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三、解答题(共 48 分)
14.(16分)计算:
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^3 - |-2|^3 + (-\dfrac{1}{2});$
(2)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|;$
(3)$-1^4 × (-\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12}) ÷ \dfrac{1}{6};$
(4)$-1^{2025} - (1 - 0.5) × \dfrac{1}{3} × [2 - (-3)^2].$
14.(16分)计算:
(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^3 - |-2|^3 + (-\dfrac{1}{2});$
(2)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|;$
(3)$-1^4 × (-\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12}) ÷ \dfrac{1}{6};$
(4)$-1^{2025} - (1 - 0.5) × \dfrac{1}{3} × [2 - (-3)^2].$
答案
【解】(1)$-2^2 × (-\dfrac{1}{2})^3 - |-2|^3 + (-\dfrac{1}{2})$
$=-4×(-\dfrac{1}{8})-8-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2}-8-\dfrac{1}{2}$
$=-8.$
(2)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|$
$=-16÷(-27)×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=2-\dfrac{8}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}.$
(3)$-1^4 × (-\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12}) ÷ \dfrac{1}{6}$
$=-1×(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12})×6$
$=-1×(-\dfrac{1}{6}×6+\dfrac{3}{4}×6-\dfrac{1}{12}×6)$
$=-1×(-1+\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2})$
$=-1×3$
$=-3.$
(4)$-1^{2025}-(1-0.5)×\dfrac{1}{3}×[2-(-3)^2]$
$=-1-(1-0.5)×\dfrac{1}{3}×(2-9)$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(-7)$
$=\dfrac{1}{6}.$
$=-4×(-\dfrac{1}{8})-8-\dfrac{1}{2}$
$=\dfrac{1}{2}-8-\dfrac{1}{2}$
$=-8.$
(2)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|$
$=-16÷(-27)×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=2-\dfrac{8}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}.$
(3)$-1^4 × (-\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{12}) ÷ \dfrac{1}{6}$
$=-1×(-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{12})×6$
$=-1×(-\dfrac{1}{6}×6+\dfrac{3}{4}×6-\dfrac{1}{12}×6)$
$=-1×(-1+\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2})$
$=-1×3$
$=-3.$
(4)$-1^{2025}-(1-0.5)×\dfrac{1}{3}×[2-(-3)^2]$
$=-1-(1-0.5)×\dfrac{1}{3}×(2-9)$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{3}×(-7)$
$=\dfrac{1}{6}.$
15.(16分)观察下列等式：
第1个等式：$-1+\frac{1}{3}=-1×\frac{1}{3}×2$；
第2个等式：$-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×2$；
第3个等式：$-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=-\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×2$；…
(1)请写出第5个等式：
(2)写出第n个等式：
(用含n的式子表示，n为正整数)
(3)根据你发现的规律计算：$(-1×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{4})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{5})+…+(-\frac{1}{2024}×\frac{1}{2026})-\frac{1}{2}×\frac{1}{2025}$。
第1个等式：$-1+\frac{1}{3}=-1×\frac{1}{3}×2$；
第2个等式：$-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×2$；
第3个等式：$-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=-\frac{1}{3}×\frac{1}{5}×2$；…
(1)请写出第5个等式：
$-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{1}{5}×\dfrac{1}{7}×2$
；(2)写出第n个等式：
$-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+2}=-\dfrac{1}{n}×\dfrac{1}{n+2}×2$
；(用含n的式子表示，n为正整数)
