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12. 某大剧院举办文艺演出.经调研,如果票价定为每张 50 元,那么 1 200 张门票可以全部售出;如果票价每增加 1 元,那么售出的门票将会减少 20 张.要使门票收入达到 60 500 元,票价应定为多少元?
答案
解：设票价应定为$x$元。 根据题意，得$x[1200 - 20(x - 50)] = 60500，$ 展开括号得$x(1200 - 20x + 1000)=60500，$ 即$x(2200 - 20x)=60500，$ $2200x-20x^2 = 60500，$ 两边同时除以$- 20$得$x^2 - 110x + 3025 = 0，$ 由完全平方公式可得$(x - 55)^2 = 0，$ 解得$x_1 = x_2 = 55。$ 答：票价应定为55元。
13. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - (2k + 1)x + k - 2 = 0 $。
(1)求证:无论$ k $为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个实数根$ x_1 $、$ x_2 $满足$ x_1 - x_2 = -2k + 3 $,求$ k $的值.
(1)求证:无论$ k $为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个实数根$ x_1 $、$ x_2 $满足$ x_1 - x_2 = -2k + 3 $,求$ k $的值.
答案
(1)证明：对于方程$x^2-(2k + 1)x + k - 2 = 0，$其中$a = 1，$$b = -(2k + 1)，$$c = k - 2，$ $\Delta =[-(2k + 1)]^2 - 4\times1\times(k - 2)$ $=4k^2 + 4k + 1 - 4k + 8$ $=4k^2+9。$ 因为$k^2\geq0，$所以$4k^2\geq0，$则$4k^2 + 9＞0，$ 所以无论$k$为何实数，方程总有两个不相等的实数根。 (2)解：由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 2k + 1，$$x_1x_2 = k - 2。$ 因为$x_1 - x_2 = - 2k + 3，$所以$(x_1 - x_2)^2 = (- 2k + 3)^2 = 4k^2 - 12k + 9，$ 又因为$(x_1 - x_2)^2=(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2，$ 所以$(2k + 1)^2 - 4(k - 2)=4k^2 - 12k + 9，$ 展开得$4k^2 + 4k + 1 - 4k + 8 = 4k^2 - 12k + 9，$ 移项合并得$12k = 0，$ 解得$k = 0。$
14. 将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一.
例如:求代数式 $x^2+2x+3$ 的最小值.
解:原式$=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$.
$\because (x+1)^2≥ 0$，
$\therefore (x+1)^2+2≥ 2$.
$\therefore$当 $x=-1$ 时，$x^2+2x+3$ 的最小值是 2.
(1)在横线上添加一个常数项，使代数式 $x^2+10x+\_\_\_\_\_\_$ 成为完全平方式.
(2)请仿照上面的方法求代数式 $x^2+6x-1$ 的最小值.
(3)已知$△ ABC$的三边长$a、b、c$满足 $a^2-6b=-14,b^2-8c=-23,c^2-4a=8$.求$△ ABC$的周长.
例如:求代数式 $x^2+2x+3$ 的最小值.
解:原式$=x^2+2x+1+2=(x+1)^2+2$.
$\because (x+1)^2≥ 0$，
$\therefore (x+1)^2+2≥ 2$.
$\therefore$当 $x=-1$ 时，$x^2+2x+3$ 的最小值是 2.
(1)在横线上添加一个常数项，使代数式 $x^2+10x+\_\_\_\_\_\_$ 成为完全平方式.
(2)请仿照上面的方法求代数式 $x^2+6x-1$ 的最小值.
(3)已知$△ ABC$的三边长$a、b、c$满足 $a^2-6b=-14,b^2-8c=-23,c^2-4a=8$.求$△ ABC$的周长.
答案
25
; (2)解：原式$=x^2 + 6x + 9 - 9 - 1=(x + 3)^2 - 10。$ 因为$(x + 3)^2\geq0，$所以$(x + 3)^2 - 10\geq - 10。$ 所以当$x = - 3$时，$x^2 + 6x - 1$的最小值是$- 10。$ (3)解：因为$a^2 - 6b = - 14，$$b^2 - 8c = - 23，$$c^2 - 4a = 8，$ 所以$a^2 - 6b + b^2 - 8c + c^2 - 4a = - 14 - 23 + 8，$ $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 8c + 16 - 16 - 4 - 9 = - 29，$ $(a - 2)^2 + (b - 3)^2 + (c - 4)^2 = 0。$ 又因为$(a - 2)^2\geq0，$$(b - 3)^2\geq0，$$(c - 4)^2\geq0，$ 所以$a - 2 = 0，$$b - 3 = 0，$$c - 4 = 0，$ 即$a = 2，$$b = 3，$$c = 4，$ 所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9。$
; (2)解：原式$=x^2 + 6x + 9 - 9 - 1=(x + 3)^2 - 10。$ 因为$(x + 3)^2\geq0，$所以$(x + 3)^2 - 10\geq - 10。$ 所以当$x = - 3$时，$x^2 + 6x - 1$的最小值是$- 10。$ (3)解：因为$a^2 - 6b = - 14，$$b^2 - 8c = - 23，$$c^2 - 4a = 8，$ 所以$a^2 - 6b + b^2 - 8c + c^2 - 4a = - 14 - 23 + 8，$ $a^2 - 4a + 4 + b^2 - 6b + 9 + c^2 - 8c + 16 - 16 - 4 - 9 = - 29，$ $(a - 2)^2 + (b - 3)^2 + (c - 4)^2 = 0。$ 又因为$(a - 2)^2\geq0，$$(b - 3)^2\geq0，$$(c - 4)^2\geq0，$ 所以$a - 2 = 0，$$b - 3 = 0，$$c - 4 = 0，$ 即$a = 2，$$b = 3，$$c = 4，$ 所以$\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 2 + 3 + 4 = 9。$
