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三、解答题
7. 5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体.
（1）该几何体的体积是，表面积是；
（2）画出该几何体的主视图和左视图.
7. 5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体.
（1）该几何体的体积是，表面积是；
（2）画出该几何体的主视图和左视图.
答案
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{22}$
解析
【分析】
（1）体积部分：每个棱长为1的正方体体积为1，几何体由5个这样的正方体组成，总体积等于单个正方体体积乘正方体总数。表面积部分：可以先计算5个正方体的总面数，再减去拼接处重叠的面数（每处拼接会让2个面被遮挡，不再计入表面积）；也可以逐个方向数暴露的面，注意不要遗漏中间凹陷处的两个侧面。
（2）主视图是从正面对几何体观察得到的图形，需确定每一列的最大层数；左视图是从左面对几何体观察得到的图形，确定观察方向上的层数后按规范绘制即可。
【解析】
（1）① 单个正方体体积：$V_0=1×1×1=1$，该几何体共有5个正方体，因此总体积$V=5× V_0=5×1=5$。
② 单个正方形面的面积：$S_0=1×1=1$。
5个正方体的总面数为$5×6=30$；
观察拼接处：底层3个正方体左右相邻有2处拼接，上层2个正方体分别与底层左、右位置的正方体重合有2处拼接，共4处拼接，每处拼接遮挡2个面，总遮挡面数为$4×2=8$；
因此暴露的面数为$30-8=22$，表面积$S=22× S_0=22×1=22$。
（2）主视图：共3列，从左到右每列层数依次为2、1、2，即左列上下2个正方形，中间列下方1个正方形，右列上下2个正方形。
左视图：共1列，层数为2，即上下排列2个正方形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{22}$
（2）主视图和左视图按上述描述绘制即可。
【知识点】
组合体体积计算，组合体表面积计算，三视图绘制
【点评】
本题属于基础题，考查组合几何体的相关计算与三视图画法，计算表面积时容易漏算凹陷处的暴露面，画三视图时要注意准确判断不同方向上各位置的层数。
【难度系数】
0.7
（1）体积部分：每个棱长为1的正方体体积为1，几何体由5个这样的正方体组成，总体积等于单个正方体体积乘正方体总数。表面积部分：可以先计算5个正方体的总面数，再减去拼接处重叠的面数（每处拼接会让2个面被遮挡，不再计入表面积）；也可以逐个方向数暴露的面，注意不要遗漏中间凹陷处的两个侧面。
（2）主视图是从正面对几何体观察得到的图形，需确定每一列的最大层数；左视图是从左面对几何体观察得到的图形，确定观察方向上的层数后按规范绘制即可。
【解析】
（1）① 单个正方体体积：$V_0=1×1×1=1$，该几何体共有5个正方体，因此总体积$V=5× V_0=5×1=5$。
② 单个正方形面的面积：$S_0=1×1=1$。
5个正方体的总面数为$5×6=30$；
观察拼接处：底层3个正方体左右相邻有2处拼接，上层2个正方体分别与底层左、右位置的正方体重合有2处拼接，共4处拼接，每处拼接遮挡2个面，总遮挡面数为$4×2=8$；
因此暴露的面数为$30-8=22$，表面积$S=22× S_0=22×1=22$。
（2）主视图：共3列，从左到右每列层数依次为2、1、2，即左列上下2个正方形，中间列下方1个正方形，右列上下2个正方形。
左视图：共1列，层数为2，即上下排列2个正方形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{22}$
（2）主视图和左视图按上述描述绘制即可。
【知识点】
组合体体积计算，组合体表面积计算，三视图绘制
【点评】
本题属于基础题，考查组合几何体的相关计算与三视图画法，计算表面积时容易漏算凹陷处的暴露面，画三视图时要注意准确判断不同方向上各位置的层数。
【难度系数】
0.7
8. 一个长方体的三视图如图所示，若这个长方体的体积是36，求它的表面积. 
答案
解：
由三视图可得，该长方体的长为6，宽为2。
设长方体的高为h，根据长方体体积公式：
$6 × 2 × h = 36$
解得 $h=3$。
根据长方体表面积公式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{表面积}}&=2×(6×2 + 6×3 + 2×3)\\&=2×(12+18+6)\\&=72\end{aligned}$
答：它的表面积是72。
由三视图可得，该长方体的长为6，宽为2。
设长方体的高为h，根据长方体体积公式：
$6 × 2 × h = 36$
解得 $h=3$。
根据长方体表面积公式计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{表面积}}&=2×(6×2 + 6×3 + 2×3)\\&=2×(12+18+6)\\&=72\end{aligned}$
答：它的表面积是72。
解析
【分析】
解题时首先从三视图中提取长方体的已知棱长信息：主视图的长对应长方体的长为6，左视图的宽对应长方体的宽为2；已知长方体体积，结合长方体体积=长×宽×高的公式，可先求出未知的高；最后将长、宽、高代入长方体表面积公式，计算即可得到结果。
【解析】
由三视图可得，该长方体的长为6，宽为2。
设长方体的高为$ h $，根据长方体体积公式列方程：
$ 6 × 2 × h = 36 $
解得 $ h=3 $。
再根据长方体表面积公式代入数值计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{表面积}}&=2×(6×2 + 6×3 + 2×3)\\&=2×(12+18+6)\\&=72\end{aligned}$
【答案】72
【知识点】三视图识别；长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】本题是三视图与立体图形计算的结合题型，解题核心是准确从三视图中提取立体图形的棱长信息，再结合对应公式计算，掌握三视图的对应关系和长方体的体积、表面积公式即可轻松解答。
【难度系数】0.8
解题时首先从三视图中提取长方体的已知棱长信息：主视图的长对应长方体的长为6，左视图的宽对应长方体的宽为2；已知长方体体积，结合长方体体积=长×宽×高的公式，可先求出未知的高；最后将长、宽、高代入长方体表面积公式，计算即可得到结果。
【解析】
由三视图可得，该长方体的长为6，宽为2。
设长方体的高为$ h $，根据长方体体积公式列方程：
$ 6 × 2 × h = 36 $
解得 $ h=3 $。
再根据长方体表面积公式代入数值计算：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{表面积}}&=2×(6×2 + 6×3 + 2×3)\\&=2×(12+18+6)\\&=72\end{aligned}$
【答案】72
【知识点】三视图识别；长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】本题是三视图与立体图形计算的结合题型，解题核心是准确从三视图中提取立体图形的棱长信息，再结合对应公式计算，掌握三视图的对应关系和长方体的体积、表面积公式即可轻松解答。
【难度系数】0.8
9. 一个密封纸盒的三视图如图所示,请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积.
