三、解答题
11 如图,在$\odot O$的内接正八边形$ABCDEFGH$中,$AB=2$,连接$DG$.
(1) 求证:$DG// AB$;
(2) 求$DG$的长.

​$ (1)$​证明：∵八边形​$ABCDEFGH$​是​$\odot O$​的内接正八边形∴​$\widehat {AB}=\widehat {BC}=\widehat {CD}=\widehat {DE}=\widehat {EF}=\widehat {FG}=\widehat {GH}=\widehat {HA}$​∴​$\widehat {BD}=\widehat {AG}$​∴​$∠ABG = ∠BG D$​∴​$AB//DG$​​$ (2)$​解：如图，连接​$OD，$​​$OE，$​​$OF，$​过点​$E，$​​$F $​分别作​$DG $​的垂线，垂足为​$M，$​​$N，$​则​$MN = EF = AB = 2$​∵八边形​$ABCDEFGH$​是​$\odot O$​的内接正八边形∴​$∠DOE=∠EOF=\frac {360°}8=45°$​∴​$∠NGF=\frac 12∠DOF = 45°=∠MDE$​​$ $​在​$Rt\triangle MDE$​中，​$∠MDE = 45°，$​​$DE = 2$​∴​$MD=\frac {\sqrt 2}2DE=\sqrt 2$​​$ $​同理可得​$NG=\sqrt 2，$​∴​$DG=\sqrt 2+2+\sqrt 2=2\sqrt 2+2$​ ;

12 (2024 西宁)如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，连接OA，OB，过点O作$OC// PA$交PB于点C，过点C作$CD⊥ AP$，垂足为D.
（1）求证：$OC=AD$；
（2）若$\odot O$的半径是3，$PA=9$，求OC的长.

​$ (1)$​证明：∵​$P A，$​​$P B$​是​$\odot O$​的切线，​$OA，$​​$OB$​是​$\odot O$​的半径∴​$OA\perp P A，$​​$OB\perp P B$​∵​$OC//P A，$​​$CD\perp AP，$​∴​$CD\perp OC$​∴​$∠OAD=∠CDA=∠OCD = 90°$​∴四边形​$OADC$​是矩形∴​$OC = AD$​​$ (2)$​解：设​$OC = AD = x$​∵四边形​$OADC$​是矩形，​$\odot O$​的半径是​$3，$​​$P A = 9$​∴​$OA = OB = CD = 3，$​​$P D = P A - AD = 9 - x$​∵​$OC// P A，$​∴​$∠OCB=∠P$​∵​$OB\perp P B，$​​$CD\perp AP，$​∴​$∠OBC=∠CDP = 90°$​​$ $​在​$\triangle OCB$​和​$\triangle CP D$​中​$\begin {cases}∠OBC=∠CDP = 90°\\∠OCB=∠P\\OB = CD\end {cases}$​∴​$\triangle OCB≌\triangle CP D(\mathrm {AAS})$​∴​$BC = DP = 9 - x$​​$ $​在​$Rt\triangle OCB$​中，由勾股定理，得​$OC^2=OB^2+BC^2$​∴​$x^2=3^2+(9 - x)^2$​​$ x^2=9 + 81 - 18x+x^2$​​$ 18x = 90$​​$ $​解得​$x = 5$​​$ $​故​$OC$​的长为​$5$​

13（2024无锡锡山期中）如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，AB为直径，D是$\odot O$上一点，且$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{CD}$，$CE⊥ DA$交DA的延长线于点E.
（1）求证：$∠ CAB=∠ CAE$；
（2）求证：CE是$\odot O$的切线；
（3）若$AE=1$，$BD=4$，求$\odot O$的半径长.

​$ (1)$​证明：如图​$1，$​连接​$BD$​∵​$\widehat {CB}=\widehat {CD}，$​∴​$∠CDB=∠CBD，$​∴​$CD = BC$​∵四边形​$ACBD$​是圆内接四边形∴​$∠CAE=∠CBD，$​且​$∠CAB=∠CDB$​∴​$∠CAB=∠CAE$​​$ (2)$​证明：如图​$2，$​连接​$OC$​∵​$AB$​为直径，∴​$∠ACB = 90°=∠AEC$​ 又∵​$∠CAB=∠CAE，$​∴​$∠ABC=∠ACE$​∵​$OB = OC，$​∴​$∠BCO=∠CBO$​∴​$∠BCO=∠ACE$​∴​$∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB = 90°$​​$ $​即​$EC\perp OC$​∵​$OC$​是​$\odot O$​的半径∴​$CE$​是​$\odot O$​的切线
​$ (3)$​解：如图​$3，$​过点​$C$​作​$CF\perp AB$​于点​$F$​∵​$∠CAB=∠CAE，$​​$CE\perp DA$​∴​$AE = AF$​​$ $​在​$\triangle CED$​和​$\triangle CF B$​中​$\begin {cases}∠DEC=∠BF C = 90°\\∠EDC=∠F BC\\CD = CB\end {cases}$​∴​$\triangle CED≌\triangle CF B(\mathrm {AAS})$​∴​$ED = F B$​​$ $​设​$AB = x，$​则​$AD = x - 2$​​$ $​在​$Rt\triangle ABD$​中，由勾股定理，得​$x^2=(x - 2)^2+4^2$​​$ x^2=x^2-4x + 4 + 16$​​$ 4x = 20$​​$ $​解得​$x = 5$​​$ $​故​$\odot O$​的半径长为​$\frac 52$​