23. (11分)(2025·凉山州)如图9,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过$A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)$三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动,求点P到直线AC的最大距离.

解：
(1) 已知抛物线过A(-3,0)、B(1,0)，设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，
将C(0,-3)代入解析式，得：
a·(0+3)·(0-1) = -3
即-3a=-3，解得a=1，
展开得$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$，
所以抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 设直线AC的解析式为y=kx+n，
将A(-3,0)、C(0,-3)代入得：
$\begin{cases}-3k + n = 0 \\ n = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ n=-3\end{cases}$所以直线AC的解析式为y=-x-3。过点P作PD// y轴，交直线AC于点D，设点P的横坐标为t，则$P(t, t^2+2t-3)$，D(t, -t-3)，因为点P在直线AC下方，因此：$PD = (-t-3) - (t^2+2t-3) = -t^2 -3t$由直线AC的斜率为-1，可知直线AC与水平线夹角为45°，因此点P到直线AC的距离d满足：$d = PD·\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}(-t^2 -3t)$整理得：$d = \frac{\sqrt{2}}{2}[-(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}]$因为$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，且-3＜t＜0，所以当$t=-\frac{3}{2}$时，d取得最大值，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8}$。答：点P到直线AC的最大距离为$\frac{9\sqrt{2}}{8}$。

【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两个交点，优先选用交点式设解析式，代入点C的坐标求出参数a，再整理为一般式即可；(2) 先利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点P作平行于y轴的线段交AC于D，将点P到直线AC的距离转化为该竖直线段长度与45°正弦值的乘积，得到距离关于P点横坐标的二次函数，再利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
(1) 已知抛物线过A(-3,0)、B(1,0)，设抛物线解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，
将C(0,-3)代入解析式，得：
$a·(0+3)·(0-1) = -3$
即$-3a=-3$，解得$a=1$，
展开得$y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3$。
(2) 设直线AC的解析式为$y=kx+n$，
将A(-3,0)、C(0,-3)代入得：
$\begin{cases}-3k + n = 0 \\ n = -3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1 \\ n=-3\end{cases}$，因此直线AC的解析式为$y=-x-3$。
过点P作$PD// y$轴，交直线AC于点D，设点P的横坐标为$t$（$-3＜t＜0$），则$P(t, t^2+2t-3)$，$D(t, -t-3)$，
因为点P在直线AC下方，因此：
$PD = (-t-3) - (t^2+2t-3) = -t^2 -3t$
由直线AC的斜率为-1，可知直线AC与水平线夹角为45°，因此点P到直线AC的距离$d$满足：
$d = PD·\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}(-t^2 -3t)$
整理得：$d = \frac{\sqrt{2}}{2}[-(t+\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}]$
因为$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜0$，且$-3＜t＜0$，所以当$t=-\frac{3}{2}$时，$d$取得最大值，最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{9}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{8}$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$；(2) $\frac{9\sqrt{2}}{8}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，坐标与图形性质
【点评】
本题是二次函数综合常规题型，第一问基础，选择合适的解析式形式可简化计算；第二问通过作辅助线将点到直线的距离转化为易表示的竖直线段长度，结合二次函数性质求解，考查了转化思想和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6