1. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则 sin B 的值为 ()

A.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
D.2

1. C

2. 如图,在$△ ABC$中,$AC ⊥ BC,AC=1$,点$D$是$CB$延长线上的一点,且$BD=BA=2$,连接$AD$,则$\tan∠ DAC$的值为.

2. $2+\sqrt{3}$

3. 已知$∠ A + ∠ B = 90°$，且$\cos A = \frac{3}{5}$，则$\tan B$的值为（）

A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$

3. C

4. 如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则$\tan∠ BDE$的值是 ()


A.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

4. A

5. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,点$F$在边$BC$上且$\sin∠ FAC=\dfrac{1}{3}$, $E$为$AC$上一点,且$AE:EC=2:1$,$EF⊥ AF$,求$\tan∠ CFE$.

5. 解:过点 C 作 $CH ⊥ AF$,交 $AF$ 的延长线于点 $H$,如图.
$\because EF ⊥ AF,\sin∠ FAC=\dfrac{1}{3}$,
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,$\sin∠ FAC=\dfrac{EF}{AE}=\dfrac{1}{3}$,
设 $EF=k$,则 $AE=3k$,
由勾股定理,得 $AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=2\sqrt{2}k$.
$\because EF ⊥ AF,CH ⊥ AF,\therefore EF// CH$,
$\therefore AF:FH=AE:EC=2:1,∠ CFE=∠ HCF$,
$\therefore 2\sqrt{2}k:FH=2:1$,
$\therefore FH=\sqrt{2}k,\therefore AH=AF+FH=3\sqrt{2}k$,
$\because EF// CH,\therefore △ AEF∽△ ACH$,
$\therefore AF:AH=EF:CH,\therefore 2\sqrt{2}k:3\sqrt{2}k=k:CH$,
$\therefore CH=1.5k$,
在 $\mathrm{Rt}△ CFH$ 中,$\tan∠ HCF=\dfrac{FH}{CH}=\dfrac{\sqrt{2}k}{1.5k}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$,
$\therefore \tan∠ CFE=\tan∠ HCF=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.

6. 如图,点A,B,C均在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长均为1,则$\cos∠ BAC$的值为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$1$
D.$\sqrt{2}$

6. B

7. 如图,在由小正方形组成的网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在小正方形的顶点上,则∠AOB的正弦值是

A.$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{10}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

7. B

8. 若一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm,则其底角的余弦值为.

8. $\dfrac{3}{4}$或$\dfrac{1}{3}$

9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sin B=$\frac{5}{13}$,D在BC边上,且∠ADC=45°,AC=5,求∠BAD的正切值.

9. 解:如图,过点 D 作 $DE ⊥ AB$,交 $AB$ 于点 $E$,
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$∠ C=90°,∠ ADC=45°,AC=5$,
$\therefore ∠ DAC=45°,AC=DC=5$,
$\therefore AD=5\sqrt{2}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°$,
$\because \sin B=\dfrac{5}{13},\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{5}{13}$,即$\dfrac{5}{AB}=\dfrac{5}{13}$,
解得 $AB=13$. 根据勾股定理,得 $BC=12$,
$\therefore BD=BC-DC=12-5=7$.
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$∠ BED=90°,\sin B=\dfrac{5}{13}$,
$\therefore \dfrac{DE}{BD}=\dfrac{5}{13},DE=\dfrac{35}{13}$.
在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中,根据勾股定理,
得 $AE=\sqrt{AD^2-ED^2}=\dfrac{85}{13}$,
$\therefore \tan∠ BAD=\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{\dfrac{35}{13}}{\dfrac{85}{13}}=\dfrac{7}{17}$.