取使y最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，每件文具的利润为$(x-5)$元，
当天的销售量为：$100 - \frac{x-6}{0.5} × 5 = 160 - 10x$，
则总利润$y=(x-5)(160-10x)$，
展开整理得：$y=-10x^2+210x-800$。
(2) 令$y≥240$，即：
$-10x^2+210x-800≥240$
整理得：$x^2-21x+104≤0$，
解方程$x^2-21x+104=0$，得$x_1=8$，$x_2=13$。
因为二次函数$y=-10x^2+210x-800$开口向下，
所以不等式的解集为$8≤ x≤13$，
即当天销售单价所在的范围为$8$元/件$≤ x≤13$元/件。
(3) 由题意得：$\frac{x-5}{5}≤80\%$，
解得$x≤9$，结合已知$x≥6$，得$6≤ x≤9$。
将二次函数$y=-10x^2+210x-800$配方得：
$y=-10(x-10.5)^2+302.5$
该函数图象开口向下，对称轴为$x=10.5$，
在$6≤ x≤9$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=9$时，$y$取得最大值，
$y_{\mathrm{max}}=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
答：每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$
(2) $8元/件 ≤ x ≤ 13元/件$
(3) 每件文具售价为9元，最大利润为280元。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次不等式的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的综合题，考查了函数与不等式的结合应用，解题关键是找准等量关系列出函数解析式，求解最值时要注意结合题目的限制条件确定自变量的取值范围，避免直接取顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
本题为销售利润类应用题，可按照以下思路解题：
(1) 依据“总利润=单件利润×销售量”的核心关系求解：单件利润为售价x减去进价5元；销售量在100件的基础上，售价每上涨0.5元减少5件，因此先计算上涨的金额(x-6)里包含多少个0.5，再乘5得到减少的销量，用原销量减去减少的销量得到实际销量，两者相乘后化简即可得到函数关系式。
(2) 利润不低于240元即y≥240，代入(1)的函数式得到一元二次不等式，先求解对应一元二次方程的两个根，结合二次函数开口向下的性质，即可得到不等式的解集，也就是售价的取值范围。
(3) 先根据“每件利润不超过80%”列不等式，结合x≥6的条件得到x的取值范围；再将二次函数配方找到对称轴，根据二次函数的增减性，在x的允许范围内取使y最大的x值，代入计算即可得到最大利润。
【解析】
(1) 由题意得，每件文具的利润为$(x-5)$元，
当天的销售量为：$100 - \frac{x-6}{0.5} × 5 = 160 - 10x$，
则总利润$y=(x-5)(160-10x)$，
展开整理得：$y=-10x^2+210x-800$。
(2) 令$y≥240$，即：
$-10x^2+210x-800≥240$
整理得：$x^2-21x+104≤0$，
解方程$x^2-21x+104=0$，得$x_1=8$，$x_2=13$。
因为二次函数$y=-10x^2+210x-800$开口向下，
所以不等式的解集为$8≤ x≤13$，
即当天销售单价所在的范围为$8$元/件$≤ x≤13$元/件。
(3) 由题意得：$\frac{x-5}{5}≤80\%$，
解得$x≤9$，结合已知$x≥6$，得$6≤ x≤9$。
将二次函数$y=-10x^2+210x-800$配方得：
$y=-10(x-10.5)^2+302.5$
该函数图象开口向下，对称轴为$x=10.5$，
在$6≤ x≤9$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
所以当$x=9$时，$y$取得最大值，
$y_{\mathrm{max}}=-10×(9-10.5)^2+302.5=280$。
答：每件文具售价为9元时，当天获得利润最大，最大利润为280元。
【答案】
(1) $y=-10x^2+210x-800$
(2) $8元/件 ≤ x ≤ 13元/件$
(3) 每件文具售价为9元，最大利润为280元。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次不等式的解法；二次函数的最值
【点评】
本题是销售利润类的综合题，考查了函数与不等式的结合应用，解题关键是找准等量关系列出函数解析式，求解最值时要注意结合题目的限制条件确定自变量的取值范围，避免直接取顶点坐标导致错误。
【难度系数】
0.6
22. (10分)某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.图8是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的函数图象,其中BC段是双曲线$y=\frac{k}{x}$的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时?
(2)求k的值.
(3)当棚内温度不低于16 ℃时,该蔬菜能够快速生长,请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间?
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18 ℃的时间有多少小时?
(2)求k的值.
(3)当棚内温度不低于16 ℃时,该蔬菜能够快速生长,请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间?