(3)根据你发现的规律计算：$(-1×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{4})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{5})+…+(-\frac{1}{2024}×\frac{1}{2026})-\frac{1}{2}×\frac{1}{2025}$。
答案
【解】(1)$-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}=-\dfrac{1}{5}×\dfrac{1}{7}×2$
(2)$-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+2}=-\dfrac{1}{n}×\dfrac{1}{n+2}×2$
(3)$(-1×\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4})+(-\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{5})+…+(-\dfrac{1}{2\ 024}×\dfrac{1}{2\ 026})-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2\ 025}$
$=\dfrac{1}{2}×(-1+\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4})+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5})+…+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{2\ 024}+\dfrac{1}{2\ 026})-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2\ 025}$
$=\dfrac{1}{2}×(-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-…-\dfrac{1}{2\ 024}+\dfrac{1}{2\ 026}-\dfrac{1}{2\ 025})$
$=\dfrac{1}{2}×(-1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\ 026})$
$=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4\ 052}$
$=-\dfrac{1\ 519}{2\ 026}.$
(2)$-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+2}=-\dfrac{1}{n}×\dfrac{1}{n+2}×2$
(3)$(-1×\dfrac{1}{3})+(-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{4})+(-\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{5})+…+(-\dfrac{1}{2\ 024}×\dfrac{1}{2\ 026})-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2\ 025}$
$=\dfrac{1}{2}×(-1+\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4})+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5})+…+\dfrac{1}{2}×(-\dfrac{1}{2\ 024}+\dfrac{1}{2\ 026})-\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2\ 025}$
$=\dfrac{1}{2}×(-1+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-…-\dfrac{1}{2\ 024}+\dfrac{1}{2\ 026}-\dfrac{1}{2\ 025})$
$=\dfrac{1}{2}×(-1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\ 026})$
$=-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4\ 052}$
$=-\dfrac{1\ 519}{2\ 026}.$
16. (16分)[2025·菏泽月考]将一块长12 m、宽10 m的长方形试验田分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ是罗马数字，相当于阿拉伯数字1,2,3,4)四个部分，三角形的一个顶点是半圆圆弧的中点.某农户分别将丰收Ⅰ号、Ⅱ号、Ⅲ号、Ⅳ号农作物播种在对应的试验田.若将上一年平均每平方米的该农作物产量5 kg作为标准，多出的部分记为正，不足的部分记为负.据悉Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ号试验田平均每平方米的产量分别为－1，＋2，＋1.5，－0.8.(单位：kg)
(1)分别写出丰收Ⅰ号、Ⅱ号、Ⅲ号农作物的播种面积(π取3.1，结果精确到个位)；
(2)农户今年收获丰收I号、II号、III号、IV号农作物总产量较上一年是增加还是减少？请计算说明.
(1)分别写出丰收Ⅰ号、Ⅱ号、Ⅲ号农作物的播种面积(π取3.1，结果精确到个位)；
(2)农户今年收获丰收I号、II号、III号、IV号农作物总产量较上一年是增加还是减少？请计算说明.
答案
【解】(1)丰收I号的面积为$\dfrac{1}{2}π×(\dfrac{1}{2}×12)^2=18π≈56\ (\mathrm{m}^2)$，
丰收Ⅲ号的面积为$\dfrac{1}{2}×12×(10-12÷2)=24\ (\mathrm{m}^2)$，
易知丰收Ⅱ号与丰收Ⅳ号的面积一样，所以丰收Ⅱ号的面积为$(10×12-18π-24)÷2≈20(\mathrm{m}^2).$
(2)上一年总产量为$12×10×5=600\ (\mathrm{kg})$，
易知丰收Ⅳ号的面积为$20\mathrm{m}^2$，所以今年的产量为$56×(5-1)+20×(5+2)+24×(5+1.5)+20×(5-0.8)=604(\mathrm{kg})$，
因为$604＞600$，
所以今年农作物总产量较上一年增加了.
丰收Ⅲ号的面积为$\dfrac{1}{2}×12×(10-12÷2)=24\ (\mathrm{m}^2)$，
易知丰收Ⅱ号与丰收Ⅳ号的面积一样，所以丰收Ⅱ号的面积为$(10×12-18π-24)÷2≈20(\mathrm{m}^2).$
(2)上一年总产量为$12×10×5=600\ (\mathrm{kg})$，
易知丰收Ⅳ号的面积为$20\mathrm{m}^2$，所以今年的产量为$56×(5-1)+20×(5+2)+24×(5+1.5)+20×(5-0.8)=604(\mathrm{kg})$，
因为$604＞600$，
所以今年农作物总产量较上一年增加了.