答案
解：
由三视图可知，该密封纸盒是正六棱柱，底面正六边形的边长为5 cm，棱柱的高为12 cm。
1. 计算侧面积：
正六棱柱共有6个全等的矩形侧面，每个侧面的长为12 cm、宽为5 cm，
侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = 6 × 5 × 12 = 360\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算两个底面的面积和：
底面正六边形可分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的边长为5 cm，高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个底面的面积为 $6 × \frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和 $S_{\mathrm{底总}} = 2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底总}} = (360 + 75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
答：这个密封纸盒的表面积为$(360+75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
由三视图可知，该密封纸盒是正六棱柱，底面正六边形的边长为5 cm，棱柱的高为12 cm。
1. 计算侧面积：
正六棱柱共有6个全等的矩形侧面，每个侧面的长为12 cm、宽为5 cm，
侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = 6 × 5 × 12 = 360\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算两个底面的面积和：
底面正六边形可分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的边长为5 cm，高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个底面的面积为 $6 × \frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和 $S_{\mathrm{底总}} = 2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底总}} = (360 + 75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
答：这个密封纸盒的表面积为$(360+75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
解题时首先根据三视图还原几何体，可知该几何体为正六棱柱，密封纸盒的表面积等于侧面积加上两个底面的面积之和。下一步先确定正六棱柱的高、底面正六边形的边长：由图可得棱柱高为12cm，底面正六边形边长为5cm；再分别计算侧面积和底面积：侧面积是6个全等矩形的面积和，底面正六边形可分割为6个全等的正三角形计算面积，最后将两部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该密封纸盒是正六棱柱，底面正六边形的边长为5 cm，棱柱的高为12 cm。
1. 计算侧面积：
正六棱柱共有6个全等的矩形侧面，每个侧面的长为12 cm、宽为5 cm，
侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = 6 × 5 × 12 = 360\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算两个底面的面积和：
底面正六边形可分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的边长为5 cm，高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个底面的面积为 $6 × \frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和 $S_{\mathrm{底总}} = 2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底总}} = 360 + 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$(360+75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图还原几何体；正六棱柱表面积计算；正多边形面积计算
【点评】
本题是几何体三视图与表面积计算结合的常规题型，解题核心是准确根据三视图还原几何体形状，明确正六棱柱各部分的棱长参数，掌握正六边形拆分计算面积的方法，计算时注意不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三视图还原几何体，可知该几何体为正六棱柱，密封纸盒的表面积等于侧面积加上两个底面的面积之和。下一步先确定正六棱柱的高、底面正六边形的边长：由图可得棱柱高为12cm，底面正六边形边长为5cm；再分别计算侧面积和底面积：侧面积是6个全等矩形的面积和，底面正六边形可分割为6个全等的正三角形计算面积，最后将两部分面积相加即可得到总表面积。
【解析】
由三视图可知，该密封纸盒是正六棱柱，底面正六边形的边长为5 cm，棱柱的高为12 cm。
1. 计算侧面积：
正六棱柱共有6个全等的矩形侧面，每个侧面的长为12 cm、宽为5 cm，
侧面积 $S_{\mathrm{侧}} = 6 × 5 × 12 = 360\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算两个底面的面积和：
底面正六边形可分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的边长为5 cm，高为$\frac{5\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}$，
单个底面的面积为 $6 × \frac{1}{2} × 5 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$，
两个底面的面积和 $S_{\mathrm{底总}} = 2 × \frac{75\sqrt{3}}{2} = 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算总表面积：
$S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{侧}} + S_{\mathrm{底总}} = 360 + 75\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$(360+75\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图还原几何体；正六棱柱表面积计算；正多边形面积计算
【点评】
本题是几何体三视图与表面积计算结合的常规题型，解题核心是准确根据三视图还原几何体形状，明确正六棱柱各部分的棱长参数，掌握正六边形拆分计算面积的方法，计算时注意不要遗漏两个底面的面积。
【难度系数】
0.7