答案
解：
(1) 由图象可知，温度为18℃的起始时间为x=2 h，结束时间为x=12 h，
因此保持18 ℃的时间为：$12 - 2 = 10\ (\mathrm{h})$。
(2) 点$B(12,18)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将坐标代入得：
$18 = \frac{k}{12}$
解得$k=12×18=216$。
(3) 设升温阶段（$0≤ x≤2$）的函数解析式为$y=ax+b$，将$(0,14)$和$(2,18)$代入得：
$\begin{cases}b=14 \\2a + b = 18\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=14\end{cases}$，即升温段解析式为$y=2x+14\ (0≤ x≤2)$。
令$y=16$，代入得$2x+14=16$，解得$x=1$。
对于双曲线段$y=\frac{216}{x}$，令$y=16$，得$16=\frac{216}{x}$，解得$x=13.5$。
因此温度不低于16 ℃的总时长为：$13.5 - 1 = 12.5\ (\mathrm{h})$。
答：(1) 保持18 ℃的时间为10小时；(2) $k$的值为216；(3) 该蔬菜能够快速生长12.5小时。
(1) 由图象可知，温度为18℃的起始时间为x=2 h，结束时间为x=12 h，
因此保持18 ℃的时间为：$12 - 2 = 10\ (\mathrm{h})$。
(2) 点$B(12,18)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将坐标代入得：
$18 = \frac{k}{12}$
解得$k=12×18=216$。
(3) 设升温阶段（$0≤ x≤2$）的函数解析式为$y=ax+b$，将$(0,14)$和$(2,18)$代入得：
$\begin{cases}b=14 \\2a + b = 18\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2\\b=14\end{cases}$，即升温段解析式为$y=2x+14\ (0≤ x≤2)$。
令$y=16$，代入得$2x+14=16$，解得$x=1$。
对于双曲线段$y=\frac{216}{x}$，令$y=16$，得$16=\frac{216}{x}$，解得$x=13.5$。
因此温度不低于16 ℃的总时长为：$13.5 - 1 = 12.5\ (\mathrm{h})$。
答：(1) 保持18 ℃的时间为10小时；(2) $k$的值为216；(3) 该蔬菜能够快速生长12.5小时。
解析
【分析】
(1) 第一问需观察图像找到温度恒为18℃的时间段：图像中水平线段AB段温度不变，对应x的范围是2h到12h，两个时间做差即可得到恒温时长。
(2) 第二问已知BC段是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的一部分，点B在双曲线上，将B点坐标代入解析式即可求出k值。
(3) 第三问要计算温度不低于16℃的总时长，需分两段计算：①先求升温阶段（$0≤x≤2$）的一次函数解析式，代入$y=16$求出升温阶段温度达到16℃的时间；②再将$y=16$代入反比例函数解析式，求出降温阶段温度降到16℃的时间，两个时间的差值就是快速生长的总时长。
【解析】
(1) 由图象可得，恒温18℃的起始时间是$x=2\ \mathrm{h}$，结束时间是$x=12\ \mathrm{h}$，
则恒温时长为：$12-2=10\ (\mathrm{h})$。
(2) 由图可知点B的坐标为$(12,18)$，将其代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$18=\frac{k}{12}$
解得$k=12×18=216$。
(3) 先求升温段（$0≤ x≤2$）的函数解析式：设解析式为$y=ax+b$，
将$(0,14)$、$(2,18)$代入得$\begin{cases}b=14\\2a+b=18\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2\\b=14\end{cases}$，即升温段解析式为$y=2x+14\ (0≤ x≤2)$。
令$y=16$，代入升温段解析式得$2x+14=16$，解得$x=1$。
再将$y=16$代入反比例函数$y=\frac{216}{x}$，得$16=\frac{216}{x}$，解得$x=13.5$。
则温度不低于16℃的总时长为：$13.5-1=12.5\ (\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 10小时；(2) 216；(3) 12.5小时
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合大棚温度变化的实际场景，考查函数图像的识别与分段函数的应用，解题时需要结合图像明确不同阶段对应的函数类型，正确使用待定系数法求函数解析式，再根据函数值求解对应自变量的范围，解题过程中注意不要遗漏升温阶段的计算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需观察图像找到温度恒为18℃的时间段：图像中水平线段AB段温度不变，对应x的范围是2h到12h，两个时间做差即可得到恒温时长。
(2) 第二问已知BC段是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的一部分，点B在双曲线上，将B点坐标代入解析式即可求出k值。
(3) 第三问要计算温度不低于16℃的总时长，需分两段计算：①先求升温阶段（$0≤x≤2$）的一次函数解析式，代入$y=16$求出升温阶段温度达到16℃的时间；②再将$y=16$代入反比例函数解析式，求出降温阶段温度降到16℃的时间，两个时间的差值就是快速生长的总时长。
【解析】
(1) 由图象可得，恒温18℃的起始时间是$x=2\ \mathrm{h}$，结束时间是$x=12\ \mathrm{h}$，
则恒温时长为：$12-2=10\ (\mathrm{h})$。
(2) 由图可知点B的坐标为$(12,18)$，将其代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$18=\frac{k}{12}$
解得$k=12×18=216$。
(3) 先求升温段（$0≤ x≤2$）的函数解析式：设解析式为$y=ax+b$，
将$(0,14)$、$(2,18)$代入得$\begin{cases}b=14\\2a+b=18\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2\\b=14\end{cases}$，即升温段解析式为$y=2x+14\ (0≤ x≤2)$。
令$y=16$，代入升温段解析式得$2x+14=16$，解得$x=1$。
再将$y=16$代入反比例函数$y=\frac{216}{x}$，得$16=\frac{216}{x}$，解得$x=13.5$。
则温度不低于16℃的总时长为：$13.5-1=12.5\ (\mathrm{h})$。
【答案】
(1) 10小时；(2) 216；(3) 12.5小时
【知识点】
一次函数的应用，反比例函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合大棚温度变化的实际场景，考查函数图像的识别与分段函数的应用，解题时需要结合图像明确不同阶段对应的函数类型，正确使用待定系数法求函数解析式，再根据函数值求解对应自变量的范围，解题过程中注意不要遗漏升温阶段的计算。
【难度系数】
0.7
