一、选择题

1. 下列方程是关于 $ x $ 的一元二次方程的是 （ ）
A. $ x^2 + \dfrac{1}{x} = 1 $
B. $ ax^2 + bx + c = 0 $
C. $ x^2 = 0 $
D. $ 3x^2 - 2xy - 5y = 0 $

C

2. 关于$x$的方程$(x-1)(x-2)-m^2=0$的根的情况是 （ ）
A. 有一正一负两个不相等的实数根
B. 有两个不相等的正实数根
C. 至多有一个正实数根
D. 至少有一个正实数根

D

3. 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有一个根是1，则下列说法不一定正确的是 （ ）
A. $a≠0$
B. $a+b+c=0$
C. $a=c$
D. $b^2-4ac≥0$

C

4. 若关于$ x $的一元二次方程$ kx^2 - 2x - 1 = 0 $有两个不相等的实数根，则$ k $的取值范围是（ ）
A. $ k ＞ -1 $
B. $ k ＜ 1 $
C. $ k ＞ -1 $且$ k ≠ 0 $
D. $ k ＜ 1 $且$ k ≠ 0 $

C

5. 若$A=x^2+2x-6y,B=-y^2+4x-10$,则$A、B$的大小关系为 （ ）
A. $A＞B$
B. $A＜B$
C. $A≥ B$
D. $A≤ B$

C

6. 一元二次方程$x^2=2025x$的解是$\underline{\hspace{15cm}}$．

$x_1 = 0,x_2 = 2025$

7. 把一元二次方程 $ x^2 - 4x - 8 = 0 $ 化成 $ (x - m)^2 = n $ 的形式，则 $ m + n = \_\_\_\_\_\_ $。

14

8. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 + 2x - 1 = 0 $ 有两个实数根，则实数 $ k $ 的取值范围是________．

$k\geq - 1且k\neq0$

9. 设一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的两根分别是$x_1$、$x_2$，则$x_1 + x_2(x_2^2 - 3x_2) =$______．

3

10. 若一元二次方程$x^2 - 2x + k = 0$的两根是$x_1$和$x_2$，则$x_1 · x_2$的最大值为______。

1

三、解答题
11. 解下列方程：
(1)$\frac{1}{2}(x - 3)^2 = 18$；
(2)$x^2 - 4x - 5 = 0$；
(3)$2x^2 - 3x - 2 = 0$(公式法)；
(4)$3(x + 2) = 2x(x + 2)$。

解：两边都乘2，得$(x - 3)^2 = 36，$ 开平方，得$x - 3=\pm6，$ 当$x - 3 = 6$时，$x = 6 + 3 = 9；$ 当$x - 3 = - 6$时，$x = - 6 + 3 = - 3，$ 所以$x_1 = 9,x_2 = - 3。$ ; 解：原方程可变形为$(x - 5)(x + 1)=0，$ 则$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0，$ 当$x - 5 = 0$时，$x = 5；$ 当$x + 1 = 0$时，$x = - 1，$ 所以$x_1 = 5,x_2 = - 1。$ ; 解：对于方程$2x^2 - 3x - 2 = 0，$其中$a = 2，$$b = - 3，$$c = - 2，$ $\Delta=b^2 - 4ac=(-3)^2 - 4\times2\times(-2)=9 + 16 = 25，$ $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{3\pm5}{4}，$ 当$x=\frac{3 + 5}{4}$时，$x = 2；$ 当$x=\frac{3 - 5}{4}$时，$x = -\frac{1}{2}，$ 所以$x_1 = 2,x_2 = -\frac{1}{2}。$ ; 解：移项，得$3(x + 2)-2x(x + 2)=0，$ 提公因式得$(3 - 2x)(x + 2)=0，$ 则$3 - 2x = 0$或$x + 2 = 0，$ 当$3 - 2x = 0$时，$2x = 3，$$x=\frac{3}{2}；$ 当$x + 2 = 0$时，$x = - 2，$ 所以$x_1=\frac{3}{2},x_2 = - 2。$